Kvantitatív módszerek 3. Leíró statisztika Dr. Kövesi János egyetemi tanár

Kvantitatív módszerek Bevezetés 24 Statisztikai elemzések lényege Az elemzés statisztikai módszerei Leíró statisztika Következtető statisztika Diszkrét és folytonos adatok Kvantitatív módszerek

Statisztikai leírás alapjai 24 A statisztikai leírás célja, módszerei Statisztikai leírás mutatói Középértékek Ingadozásmutatók Egyéb mutatók Grafikus kép Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Oszlopdiagram 25 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Kördiagram 26 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Sávdiagram 26 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Vonaldiagram 26 Kvantitatív módszerek

Adatok rendezése, ábrázolása 28 Osztályba sorolás Gyakoriságok (fi) megállapítása Relatív gyakoriság (gi) megállapítása Összegzett (kumulált) gyakoriságok ill. relatív gyakoriságok (fi’; gi’) Gyakorisági táblázat Grafikus ábrázolás Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 28 Egy folyamatos üzemben …. Gyakorisági táblázat készítése - Legkisebb és legnagyobb értékek megkeresése - Gyakoriságok meghatározása 0  1  : Kvantitatív módszerek

Relatív gyakoriság(gi) Példa 28 A gyakorisági táblázat: Leállások száma Gyakorisága (fi) Relatív gyakoriság(gi) 3 0,125 (12,5%) 1 5 0,208 (20,8%) 2 4 0,168 (16,8%) 0,083 (8,3%) 6 összesen 24 1,000 (100%) Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 29 Adatok ábrázolása: gyakoriságok Relatív Leállások száma 5 4 3 2 1 0,2 0,16 0,12 0,08 0,04 6 Kvantitatív módszerek

kumulált gyakoriság (fi’) kumulált relatív gyakoriság (gi’) Példa 29 A gyakorisági táblázat folytatása: leállások száma kumulált gyakoriság (fi’) kumulált relatív gyakoriság (gi’) 3 0,125 1 8 0,333 2 13 0,541 17 0,709 4 20 0,834 5 22 0,917 6 24 1,000 Kvantitatív módszerek

Példa Kumulált relatív gyakoriság ábrázolása: 29 Kumulált relatív gyakoriságok Leállások száma 1 2 3 4 5 6 0,5 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa Műszeralkatrészek átmérőjét... Gyakorisági táblázat készítése: Minimum és maximum értékek keresése Terjedelem meghatározása: R = 8,50 - 8,13 = 0,37 Osztályok számának meghatározása 8,13 8,50 Osztályhatárok, -közepek számolása Gyakoriságok meghatározása Táblázat és a hisztogram elkészítése Kvantitatív módszerek

(Osztályközös) gyakorisági sor Az Y szerint képzett osztály 31 (Osztályközös) gyakorisági sor Az Y szerint képzett osztály Osztály- közép abszolút relatív alsó felső gyakoriság határa X10 X11 X1* f1 g1 X20 X21 X2* f2 g2 Xi0 Xi1 Xi* fi gi … Xk0 Xk1 Xk* fk gk Összesen N 1 Kvantitatív módszerek

Gyakorisági hisztogram Gyakoriságok Osztályközök Kvantitatív módszerek

Kumulált relatív gyakoriság 1 0,8 0,6 0,4 0,2 Osztályközök [mm] 8,125 8,185 8,245 8,305 8,365 8,425 8,485 Kvantitatív módszerek

Példa: 5 éves időszak havi hozamainak értékei 30 dátum BUX (%) 2. 1. -7,54 1. 5. -18,98 1. 4. 35,26 1. 6. 32,3 1. 7. -7,22 3,16 3. 1. -0,17 4,05 7,81 2. 3. 2,44 2. 2. 11,27 -13,63 4. 5. -11,02 1,62 9,75 3. 3. -2,91 3. 2. 4,84 -2,37 5. 2. -2,5 4. 3. 11,68 4. 1. 7,67 10,03 -1,21 9,02 6. 1. -8,24 5,44 11,06 5. 5. 3,79 5. 4. -17,48 5. 3. 4,58 7. 1. 4,91 -4,79 6. 3. 12,39 6. 2. 12,9 10,63 4,59 8. 1. 13,01 7. 3. 2,06 -12,85 15,99 3,45 9. 1. -8,45 5,16 21,26 -8,2 8. 3. -36,06 10. 3. 16,88 1,81 9. 3. 18,57 9. 2. 6,34 -12,97 11. 1. -5,08 10. 2. -6,05 10. 1. 6,46 -7,26 26,91 12. 1. -4,89 -0,93 2,03 11. 3. -6,75 11. 2. 12,53 2,92 12. 2. 12,51 20,24 5,51 A teljes értékköz: 71,32 (%) Kvantitatív módszerek

Feladat: dolgozzuk fel a havi hozamadatokat statisztikai eszközökkel 31 osztályhatárok fi f’i gi [%] g’i [%] -40.00≤x<-30.00 1 1.54 -30.01≤x<-20.00 0.00 -20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77 -10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92 0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30 10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30 20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92 30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00 összesen GYAKORISÁGI TÁBLÁZAT Kvantitatív módszerek

GYAKORISÁGI HISZTOGRAM 32 GYAKORISÁGI HISZTOGRAM Kvantitatív módszerek

KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁGI HISZTOGRAM 32 KUMULÁLT RELATÍV GYAKORISÁGI HISZTOGRAM Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek 𝒇 𝒙  𝒈(𝒙) 𝑭 𝟑𝟎  𝒈′(𝟑𝟎) 𝑃 10≤𝐻<30 =𝑔 10→20 +𝑔 20→30 = =20+4,62=24,62= = g ′ 30 − g ′ 10 = =96,92−72,3=24,62 𝑭 𝟏𝟎  𝒈′(𝟏𝟎) Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek 33 Gyakorisági eloszlások jellegzetességei középérték-mutatók: helyzeti és számított Ingadozásmutatók: abszolút és relatív alakmutatók Középértékekre vonatkozó elvárások: Közepes helyzetűek Tipikusak Egyértelműen meghatározhatóak Lehetőleg könnyen értelmezhetőek Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Medián 33 Helyzeti középérték – valódi középérték, a rangsor közepén található: az az érték, amelynél az előforduló értékek fele kisebb, fele pedig nagyobb Páratlan számú adatnál a középső Páros számú adatnál a két közepes érték számtani átlaga Becsülhető osztályközös gyakorisági sorból is Érzéketlen a szélsőértékekre Említésre méltó tulajdonsága: 1 0 6 17 23 13 3 2 19 1 0 6 17 23 13 3 2 0 1 2 3 6 13 17 19 23 0 1 2 3 6 13 17 23 Kvantitatív módszerek 4,5

Kvantitatív módszerek 33 Medián Kvantitatív módszerek

65 adat: páratlan  a rangsor 33. tagja a medián 34 65 adat: páratlan  a rangsor 33. tagja a medián osztályhatárok fi f’i gi [%] g’i [%] -40.00≤x<-30.00 1 1.54 -30.01≤x<-20.00 0.00 -20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77 -10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92 0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30 10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30 20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92 30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00 összesen Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek 34 Medián becslése osztályhatárok fi f’i gi [%] g’i [%] -40.00≤x<-30.00 1 1.54 -30.01≤x<-20.00 0.00 -20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77 -10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92 0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30 10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30 20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92 30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00 összesen Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Módusz 35 Helyzeti középérték – tipikus Diszkrét ismérv esetén a leggyakrabban előforduló ismérvérték Folytonos ismérv esetén pedig a gyakorisági görbe maximumhelye Érzéketlen a szélsőértékekre Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Módusz becslése 35 osztályhatárok fi f’i gi [%] g’i [%] -40.00≤x<-30.00 1 1.54 -30.01≤x<-20.00 0.00 -20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77 -10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92 0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30 10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30 20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92 30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00 összesen Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Módusz becslése 35 osztályhatárok fi f’i gi [%] g’i [%] -40.00≤x<-30.00 1 1.54 -30.01≤x<-20.00 0.00 -20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77 -10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92 0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30 10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30 20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92 30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00 összesen Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Számtani átlag 36 Leggyakrabban használt középérték Meghatározható gyakorisági sorból is a gyakoriságokkal súlyozva FOLYTONOS példa Kvantitatív módszerek

Előfordulások gyakorisága (fi) Számítása 36 Diszkrét példa Leállások száma óránként Előfordulások gyakorisága (fi) Relatív gyakoriság (gi) 3 0,125 1 5 0,208 2 4 0,168 0,083 6 összesen 24 1,000 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Példa 36 osztályhatárok fi f’i gi [%] g’i [%] -40.00≤x<-30.00 1 1.54 -30.01≤x<-20.00 0.00 -20.01≤x<-10.00 6 7 9.23 10.77 -10.01≤x<0.00 17 24 26.15 36.92 0.01≤x<10.00 23 47 35.38 72.30 10.01≤x<20.00 13 60 20.00 92.30 20.01≤x<30.00 3 63 4.62 96.92 30.01≤x<40.00 2 65 3.08 100.00 összesen Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Harmonikus átlag 37 Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok reciprokainak összege változatlan marad Leíró statisztikai viszonyszámok és indexek számításánál 34 48 76 98 105 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Mértani átlag 37 Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok szorzata változatlan marad Idősorok elemzése 34 48 76 98 105 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Négyzetes átlag 38 Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve, azok négyzetösszege változatlan marad Tipikus alkalmazási területe a szórásszámítás 34 48 76 98 105 Kvantitatív módszerek

Az átlagok egymáshoz való viszonya 38 Kvantitatív módszerek

Választás a középértékek között 38 Módusz, medián, számtani átlag? Melyiket használjuk? Egyértelműen meghatározható-e? Az összes rendelkező adattól függ-e vagy sem? Mennyire érzékeny a szélsőségesen nagy vagy kicsi értékekre? Mekkora és milyen módon értelmezhető hibával képes helyettesíteni az alapadatokat? Kvantitatív módszerek

Középértékek összehasonlítása 39 Me Mo Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Kvantilisek 39 Xi/k i-edik k-ad rendű kvantilis: az a szám, amelynél az összes előforduló ismérvérték i/k-ad része kisebb , (1-i/k)-ad része pedig nagyobb, A rangsor si/k. tagja A kvantilisek segítségével a növekvő sorrendbe állított adataink egyenlő gyakoriságú osztályokra bonthatóak Kvantitatív módszerek

Lehetséges kvantilisek 39 A legfontosabb kvantilisek elnevezése és jelölése k Elnevezés Általános jelölés i lehetséges értéke Lehetséges kvantilisek 2 Medián - 1 Me 4 Kvartilis Qi 1,2,3 Q1, Q2, Q3 5 Kvintilis Ki 1,2,3,4, K1, K2, K3, K4 10 Decilis Di 1,2,…,9 D1, D2, … D9 100 Percentilis Pi 1,2,…,99 P1, P2, …,P99 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek 40 Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek 41 Ingadozásmutatók terjedelem átlagos abszolút különbség átlagos abszolút eltérés szórás relatív szórás momentumok Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Terjedelemmutatók 41 Szóródás terjedelme: annak az intervallumnak a teljes hossza, amelyen belül az ismérvértékek mozognak. Interkvantilis terjedelemmutató Kvantitatív módszerek

Átlagos (abszolút) különbség 41 Minden lehetséges módon párba állított ismérvértékek Xi-Xj különbségeinek abszolút értékéből számított számtani átlag. Azt mutatja, hogy az X ismérv értékei átlagosan mennyire különböznek egymástól. Mértékegysége ugyanaz, mint az alapadatoké. Ha minden ismérvérték egyforma, azaz nincs szóródás, akkor G=0. Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek 42 Példa: 5 hallgató Kvantitatív módszerek vizsgán elért pontszámainak átlagos abszolút különbsége   45 52 76 87 92 7 31 42 47 24 35 40 11 16 5 Kvantitatív módszerek

Átlagos abszolút eltérés 42 Az ismérvértékek számtani átlagtól vett eltéréseinek abszolút értékéből számított számtani átlaga. Az egyes ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el a számtani átlagtól. Kvantitatív módszerek

Példa BUX-indexes példánk átlagos abszolút eltérése: 42 BUX-indexes példánk átlagos abszolút eltérése: Osztályközös gyakorisági sorból: Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Tapasztalati szórás 43 abszolút érték helyett négyzetre emelés és gyökvonás az átlagtól vett eltérések négyzetes átlaga átlagos hiba szórásnégyzet: variancia Kvantitatív módszerek

Korrigált tapasztalati szórás 43 Korrigált tapasztalati szórás Kvantitatív módszerek

Példa Egyedi adatokból számolva: 43 Egyedi adatokból számolva: Osztályközös gyakorisági sorból becsülve: Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek Relatív szórás 44 pozitív értékű ismérvekre! az ismérvértékek átlagtól vett átlagos relatív eltérése Kvantitatív módszerek

Kvantitatív módszerek 44 Alakmutatók A gyakorisági eloszlás milyen mértékben tér el a normális eloszlástól Eltérés lehet: Bal ill. jobb oldali asszimetria Csúcsosság vagy lapultság Kvantitatív módszerek

Pearson-féle mutatószám 45 Csúcsossági mutató Kvantitatív módszerek