Szerkezetek Dinamikája 1. hét: Rudak, mint kontinuumok sajátkörfrekvenciáinak számítása. Szabad rezgés.

Irodalom BSc: Györgyi József Dinamika, Műegyetemi kiadó 2007. MSc: Györgyi József Szerkezetek dinamikája, Műegyetemi kiadó 2006. https://www.me.bme.hu/hu/teaching

Egyszabadságfokú rendszer rezgései Csillapítatlan szabad rezgés A csillapítatlan szabad rezgés differenciálegyenlete: 𝑚 𝑥 𝑡 +𝑘𝑥 𝑡 =0 melyben m tömeg 𝑥 𝑡 gyorsulás k rugómerevség 𝑥 𝑡 megtett út t idő

Egyszabadságfokú rendszer rezgései Csillapítatlan szabad rezgés a amplitúdó T0 sajátrezgésidő α kezdeti fázis Harmonikus rezgőmozgás

Egyszabadságfokú rendszer rezgései Csillapítatlan szabad rezgés A másodrendű állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet általános megoldása: 𝑥 𝑡 =𝑑 𝑒 λ𝑡 𝑚 λ 2 +𝑘=0 λ 1,2 =±𝑖 𝜔 0 és 𝜔 0 = 𝑘 𝑚 , ahol 𝜔 0 a sajátkörfrekvencia. 𝑖= −1 az imaginárius egység A differenciálegyenlet általános megoldása a két gyökhöz tartozó megoldás lineáris kombinációja. 𝑥 𝑡 =𝐴cos 𝜔 0 𝑡 +𝐵sin 𝜔 0 𝑡

Egyszabadságfokú rendszer rezgései Csillapítatlan szabad rezgés A megoldásban szereplő állandókat a kezdeti feltételekből tudjuk meghatározni. Ha 𝑡 0 =0; 𝑥=𝑥 0 , 𝑥 = 𝑣 0 𝑥 𝑡 = 𝑥 0 cos 𝜔 0 𝑡 + 𝑣 0 𝜔 0 sin 𝜔 0 𝑡 =𝑎∙sin 𝜔 0 𝑡+𝛼 Melyben 𝑎= 𝐴 2 + 𝐵 2 és 𝛼=arctg 𝐴 𝐵 𝜔 0 𝑡+𝛼 fázis α kezdeti fázis A 𝜔 0 𝑡 0 =2𝜋 egyenletből 𝑇 0 = 2𝜋 𝜔 0 [s] sajátrezgésidő és 𝑛 0 = 1 𝑇 0 = 𝜔 0 2𝜋 [1/s=Hz] önrezgésszám számítható.

Egyszabadságfokú rendszer rezgései Csillapított szabad rezgés A sebességgel arányos külső csillapításnak megfelelő differenciálegyenlet: 𝑚 𝑥 𝑡 +𝑐 𝑥 𝑡 +𝑘𝑥 𝑡 =0 melyben c az egységnyi sebességhez tartozó ellenállási erő 𝑥 𝑡 sebesség A karakterisztikus egyenlet: 𝑚 λ 2 +cλ+𝑘=0 Megoldásai: λ 1,2 =− 𝑐 2𝑚 ± 𝑐 2𝑚 2 − 𝑘 𝑚

Egyszabadságfokú rendszer rezgései Csillapított szabad rezgés A képletben szereplő négyzetgyök alatti kifejezésben lévő két tag nagyságától függően három eset különböztethető meg, amikor is: a csillapítás nagy, csillapítás kritikus; a csillapítás kicsi. 𝑐 2𝑚 2 − 𝑘 𝑚

Csillapított szabad rezgés A csillapítás nagy λ 1,2 =− 𝑐 2𝑚 ± 𝑐 2𝑚 2 − 𝑘 𝑚 𝑐 2𝑚 2 > 𝑘 𝑚 vagy 𝑐>2 𝑘𝑚 a gyökjel alatti érték előjele pozitív, tehát a gyökök valósak mivel a gyök értéke 𝑐 2𝑚 -nél kisebb, mindkét λ negatív előjelű lesz Bevezetve a 𝜌= 𝑐 2𝑚 és az 𝑟= 𝑐 2𝑚 2 − 𝑘 𝑚 jelöléseket: λ 1,2 =−𝜌±𝑟 és 𝑥 𝑡 = 𝑑 1 𝑒 − 𝜌 1 𝑡 + 𝑑 2 𝑒 − 𝜌 2 𝑡 Nem lesz rezgés!

Csillapított szabad rezgés A csillapítás kritikus λ 1,2 =− 𝑐 2𝑚 ± 𝑐 2𝑚 2 − 𝑘 𝑚 𝑐 2𝑚 2 = 𝑘 𝑚 vagy 𝑐=2 𝑘𝑚 Ekkor λ 1 = λ 2 =− 𝑐 2𝑚 =−𝜌 és 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝜌𝑡 𝑑 1 + 𝑑 2 𝑡 Rezgés nincsen, mert 𝑒 −𝜌𝑡 jobban csökken, mint ahogy t növekszik. A mozgás a nyugalmi helyzethez közelít.

Csillapított szabad rezgés A csillapítás kicsi λ 1,2 =− 𝑐 2𝑚 ± 𝑐 2𝑚 2 − 𝑘 𝑚 𝑐 2𝑚 2 < 𝑘 𝑚 vagy 𝑐<2 𝑘𝑚 A gyök alatti kifejezés negatív lesz, két gyököt kapunk. Bevezetve az 𝜔 0 ∗ = 𝑘 𝑚 − 𝑐 2𝑚 2 jelölést λ 1,2 =−𝜌±𝑖 𝜔 0 ∗ 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝜌𝑡 𝐴cos 𝜔 0 ∗ 𝑡+𝐵sin 𝜔 0 ∗ 𝑡

Csillapított szabad rezgés A csillapítás kicsi Ha 𝑡 0 =0; 𝑥=𝑥 0 , 𝑥 = 𝑣 0 𝑥 𝑡 = 𝑒 −𝜌𝑡 𝑥 0 cos 𝜔 0 ∗ 𝑡+ 𝑣 0 +𝜌 𝑥 0 𝜔 0 ∗ sin 𝜔 0 ∗ 𝑡 az egytömegű, egyszabadságfokú rendszer csillapított szabad rezgése egy olyan 𝜔 0 ∗ frekvenciájú periodikus rezgőmozgás, amelynek amplitúdói az 𝑒 −𝜌𝑡 szorzó miatt t növekedésével csökkennek. 𝜔 0 ∗ = 𝜔 0 1− 𝑐 2 4𝑘𝑚 𝑇 0 ∗ = 2𝜋 𝜔 0 ∗ és 𝑛 0 ∗ = 1 𝑇 0 = 𝜔 0 ∗ 2𝜋

Csillapított szabad rezgés Szerkezeti csillapítás Ha egy adott szerkezetet rezgésbe hozunk, majd hagyjuk, hogy szabad rezgést végezzen, a rezgés akkor is csillapodni fog, ha nincs külső rezgéscsillapítás. Ennek oka az ún. szerkezeti csillapítás, a szerkezet kapcsolatainál fellépő súrlódás és az anyag nem tökéletesen rugalmas volta, az ún. belső súrlódás. 𝑐 𝑒𝑘𝑣 =𝛾 𝑘𝑚 , ahol 𝛾= 𝜌 𝑇 0 ∗ 𝜋 és 𝜌= 𝛾 2 𝜔 0 ∗ 𝜔 0 ∗ = 𝜔 0 1− 𝛾 2 4 A szerkezeti csillapítás frekvenciát módosító hatása frekvenciafüggetlen. Valós szerkezeteknél az 𝜔 0 ∗ -ra kapott összefüggésben a négyzetgyök alatti kifejezés második tagja az első taghoz képest igen kicsi, ami azt jelenti, hogy a szerkezeti csillapítás az önrezgésszámra, sajátkörfrekvenciára nincs jelentős hatással.

Kontinuumok rezgése Rúd hajlító rezgésének számítása a rúd állandó keresztmetszetének területe A [m2], míg a hajlítás tengelyére számított inercianyomatéka I [m4], a rúd anyagának rugalmassági modulusa E [kN/m2] és anyagának sűrűsége ρ[t/m3], a rúd úd v(x,t) hajlító rezgéséhez tartozó differenciálegyenlet (elhanyagolva a nyírási alakváltozásnak, a rúdban lévő statikus normálerőnek és az elfordulási tehetetlenségnek a hatását, valamint bevezetve a μ=ρA fajlagos tömeget):

Kontinuumok rezgése Rúd hajlító rezgésének számítása egy közönséges differenciálegyenletet kapunk, amelyet a v(x)-nek és az 𝜔 0 -nak ki kell elégítenie: bevezetésével (1)

Kontinuumok rezgése Rúd hajlító rezgésének számítása (1)-be behelyettesítve a 𝑣 0 =0 feltételt: (2)-be behelyettesítve a 𝑣" 0 =0 feltételt: λ értéke nem lehet zérus: (2)

Kontinuumok rezgése Rúd hajlító rezgésének számítása Az (1) és (2) egyenletekbe a 𝑣 𝑙 =0 és 𝑣" 𝑙 =0 feltételeket behelyettesítve, valamint figyelembe véve, hogy λ nem lehet zérus: A két egyenletet összeadva: a sh λ csak λ=0-nál zérus: A két egyenletet kivonva: most 𝑐 2 nem lehet zérus, tehát sin λ kell zérus legyen, úgy hogy λ nem lehet zérus:

Kontinuumok rezgése Rúd hajlító rezgésének számítása Egy adott r esetén: Figyelembe véve a kifejezést: Az 𝜔 0𝑟 értékek a két végén csuklós kéttámaszú tartó hajlító rezgéséhez tartozó sajátkörfrekvenciák, az (3) alatti függvények pedig a hozzájuk tartozó rezgésalakok. (3)

Kontinuumok rezgése Rúd hajlító rezgésének számítása A megoldásba 𝑡=0 –t helyettesítve: 𝑡=0 -t helyettesítve:

Szögfüggvények Forrás: Wikipédia