I. Előadás http://siva. bgk. uni-obuda

Ismétlés Mintavételi terv Példa: A gyártó állítása szerint a szállítmányban a selejt valószínűsége .   A legfeljebb 5% selejtet tartalmazó szállítmányt az átvevő is elfogadja. - Az átvevő átveszi a szállítmányt, ha elemű mintában legfeljebb 2 selejtes terméket talál. Mekkora az átadó kockázata? - Az átvevő akkor is átveszi a szállítmányt, benne a selejtarány, de elemű mintában legfeljebb 2 selejtes terméket talál. Mekkora az átvevő kockázata? (Nyilvánvaló, hogy a mintát visszatevéssel választjuk. Miért?) Eredmény: ( 3,61%; 81,6% )

Ismétlés Normális eloszlás Példa: Egy gyártmány mérethibája normális eloszlású valószínűségi változó várható értékkel. Megállapítottuk, hogy a mérethiba 0,8 valószínűséggel nem éri el a 20 mm-es határt, amelyen belül a gyártmány még elfogadható minőségű. A termék első osztályú, ha a mérethiba abszolút értéke nem éri el a 10 mm-es határt. - Mekkora a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott termék első osztályú? - A termékek hány százaléka nem tér el a várható értéktől a szórás kétszeresénél jobban? (2 szabály) Eredmény: ( 1,625; 0,4778; ,9544 )

A matematikai statisztika tárgya A valószínűségszámításban egy esemény valószínűségét, egy valószínűségi változó eloszlásának típusát, várható értékét, szórását stb. elméleti megfontolások alapján tudtuk kiszámítani. A gyakorlatban egy-egy esemény valószínűségét, egy-egy valószínűségi változó pontos eloszlását, várható értékét, szórását stb. nem ismerjük, csak tapasztalati adatok statisztikai feldolgozásával tudunk rájuk következtetni. A matematikai statisztika a kísérleti adatokból ( a mintából ) kapható becslésekkel, a véletlen valószínűségi változó típusára, vagy az eloszlás jellemzőire a minta alapján feltett hipotézisekkel foglalkozik. Definíció. A matematikai statisztikában a vizsgálat tárgyát képező egyedek összességét a hozzájuk tartozó számértékekkel együtt statisztikai sokaságnak nevezzük.

A matematikai statisztika tárgya A minta megadása Definíció. A teljes sokaságból vizsgálatra kivett n elemet a hozzájuk tartozó számértékekkel együtt statisztikai mintának nevezzük. Mivel ugyanabból a sokaságból kivett újabb és újabb mintához más-más számértékek tartoznak, az értékek tekinthetők egymástól független, ugyanazon eloszlású valószínűségi változóknak is. A minta megadása a./ felsorolással: b./ gyakoriságokkal:

A minta megadása Módusz, medián c./ osztályokba sorolással: Módusz: A leggyakrabban előforduló elemet a minta móduszának nevezzük. pl.: a./ 4; b./ 2; c./ nincs Medián: Az adatokat monoton növekvő sorrendbe rendezve, a középső elem (ha van) a minta mediánja. Ha nincs középső elem (páros darabszám esetén), akkor a „két középső elem” számtani közepe a minta mediánja. pl.: a./ ; b./ 2; c./ nincs

A minta átlaga Terjedelem. A minta terjedelme a legnagyobb és a legkisebb elem különbsége. pl.: a./ 5; b./ 4; c./ nincs A minta átlaga  Definíció. A mintavételi változók ( mintaelemek ) számtani közepe a mintaátlag ( tapasztalati, empirikus várható érték ) : pl.: a./ 3,286

A minta átlaga Definíció. Ha a mintavétel során egy-egy mintaelem többször is előfordul, mégpedig összesen -szer ( gyakorisággal ), összesen -ször ( gyakorisággal ), összesen -szor ( gyakorisággal ), akkor a mintaátlag: Itt a gyakoriságok összege természetesen . pl.: b./ 2,46

A minta átlaga Tétel. A mintaátlagnak, mint valószínűségi változónak a várható értéke megegyezik a teljes statisztikai sokaság ( "elméleti sokaság" ) várható értékével, azaz Itt a  valószínűségi változó értékei a teljes sokaság értékei, az mintaelemek -vel azonos eloszlású valószínűségi változók ( i = 1, 2, ..., n ). Tétel. A mintaátlag szórásnégyzete és a teljes statisztikai sokaság ( ) közötti összefüggés: vagyis Tétel. Ha a teljes statisztikai sokaság normális eloszlású, akkor a mintaátlag is normális eloszlású, mégpedig ( az előbbiek alapján ) eloszlású.

A minta szórása Definíció. A minta szórásnégyzete: . Ha az mintaelemek az gyakoriságokkal vannak megadva, akkor a minta szórásnégyzete: . Tétel. A minta szórásnégyzetének, mint valószínűségi változónak a várható értéke: ( nem egyezik meg az alapsokaság szórásnégyzetével! ) Mivel várható értéke nem az alapsokaság szórásnégyzete, ezért a matematikai statisztikában a korrigált szórásnégyzetet használjuk.

A minta szórása Definíció. A korrigált tapasztalati szórásnégyzet: Tétel. A minta korrigált tapasztalati szórásnégyzetének várható értéke a teljes statisztikai sokaság szórásnégyzete, azaz . pl.: c./

Tapasztalati eloszlásfüggvény Definíció. Az mintaelemek közül azoknak a számát, amelyekre teljesül, hogy , jelöljük -el. Az ( x  R ) függvényt a minta eloszlásfüggvényének ( tapasztalati eloszlásfüggvényének ) nevezzük. Tétel. Az tapasztalati eloszlásfüggvény várható értéke x  R esetén: Megjegyzés.   Az előbbi tételben szereplő F függvény a teljes statisztikai sokaság eloszlásfüggvénye. (az u. n. elméleti eloszlásfüggvény) Az empirikus eloszlásfüggvény tehát a F elméleti eloszlásfüggvény jó közelítése. 

Tapasztalati sűrűségfüggvény Definíció. Osszuk fel a  mintabeli értékeire szóba jöhető intervallumot részintervallumokra. Az részintervallumokra eső mintaelemek számát jelöljük -vel. Az részintervallumon állandó függvényt tapasztalati sűrűségfüggvénynek ( a minta sűrűségfüggvényének) nevezzük. Megjegyzés. Mivel , ezért ha az n elég nagy és a részintervallumok elég kicsik, akkor a teljes sokaság f sűrűségfüggvényét a mintabeli sűrűségfüggvény jól közelíti.  

Példa a tapasztalati eloszlás- és sűrűségfüggvényre Példa: tapasztalati sűrűségfüggvény tapasztalati eloszlásfüggvény

Konfidencia-intervallumok

Konfidencia-intervallumok Ha az alapsokaság egy ismeretlen  paraméterére n elemű minta alapján becslést készítünk, akkor a  valódi értéke csak közelítőleg lesz egyenlő a becsléssel   ( pontbecslés ). Ha ismerjük, hogy a becsült milyen eloszlású, akkor meg tudunk adni olyan intervallumot, amely nagy valószínűséggel tartalmazza a valódi -t. Definíció. Az intervallumot az  paraméter becslésére szolgáló (1 - )100 % megbízhatósági szintű konfidencia intervallumnak nevezzük, ha . Itt az 1 -  magas 1-hez közeli valószínűséget jelent. Az meghatározásával intervallumbecslést adtunk -ra.  

Konfidencia-intervallumok Tétel. Tegyük fel, hogy a normális eloszlású alapsokaság  szórását ismerjük. Az alapsokaság m várható érétkét az n elemű minta átlagával becsüljük. Ekkor az m-re vonatkozó 1 -  szintű konfidencia intervallum: , azaz , ahol N( 0, 1 ) eloszlású valószínűségi változó, amelyet a „t” eloszlás táblázatból is meghatározhatunk. ( , %) Példa: Kekszcsomagokat mérve a következőket kapjuk : 397,3; 399,6; 401,0; 392,9; 396,8; 400,0; 397,6; 392,1; 400,8; 400,6. Feltételezve , hogy a csomagokban található keksz tömege normális eloszlású σ = 10 szórással, határozza meg 95 %-os szignifikancia szinten a konfidencia intervallumot!

Konfidencia-intervallumok Tétel. Tegyük fel, hogy ismert egy normális eloszlású alapsokaságból vett n elemű minta átlaga és korrigált szórása. Ekkor az m-re vonatkozó 1 -  valószínűségű konfidencia intervallum: , azaz , ahol Student eloszlású valószínűségi változó, amely nem csak az  -tól, hanem a minta elemszámától ( pontosabban az f = n - 1 szabadsági foktól ) is függ. Adott n és  esetén a értékét a Student-féle t eloszlás táblázatából kaphatjuk meg. Példa: Villanyégők élettartamát vizsgálva, azt normális eloszlásúnak találták. n = 15 égő élettartamát vizsgálva az élettartam átlaga órának, tapasztalati korrigált szórásnak óra adódott. 95%-os biztonsági szinten milyen konfidencia- intervallumba (megbízhatósági intervallumba) esik az egész sokaság várható értéke?