Transzportfolyamatok, megmaradási tételek

Transzportfolyamatok Transzportfolyamat - áramlás, helyváltoztatás A vegyipari műveletek egységei között transzportfolyamatok az egyensúly irányába játszódnak le. A vegyipari berendezések áramló közegekkel dolgoznak, így a műveleti egysége kvalitatív leírásához a bennük áramló mennyiségek tér-idő függése alapvető jelentőségű. Az áram addig megy, míg be nem áll az egyensúly (extenzív paraméterek áramlása) A transzport folyamatok nagyságát az extenzív mennyiségek áramlásával fejezzük ki.

Peltier elem

Áram Az áram az extenzív mennyiségek (y) térben való elmozdulása, amely mindig valamilyen geometriai felületen át történik. Skaláris mennyiség. Áram (Iy) = Extenzív mennyiség/ idő = dY/dt A művelettanban 4 áram elegendő a rendszer jellemzésére: - tömegáram {kg/s}; - komponensáram {mol/s} - hőáram {J/s}; - impulzusáram {kg ·m/s2} Hajtóereje: ahol dS az entrópiaváltozás ha IY 0 akkor FY 0 az áram arányos a hajtóerővel ha FY akkor IY is konstans

Áramsűrűségek Hőáram : Impulzus : Tömeg : Elektromosság :

Áramsűrűség,Potenciál Áramsűrűség: Az áramsűrűség egy vektor, amelynek iránya megegyezik az áramlás irányával, nagysága pedig az extenzív mennyiségnek az áramlás irányára merőleges egységnyi keresztmetszetű felületen időegység alatt átlépő mennyiségével. Áramsűrűség (jy) = Extenzív mennyiség/(felület ·idő) jy= y/(A·t) Potenciál: A statikus villamos teret egy kiválasztott pontjához képest fennálló munkavégző képessége szempontjából a potenciál jellemzi. A villamos töltések a villamos tér egyes pontjaiban potenciális energiával rendelkeznek. Valamely pont potenciálja megegyezik az illető pont és a nulla potenciálúnak választott hely közötti feszültséggel. Jele:U mértékegysége: joule/coulomb = volt(V).

Általánosított sűrűség Általánosított sűrűség: ha az áramot külső hatással hozzuk létre, makroszkópikus változást idézünk elő. ( G ) = extenzív mennyiség/térfogat r= Általánosított: G=Y/V Tömeg: r = m/V (kg/m3) Komponens: ci = ni/V (mol/m3) Hő (entalpia) = r · cp · T (J/m3) Impulzus = r ·v (kg/m2 · s)

Áram - vegyipari műveleti egységet alkotó készülékek A vegyipari műveleti egységet alkotó készülékekben egy fázison belül konvektív és/vagy konduktív (vezetéses) áram fordulhat elő. Ezekre az áramokra érvényes kontinuitási összefüggés. Az áramlástanban az anyagmegmaradás törvényt nevezzük folytonosság vagy kontinuitás tételnek. A folytonosság (kontinuitás) tétele azt a fontos tapasztalatot fejezi ki, hogy tömeg nem keletkezhet, és nem tűnhet el. A fázishatáron az egyes fázisok között átadási áram léphet fel. Mechanizmusok alapján az extenzív mennyiségek transzportja az alábbi 3 folyamat valamelyikébe sorolható: - konvekció - vezetés - átadás

Konvektív (vándorlásos) áram Ha az áramot külső behatással (pl. szivattyúval) hozzuk létre, akkor makroszkopikus változást idézünk elő. Ez az ún. konvektív áram, ahol G általánosított sűrűségű részecskehalmaz teljes tömegében elmozdul a tér egyik pontjából a másikba. Tekintsünk egy dx dy dz élhosszúságu kockával körülhatárolt térfogatelemet (dV) , amely az x tengellyel párhuzamosan halad dt idő alatt dx távolságot megtéve.

Konvektív (vándorlásos) áram általánosított sűrűségű dV térfogatelem IY áramra külső hajtóerő hatására sebességgel elmozdul. Az A felületen keresztülhaladó extenzív mennyiség árama: Az áramsűrűség 𝑗 𝑥 komponense dydz felületre merőleges elmozdulást jelenti, ahol az 𝑖 az irányítottság. 𝑗 𝑥 = 𝑑Ψ 𝑑𝑡 = Γ 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = Γ v 𝑥 𝑖 ; 𝑗 𝑦 = Γ v 𝑦 𝑗 ; 𝑗 𝑧 = Γ v 𝑧 𝑘 Konvektív áramsűrűség: az extenzív mennyiség sűrűségét megszorozzuk az elmozdulás sebességével 𝑗 = Γ v

Konvektív áramsűrűség Konvektív áramsűrűség: 𝑗 𝑘 Tömegre: 𝑗 = 𝜌 v Komponensre: 𝑗 = 𝑐 𝑖 v Hőre: 𝑗 = 𝜌 𝑐 𝑝 𝑇 v Impulzusra: 𝑗 = 𝜌 v v

Vezetéses áram Vezetéses áram jön létre, ha a térben egy fizikai mennyiség sűrűsége nem egyforma (nem uniform rendszer), akkor a rendszerben vezetéses transzport indul el,amely ezt a sűrűségkülönbséget igyekszik kiegyenlíteni. A rendszerben a kiegyenlítődésre olyan folyamat indul el, amelynek nagysága: Iránya: 𝑗 𝑣𝑒𝑧 =− 𝛿 𝑔𝑟𝑎𝑑 G (-) az áramlás a nagyobb sűrűség felől a kisebb irányába megy

Vezetéses áram Kezdeti állapot Köztes állapot Végállapot

Vezetéses áramsűrűség Komponens vezetés/Diffúzió 𝑗 𝑘 =− 𝐷 𝑡ö𝑚𝑒𝑔 𝑔𝑟𝑎𝑑𝜌 D: diffúziós állandó (m2/s) 𝑗 𝑘 =− 𝐷 𝑖,𝑘𝑜𝑚𝑝 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑐 𝑖 =− 𝐷 𝑖 𝜕 𝑐 𝑖 𝜕𝑥 𝜕 𝑐 𝑖 𝜕𝑦 𝜕 𝑐 𝑖 𝜕𝑧 így Fick I. törvénye : 𝑗 𝑘 =− 𝐷 𝑖 𝜕 𝑐 𝑖 𝜕𝑥 Hővezetés (Fourier I. törvénye): 𝑗 𝑞 =−𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜌 𝑐 𝑝 𝑇 =−𝑎 𝜕 𝜕𝑥 𝜌 𝑐 𝑝 𝑇 𝜕 𝜕𝑦 𝜌 𝑐 𝑝 𝑇 𝜕 𝜕𝑧 𝜌 𝑐 𝑝 𝑇 a: hőmérséklet-vezetési együttható (m2/s) és r , cp változása kicsi (áll.) 𝑗 𝑞 =−𝑎𝜌 𝑐 𝑝 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑇=−𝜆 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑇 így 𝑗 𝑞 =−𝜆 𝜕𝑇 𝜕𝑥 l: hővezetési tényező (J/msK) és a = l/ r cp

Impulzus áramsűrűség 𝑗 𝑖 =−𝜐 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜌 v =−𝜂 𝑔𝑟𝑎𝑑 v Állandó sűrűségű fluidum esetén r kiemelhető : kinematikai viszkozitás (m2/s); h: =  r dinamikai viszkozitás (kg/m s) Newton súrlódási törvénye szerint egy áramló fluidum áramlásra merőleges irányú impulzusáram sűrűsége a nyíró,- vagy csúsztatófeszültség (t ): 𝑗 𝑖 𝑥,𝑦 = 𝜏= 𝜆 𝜕𝑝 v 𝑥 𝜕𝑦 =−𝜂 𝜕 v 𝑥 𝜕𝑦

Átadási áram A konvektív és vezetéses áramok összefüggései csak a fázis határfelületéig érvényesek. A fázis határfelületén az állapotváltozók (c, T, v) törést mutatnak, a koncentráció szakadást is. A határrétegbeli változások miatt előáll egy új áramforma az átadási áram, mely szerint a fázisok közötti áram arányos a fázisok közötti A érintkezési felület nagyságával és a fázisok belsejében lévő koncentráció-, hőmérséklet- , ill. sebességkülönbséggel. Az átadási áram az extenzív mennyiségek áramlása az egyik fázisból a másikba DG hajtóerő hatására a két fázis határán lévő ellenálláson keresztül

Átadási áram Általános egyenlete: I = e A DG Komponensre: Ik= b A Dci a, b, g: átadási tényezők Hőre: Iq = a A DT Impulzusra: Ip = g A Dv Átbocsátás: ha két fázis nem érintkezik közvetlenül (v. szilárd fal választja el), akkor ezekben az érintkezési felületekben a vezetéses áram hozza létre az összeköttetést a két fázis átadási árama között.

Mennyiség Hajtóerő Sűrűség Áram Áramsűrűség Konvek- tív (jk) Vezetéses (jv) Átadás (já) Általáno-sított   G = ψ /V I = ψ/t G v -d grad   A G Tömeg m(kg) p r = m/V m/t (kg/s) r v (kg/m2 s) -D grad   A  Kompo-nens ni = mi/Mi (mol) i ci = ni/V ni/t (mol/s) ci v (mol/m2 s) -Di grad ci (Fick I.) A c Hő (entalpia) Q = m cp T (J) T  cp T m cp T/t (J/s) r cp T v (J/m2 s) -a grad ( cp T) - grad T (Fourier)  A T Impulzus I = m v (kg m)/s v  v m v/t (kg m/s2)  v2 (kg/ ms2) - grad ( v) - grad v (Newton)  A v

Mérlegegyenletek Az összes tömeg, kémiai komponensek tömege, hő és impulzus –mennyiségekre felírt mérlegeket mérlegegyenleteknek vagy mozgásegyenleteknek nevezzük. Általános alak: (Lokális v. = (konvekció)+(vezetés)+(átadás)+(forrás) időbeli megváltozás) Minden mérlegegyenlet azt a megfigyelést írja le, hogy egy adott rendszerben bizonyos idő alatt adott extenzív mennyiségből annyi gyűlik össze, amennyivel több áramlik be mint ki a rendszerben, plusz amennyi termelődik a rendszerben

Mérlegegyenletek=megmaradási összefüggések Bizonyos extenzív mennyiségekre megmaradási törvények írhatók fel, ami azt jelenti, hogy az adott mennyiség nem tűnik el, és nem keletkezik. Ilyen megmaradó mennyiség például a tömeg, az energia vagy az elektromos töltés. A megmaradó mennyiségekre felírható mérlegegyenlet a következő alakra egyszerűsödik: belépő mennyiség - kilépő mennyiség = felhalmozódás A megmaradási tételek legegyszerűbb formáit forrásmentes, stacionárius műveleti egységekre írhatjuk fel. Stacionárius: az intenzív paraméterek eloszlása időtől független (időben állandósult)

Mérlegegyenletek Attól függően, hogy egy jól-definiált felülettel körülvett véges térfogatra, vagy egy infinitézimálisan kis térfogatra (és/vagy infinitézimálisan rövid időre) írjuk fel, megkülönböztetünk integrális (globális) és differenciális (lokális) mérlegegyenletet. Integrális mérlegegyenlet írható fel például egy műveleti egység ki és belépő áramaira, vagy egy technológiára. pl. egy abszorberre

Bruttó mérlege: G1 + F1 = G2 + F2 (mol/s) elválasztandó komponens fajlagos mérlege: G1 y1 + F1 x1 = G2 y2 + F2 x2 Integrális mérlegegyenlet

Mérlegegyenletek Felírásuk alapja a megmaradási tételek alkalmazása egy elemi térfogatra, ahol d=1,2 vagy 3 a térdimenziók száma. Amennyiben a folyadék mozgásban van, áthaladhat a térfogatot határoló S kontrolfelületen. Egyes molekulák akkor is áthaladhatnak a felületen ha a folyadék nyugalomban van. A V elemben lévő folyadék fizikai és kémiai tulajdonságait befolyásolják a környező közeg tulajdonságai. Néhány mennyiség, mint pl a tömeg, energia és impulzus megmaradnak. Egyik helyről a másikra vándorolhatnak, de nem jelenhetnek meg a semmiből, vagy tűnhetnek el. A keletkezésüket és transzportjukat leíró fizikai törvények ismertek ezért a megmaradási tételeket differenciál egyenletek formájában is felírhatjuk.

Legyen c(x, t) ϵ R (anyagmennyiség per tömegegység) egy skaláris megmaradó mennyiség koncentrációja az x ϵ V pontban és t ≥ 0 időpillanatban. A megfelelő térfogati koncentráció u = ρc, ahol ρ a vivőfolyadék sűrűsége. A megmaradó változó teljes mennyisége a V térfogatban az alábbi térfogati integrállal egyenlő: Nyílvánvalóan a mennyiség változása attól is függ, milyen gyorsan lép be vagy távozik a c koncentráció a V térfogatba az S felületen keresztül. Ezt a sebességet áramsűrűségnek (fluxusnak) nevezzük és következőképpen jelöljük. A ds infinitézimálisan kicsi felületen időegység alatt áthaladó tömeg = f·n ds. A kémiai reakciók, fűtés, hűtés és hasonló folyamatok belső forrásokat vagy nyelőket eredményeznek, melyek s(x, t) egységnyi tömeget generálnak egységnyi térfogatban egységnyi idő alatt. Ezért A fenti egyenlet időbeli változása a következő integrális mérleg egyenlettel írható le.

Differenciális mérlegegyenlet

Differenciális mérlegegyenletek = Ha a belső változások teljes folyamatára, a lokális kölcsönhatásokra is kíváncsiak vagyunk, amik nemcsak térbe, de időben is változnak, differenciális típusú mérlegegyenletet kell felírni. Tetszőleges térfogatelemre: Az áramerősség differenciális megváltozása : Ha divj=0, akkor nincs változás, stacionárius, forrásmentes a rendszer.

Áramló rendszerek,Forrás Az áramló rendszerekben a nem megmaradó extenzív mennyiségekre források (G) is lehetségesek. A térfogatelemben előálló áramtöbblet, azaz növekedés a forrás. Áramhiány, azaz csökkenés esetén nyelőről beszélünk. Általánosan a forrás az áram térfogat szerinti differenciálhányadosa. = stacionárius, a térfogatelemen átmenő áramsűrűség nem változik Tömegre: a tömegmegmaradás törvénye kimondja, hogy az anyag nem tűnik el, és nem keletkezik ezért nincs se forrás se nyelő. ni: sztöchiometriai együttható r: reakciósebesség DH: reakcióhő p: nyomás Instacionárius rendszerekben nem érvényesek!

Mérlegegyenletek felírásának tárgyalásmódjai Áramló rendszerek – az áramlásra jellemző mennyiségek időtől és helytől való függése két módszer szerint írható le. LAGRANGE: a mozgó részecskéket veszi alapul és annak térbeli mozgását kíséri figyelemmel – (részecskékkel mozgunk, azaz a hozzájuk rögzített koordinátarendszert használunk ) EULER: az áramlásra jellemző mennyiségeket a tér egy kijelölt egy pontjában az idő függvényében vizsgáljuk - helyhez kötött koordinátarendszert használunk és az adott térfogatelem állapotjelzőit (sűrűség, sebesség, gyorsulás) határozzuk meg az idő függvényében figyelmen kívül hagyva azt a tényt, hogy a részecskék folyamatosan be és kilépnek a kontrolfelületen. – Ezt a tárgyalásmódot követjük a későbbiekben!

Az ábra egy egyfázisú műveleti egység egy adott pontján áthaladó extenzív mennyiségek áramát ábrázolja. Az egyszerűség kedvéért egy derékszögű koordinátarendszerbe felvett dx dy dz élhosszúságú kockával körülhatárolt térfogatelemre írjuk fel a mérlegegyenleteket.

Kontinuitási tétel Euler: a térfogatelemen átmenő áramsűrűség (komponensek megváltozásának összege) egyenlő a rendszer általánosított sűrűségének idő szerinti változásával – lokális megváltozással. Ez a kontinuitási egyenlet Áramló rendszerek esetén leírja a különböző mennyiségek megmaradását. Az egyenlet kifejezi, hogy forrás nélkül elemi térrészbe belépő és onnan távozó áramok különbsége a lokális megváltozást adja. Ha a rendszerben lokális megváltozástól független forrás is van: Olyan megmaradási tétel, mely térben is, időben is folytonosan leírja a vizsgált tér komponens, hő és impulzusviszonyait kellő peremfeltételek mellett.

Damköhler egyenlet A kontinuitási tételt kiterjesztjük a konvektív és vezetési áramok alakjaira: Átalakítva (egyfázisú rendszerek leírására) Damköhler egyenlet (mennyiség/m3 s) konvekció vezetés forrás lokális változás Vezetés tag (-) Fick I. törvénye; Forrás tag: -G ha reaktáns, +G, ha termékként szerepel komponensáramra: hőáramra: impulzusáramra:

Damköhler egyenlet átadási taggal bővítve Átadási tag térfogategységre vonatkoztatva általánosan: (Benedek László egyenlet) a műveleti egységet leíró általános mérlegegyenlet (több fázisú rendszerekre) komponensáramra: D: diffúziós állandó hőáramra: impulzusáramra: (Navier-Stokes egyenlet)

Benedek László egyenlet A mérlegek általános alakja = kibővített Damköhler egyenlet: (Lokális v. időbeni változás) = konvekció + vezetés+ átadás+ forrás L = K + V + Á + F Lokális változás: extenzív mennyiségek időbeni változása Konvekció: közeg áramlásától függ, az áramlási sebességvektor Vezetés: a részecskék belső rezgése határozza meg Átadás:különböző fázisok között Időben állandósult áramlás: L = 0 Egy fázis esetén: Á = 0 Tömegre nincs forrástag! Newtoni folyadékok áramlása esetén D = 0

Egyértelműségi feltételek (Initial and Boundary conditions) A matematikai modellhez a mérlegegyenleteken kívül hozzátartoznak: 1. Az értelmezési tartomány, amely megadja, hogy az egyenletben szereplő változók (a geometriai változókat is beleértve) milyen intervallumon belüli értékeket vehetnek fel. A geometriai változókra nézve ez egyet jelent a vizsgált rendszer peremének megadásával, vagyis azon geometriai forma leírásával (esetleg rajzával), amely elhatárolja a vizsgált berendezést környezetétől. 2. A peremfeltételek, amelyek jellemzik a rendszernek a környezetével való kölcsönhatását. Meg kell mondanunk, hogy a vizsgált időtartamon belül a teljes peremen, milyen kölcsönhatások lépnek fel a rendszer és környezete között. 3. A kezdeti feltételek, amelyek jellemzik az egész rendszeren belül a vizsgálat kezdeteként választott t0 időpontban a rendszer állapotát. Nyilván olyan esetekben, amikor stacioner (időben állandó) folyamatot vizsgálunk, ez a feltétel elesik. 4. Végül az állapotegyenletek ismerete szükséges, mivel ezek jellemzik a rendszer "munkaközegének'' fizikai tulajdonságait.