Kvantitatív módszerek Döntési osztályok – döntési kritériumok Gyakorló feladatok

Döntéselmélet – Példa 1 A Korman Industries olyan zenei cd-ket állít elő, amelyeket postai úton juttatnak el a közönségnek. Méretgazdaságossági és ütemezési problémák miatt a Korman üzletpolitikája az, hogy egy adott hanganyagból legyártani szánt példányokat egyetlen termelési ütem alatt állítják elő. Ha a piaci kereslet nagyobb, mint a legyártott mennyiség, akkor a vevők (akik megrendelték, de nem jutott cd) egy 4$-os kupont kapnak, amelyet a vevő bármelyik más cd megvásárlásakor felhasználhat. Ha a legyártott mennyiség meghaladja a piaci keresletet, akkor a fennmaradó cd-ket 5$-ért adják el egy zenei áruháznak. Ez az 5$ éppen egy cd változó költségének a fele. A Korman egy újonnan kötött megállapodás értelmében most fizetett 200000$-nyi jogdíjat egy adott hanganyagért, amelyről készült cd-t 50$-ért kívánja majd értékesíteni. A piackutató részlegük előrejelzése szerint az alábbi piaci keresleti szintek fordulhatnak elő: 20000, 40000, 60000, és 80000 db. Fix költség: 200000$, változó költség: 10$/db

Döntéselmélet – Példa 1 Készítsük el a döntési mátrixot! Tételezzük fel, hogy nincs információnk a piaci keresleti szint valószínűségéről! Hogyan döntsön a szervezet ebben a helyzetben? Milyen kritériumokat alkalmazhat? Tételezzük fel, hogy a korábbi tapasztalatok alapján a következő valószínűségek rendelhetők az egyes keresleti szintekhez: 0,1; 0,3; 0,4; 0,2. Hogyan döntsön ilyen helyzetben? A vállalatvezetés úgy döntött, hogy csak akkor veszi meg a jogdíjat, ha várhatóan 60000 db-ot el tud adni a cd-ből. A piackutató részleg gyorsfelmérést végzett. A részleg által adott előrejelzés az esetek 65%-ában jelezte előre helyesen a 60000 db eladását. A piackutató részleg 20000db keresleténél 10%-ban jelezte a 60000db eladását, 40000db keresleténél 15%-ban és 80000 db keresleténél pedig 10%-ban. Mekkora valószínűséggel veszi meg a jogdíjat? Hosszú távon mekkora profitja lesz a cd-k eladásából a vállalatnak?

Megoldás – Példa 1 Pénzügy eredmény= Ár1 * x + -fix költség –változó költség * x (+többletbevétel/extraköltség) t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 1400000 1320000 1240000 s3: 60000 400000 1300000 2200000 2120000 s4: 80000 300000 1200000 2100000 3000000

Megoldás – Példa 1 Bizonytalan döntések osztálya Wald kritérium Maximax t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 1400000 1320000 1240000 s3: 60000 400000 1300000 2200000 2120000 s4: 80000 300000 1200000 2100000 3000000 t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 1400000 1320000 1240000 s3: 60000 400000 1300000 2200000 2120000 s4: 80000 300000 1200000 2100000 3000000

Megoldás – Példa 1 Bizonytalan döntések osztálya Savage t1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 1400000 1320000 1240000 s3: 60000 400000 1300000 2200000 2120000 s4: 80000 300000 1200000 2100000 3000000 t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 -880000 -1760000 -2640000 s2: 40000 -100000 s3: 60000 -200000 s4: 80000 -300000

Megoldás – Példa 1 Bizonytalan döntések osztálya: Laplace t1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 1400000 1320000 1240000 s3: 60000 400000 1300000 2200000 2120000 s4: 80000 300000 1200000 2100000 3000000 𝑀 𝑠 1 = 600000+5200000+440000+360000 4 =480000 𝑀 𝑠 2 = 500000+1400000+1320000+1240000 4 =1115000 𝑀 𝑠 3 = 400000+1300000+2200000+2120000 4 =1505000 𝑀 𝑠 4 = 300000+1200000+2100000+3000000 4 =1650000

Megoldás – Példa 1 Bizonytalan döntések osztálya: Hurwicz Legyen az optimizmus együttható: 0,8 t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 1400000 1320000 1240000 s3: 60000 400000 1300000 2200000 2120000 s4: 80000 300000 1200000 2100000 3000000 φ 𝑠 1 =0,8∙600000+0,2∙360000=552000 φ 𝑠 2 =0,8∙1400000+0,2∙500000=1220000 φ 𝑠 3 =0,8∙2200000+0,2∙400000=1840000 φ 𝑠 4 =0,8∙3000000+0,2∙300000=2460000

Megoldás – Példa 1 Kockázatos döntések osztálya Maximum likelihood kritérium: Várható érték kritérium: Ehhez legközelebb a t3 van. A megoldás menete ugyanaz innen, mint az ML kritériumnál. 𝑃 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑡 2 =0,3 𝑃 𝑡 3 =0,4 𝑃 𝑡 4 =0,2 t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 1400000 1320000 1240000 s3: 60000 400000 1300000 2200000 2120000 s4: 80000 300000 1200000 2100000 3000000 𝑀 𝑡 =0,1∙20000+0,3∙40000+0,4∙60000+0,2∙80000=54000

Megoldás – Példa 1 Kockázatos döntések osztálya Várható pénzérték kritérium: 𝑃 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑡 2 =0,3 𝑃 𝑡 3 =0,4 𝑃 𝑡 4 =0,2 t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 1400000 1320000 1240000 s3: 60000 400000 1300000 2200000 2120000 s4: 80000 300000 1200000 2100000 3000000 𝑀 𝑠 1 =0,1∙600+0,3∙520+0,4∙440+0,2∙360=464000 𝑀 𝑠 2 =0,1∙500+0,3∙1400+0,4∙1320+0,2∙1240=1246000 𝑀 𝑠 3 =0,1∙400+0,3∙1300+0,4∙2200+0,2∙2120=1734000 𝑀 𝑠 4 =0,1∙300+0,3∙1200+0,4∙2100+0,2∙3000=1830000

Megoldás – Példa 1 Kockázatos döntés pótlólagos információk alapján  Z esemény: a piackutató 60000db-ot jelez előre A priori val. Felt. val. Posteriori val. (Bayes tétel) 𝑃 𝑡 1 𝑧 = 0,1∙0,1 0,335 =0,03 𝑃 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑧 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑡 2 𝑧 = 0,3∙0,15 0,335 =0,13 𝑃 𝑡 2 =0,3 𝑃 𝑧 𝑡 2 =0,15 𝑃 𝑡 3 =0,4 𝑃 𝑧 𝑡 3 =0,65 𝑃 𝑡 3 𝑧 = 0,4∙0,65 0,335 =0,78 𝑃 𝑡 4 =0,2 𝑃 𝑧 𝑡 4 =0,1 𝑃 𝑡 4 𝑧 = 0,2∙0,1 0,335 =0,06 𝑃 𝑧 =𝑃 𝑧 𝑡 1 ∙𝑃 𝑡 1 +𝑃 𝑧 𝑡 2 ∙𝑃 𝑡 2 +𝑃 𝑧 𝑡 3 ∙𝑃 𝑡 3 +𝑃 𝑧 𝑡 4 ∙𝑃 𝑡 4 = =0,1∙0,1+0,3∙0,15+0,4∙0,65+0,2∙0,1=0,335

Megoldás – Példa 1 t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 𝑃 𝑡 1 𝑧 =0,03 𝑃 𝑡 2 𝑧 =0,13 𝑃 𝑡 3 𝑧 =0,78 𝑃 𝑡 4 𝑧 =0,06 t1: 20000 t2: 40000 t3: 60000 t4: 80000 s1: 20000 600000 520000 440000 360000 s2: 40000 500000 1400000 1320000 1240000 s3: 60000 400000 1300000 2200000 2120000 s4: 80000 300000 1200000 2100000 3000000 𝑀 𝑠 1 =0,03∙600+0,13∙520+0,78∙440+0,06∙360=450400 𝑀 𝑠 2 =0,03∙500+0,13∙1400+0,78∙1320+0,06∙1240=1301000 𝑀 𝑠 3 =0,03∙400+0,13∙1300+0,78∙2200+0,06∙2120=2024200 𝑀 𝑠 4 =0,03∙300+0,13∙1200+0,78∙2100+0,06∙3000=1989000

Döntéselmélet – Példa 2 A Santa Claus Tree Company megszerezte a bérleti jogát egy olyan területnek, ahol akár 1 millió db fenyőfa kivágására is lehetősége nyílik. A vállalatnak döntenie kell, hogy hány fát vágjon ki és szállítson le az értékesítés helyeire december folyamán. Ha a vállalat keveset vág ki, akkor potenciális bevételtől eshet el, ha pedig a keresletnél többet vág ki, akkor a kivágás és szállítás költségeivel kell számolnia az el nem adott fák esetében. Karácsony után pedig nyilván nincs kereslet e fenyőfákra. A terület bérleti díja 50000$/év + a bérleti díj változó része: 2$/fa. Egy fenyő kivágásának és szállításának további becsült költsége 1$/fa. Keresleti szint Valószínűség 50000 0,1 100000 0,4 125000 0,2 150000 200000 A marketing részleg előrejelzése szerint a keresleti viszonyok és azok valószínűsége az alábbiak szerint alakul

Döntéselmélet – Példa 2 Egy fenyőfát 8$-ért kívánnak értékesíteni. Készítsük el a döntési mátrixot! Tételezzük fel, hogy nincs információnk a piaci keresleti szint valószínűségéről! Hogyan döntsön: Használjuk fel a marketing részleg által adott valószínűségekre vonatkozó információkat! Hogyan döntsön ezek birtokában? A vállalatvezetés úgy döntött, hogy csak akkor veszi át a terület bérleti díját, ha várhatóan 100000 db-ot el tud adni a fákból. A marketing részleg által adott előrejelzés az esetek 68%-ában jelezte előre helyesen a 100000 db eladását. A részleg 50000db keresleténél 5%-ban jelezte a 100000db eladását, 125000db keresleténél 12%-ban és 150000 db keresleténél 8%-ban és 200000 db keresleténél pedig 7%ban. Mekkora valószínűséggel veszi meg a területet? Hosszú távon mekkora nyereségre számíthat a vállalat?

Megoldás – Példa 2 Döntési mátrix (ezer dollárban): Bizonytalan döntések Wald kritérium: s1 stratégia, 50000 db t1: 50000 t2: 100000 t3: 125000 t4: 150000 t5: 200000 s1: 50000 200 s2: 100000 50 450 s3: 125000 -25 375 575 s4: 150000 -100 300 500 700 s5: 200000 -250 150 350 550 950

Megoldás – Példa 2 Bizonytalan döntések osztálya: Maximax kritérium: s5 stratégia (200000db) t1: 50000 t2: 100000 t3: 125000 t4: 150000 t5: 200000 s1: 50000 200 s2: 100000 50 450 s3: 125000 -25 375 575 s4: 150000 -100 300 500 700 s5: 200000 -250 150 350 550 950

Megoldás – Példa 2 Bizonytalan döntések osztálya Savage kritérium: 150 000 db t1: 50000 t2: 100000 t3: 125000 t4: 150000 t5: 200000 s1: 50000 200 s2: 100000 50 450 s3: 125000 -25 375 575 s4: 150000 -100 300 500 700 s5: 200000 -250 150 350 550 950 t1: 50000 t2: 100000 t3: 125000 t4: 150000 t5: 200000 s1: 50000 -250 -375 -750 s2: 100000 -150 -125 -500 s3: 125000 -225 -75 s4: 150000 -300 s5: 200000 -450

Megoldás – Példa 2 Bizonytalan döntések osztálya Laplace kritérium 200 s2: 100000 50 450 s3: 125000 -25 375 575 s4: 150000 -100 300 500 700 s5: 200000 -250 150 350 550 950 𝑀 𝑠 2 = 50+4∙450 5 =370 𝑀 𝑠 3 = −25+375+3∙575 5 =415 𝑀 𝑠 1 =200 𝑀 𝑠 4 = −100+300+500+700+700 5 =420 𝑀 𝑠 5 = −250+150+350+550+950 5 =350

Megoldás – Példa 2 Bizonytalan döntések osztálya: Hurwicz kritérium (opt. együttható legyen:0,65) t1: 50000 t2: 100000 t3: 125000 t4: 150000 t5: 200000 s1: 50000 200 s2: 100000 50 450 s3: 125000 -25 375 575 s4: 150000 -100 300 500 700 s5: 200000 -250 150 350 550 950 φ 𝑠 1 =200 φ 𝑠 2 =0,65∙450+0,35∙50=310 φ 𝑠 3 =0,65∙575+0,35∙(−25)=365 φ 𝑠 4 =0,65∙700+0,35∙(−100)=420 φ 𝑠 5 =0,65∙950+0,35∙(−250)=530

Megoldás – Példa 2 Kockázatos döntések osztálya ML kritérium t1: 50000 𝑃 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑡 2 =0,4 𝑃 𝑡 3 =0,2 𝑃 𝑡 4 =0,2 𝑃 𝑡 5 =1 t1: 50000 t2: 100000 t3: 125000 t4: 150000 t5: 200000 s1: 50000 200 s2: 100000 50 450 s3: 125000 -25 375 575 s4: 150000 -100 300 500 700 s5: 200000 -250 150 350 550 950

Megoldás – Példa 2 Kockázatos döntések osztálya VÉ kritérium t1: 50000 𝑃 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑡 2 =0,4 𝑃 𝑡 3 =0,2 𝑃 𝑡 4 =0,2 𝑃 𝑡 5 =0,1 t1: 50000 t2: 100000 t3: 125000 t4: 150000 t5: 200000 s1: 50000 200 s2: 100000 50 450 s3: 125000 -25 375 575 s4: 150000 -100 300 500 700 s5: 200000 -250 150 350 550 950 𝑀 𝑡 =0,1∙50000+0,4∙100000+0,2∙125000+0,2∙150000+0,1∙200000=120000

Megoldás – Példa 2 Kockázatos döntések osztálya: VP kritérium 𝑃 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑡 2 =0,4 𝑃 𝑡 3 =0,2 𝑃 𝑡 4 =0,2 𝑃 𝑡 5 =0,1 t1: 50000 t2: 100000 t3: 125000 t4: 150000 t5: 200000 s1: 50000 200 s2: 100000 50 450 s3: 125000 -25 375 575 s4: 150000 -100 300 500 700 s5: 200000 -250 150 350 550 950 𝑀 𝑠 1 =200 𝑀 𝑠 2 =0,1∙50+0,9∙450=410 𝑀 𝑠 3 =0,1∙(−25)+0,4∙375+0,5∙575=435 𝑀 𝑠 4 =0,1∙ −100 +0,4∙300+0,2∙500+0,3∙700=420 𝑀 𝑠 5 =0,1∙ −250 +0,4∙150+0,2∙900+0,1∙950=310

Megoldás – Példa 2 Kockázatos döntés pótlólagos információk alapján  Z esemény: 100000db-ot jelez előre A priori val. Felt. val. Posteriori val. (Bayes tétel) 𝑃 𝑡 1 𝑧 = 0,1∙0,05 0,324 =0,015 𝑃 𝑡 1 =0,1 𝑃 𝑧 𝑡 1 =0,05 𝑃 𝑡 2 𝑧 = 0,4∙0,685 0,324 =0,84 𝑃 𝑡 2 =0,4 𝑃 𝑧 𝑡 2 =0,68 𝑃 𝑡 3 =0,2 𝑃 𝑧 𝑡 3 =0,12 𝑃 𝑡 3 𝑧 = 0,2∙0,12 0,324 =0,074 𝑃 𝑡 4 𝑧 = 0,2∙0,08 0,324 =0,05 𝑃 𝑡 4 =0,2 𝑃 𝑧 𝑡 4 =0,08 𝑃 𝑡 5 𝑧 = 0,1∙0,07 0,324 =0,0216 𝑃 𝑡 5 =0,1 𝑃 𝑧 𝑡 5 =0,07 𝑃 𝑧 =0,1∙0,05+0,4∙0,68+0,2∙0,12+0,2∙0,08+0,1∙0,07=0,324

Megoldás – Példa 2 t1: 50000 t2: 100000 t3: 125000 t4: 150000 0,015 0,84 0,074 0,05 0,0216 t1: 50000 t2: 100000 t3: 125000 t4: 150000 t5: 200000 s1: 50000 200 s2: 100000 50 450 s3: 125000 -25 375 575 s4: 150000 -100 300 500 700 s5: 200000 -250 150 350 550 950 𝑀 𝑠 1 =200 𝑀 𝑠 2 =0,015∙50+0,985∙450=444 𝑀 𝑠 3 =0,015∙(−25)+0,84∙375+0,1456∙575=398,345 𝑀 𝑠 4 =337620 𝑀 𝑠 5 =196170

Döntéselmélet – Példa 3 A Bartlett Corporation fénycsövekkel lát el kaliforniai irodákat. Az elmúlt 20 évben komoly erőfeszítéseket tett a minőségi termékgyártás irányába, és elég nagy ügyfélkört alakított ki. A Bartlett is folyamatosan növelni szeretné a nyereségét más vállalatokhoz hasonlóan. A Bartlett beszerzési igazgatója olyan fénycsőforrásokat keres, amelyek hozzájárulnak az előbbi cél megvalósításához. Pillanatnyilag a Brightday nevű vállalattól vásárolják a fénycsöveket. E beszállító a múltbeli tapasztalati adatok alapján az alábbi hibaaránnyal dolgozik. Hibaarány Valószínűség 0,01 0,5 0,02 0,4 0,03 0,1 Összesen 1

Költségek várható értéke Döntéselmélet – Példa 3 A Bartlett Corporation garanciavállalása szerint a hibás fénycsöveket kicserélik, és a cserével kapcsolatos költségeket (5$/db) a vállalat állja. A marketing osztály 100 000 db fénycső keresletét jelzi előre a következő évre. Ha mind a 100 000 db fénycsövet a Brightdaytől szerzik be, akkor a hibás fénycsövek aránya és költsége az alábbiak szerint alakul: A várható csereköltség 8000$ 100 000 db iránti kereslet esetén. Hibás darabok száma Költség Valószínűség Költségek várható értéke 1000 5000 0,5 2500 2000 10000 0,4 4000 3000 15000 0,1 1500 Összesen 1 8000

Döntéselmélet – Példa 3 A Bartlett Corporationnél jelentkezett egy újabb beszállító, a West German. A 100 000 db fénycsőre egy 0,25$/db alacsonyabb árajánlatot adott, mint amit a Brightday pillanatnyilag nyújt. Bár a beszállítás költsége alacsonyabb, a Bartlettnek nincs közvetlen információja a West German hibaarányáról. Ennek becsléséhez más európai beszállítók révén szerzett tapasztalataikat használják fel. Hibaarány Valószínűség 0,01 0,1 0,02 0,04 0,3 0,08 0,10 0,15 Összesen 1,0

Döntéselmélet – Példa 3 A várható csereköltség (West German) 100 000 db fénycső esetén: A várható csereköltség 32000$ 100 000 db iránti kereslet esetén >> 8000$ (Brightday). Ám a West German által szállított fénycsövek 0,25$-ral olcsóbbak, ez 100 000 db esetén: 25000$, ehhez hozzáadva a 8000$-t=33000$. Hibaarány Hibás darabok Költség Valószínűség Várható költség 0,01 1000 5000 0,1 500 0,02 2000 10000 0,04 4000 20000 0,3 6000 0,08 8000 40000 12000 0,10 50000 0,15 15000 75000 7500 Összesen 1,0 32000

Döntéselmélet – Példa 3 Eddig a várható érték kritériumot alkalmaztuk. Ha az előző számítást vesszük, akkor az a West German mellett szól. Ugyanakkor a Bartlett a hosszú távú partnerkapcsolatok mellett érvelve fontosnak tartja a Brigthdayt, mint üzleti partnert, így további információkhoz szeretne hozzájutni. Ezért a West Germantől mintát kér, és az így szerzett pótlólagos információkat kívánja meg kombinálni az a priori információkkal, hogy jobb döntést hozzon – ehhez a Bayes logikát használja. A bekért 50 elemű mintában 6 darab volt hibás. Hogyan döntsön a vállalat?

Megoldás – Példa 3 Feltételes valószínűségek meghatározása: az egyes hibaarányok, mint feltételek mellett, mekkora a valószínűsége annak, hogy egy 50 elemű mintában 6 hibásat találunk? „A” esemény: egy 50 elemű mintában 6 a hibás, keressük: a P(A|Bi) valószínűségeket, a Bi események (hibaarányok) teljes eseményrendszert alkotnak, páronként kizárják egymást Ezek a hibaarányok lesznek a binomiális eloszlás „p” értékei Feltételes valószínűségek meghatározása: táblázat vagy képlet alapján: Hibaarány A priori valószínűség Feltételes valószínűségek 0,01 0,1 0,000 (tábl) 0,02 0,0004 0,04 0,3 0,0108 0,08 0,1063 0,10 0,1541 (tábl) 0,15 0,1419 (tábl) Összesen 1

Megoldás – Példa 3 Következő feladat: az a priori és az újonnan szerzett részleges információk ötvözése  Bayes tétel Az „A” esemény (egy 50 elemű mintában 6 hibás) valószínűsége (a teljes valószínűség tétele alapján) és a posteriori valószínűségek (a Bayes tétel alapján): Hibaarány A priori valószínűség Feltételes valószínűségek P(A|Bi)*P(Bi) Posteriori valószínűségek P(Bi|A) 0,01 0,1 0,000 0,02 0,0004 0,00004 0,000618 0,04 0,3 0,0108 0,00324 0,050023 0,08 0,1063 0,03189 0,492358 0,10 0,1541 0,01541 0,237918 0,15 0,1419 0,01419 0,219083 Összesen 1 0,06477

Megoldás – Példa 3 A régi és új információk ötvözése alapján a priori valószínűségek szerepét a posteriori valószínűségek veszik át: Mivel $30000<$49028,08 az eredeti (rendelkezésre álló) információk alapján hozott döntés módosult a pótlólagos információk következtében. Hibaarány Hibás darabok Költség Valószínűség Várható költség 0,01 1000 5000 0,02 2000 10000 0,000618 $6,18 0,04 4000 20000 0,050023 $1000,46 0,08 8000 40000 0,492358 $19694,32 0,10 50000 0,237918 $11895,9 0,15 15000 75000 0,219083 $16431,22 Összesen 1,0 $49028,08