Kockázat és megbízhatóság Helyreállítható rendszerek megbízhatósága

Azonnal helyreállítható rendszer megbízhatósága 67 Azonnal helyreállítható rendszer megbízhatósága 1. elem t 2. elem t 3. elem t n. elem t Rendszer t . t t1 t2 t3 tn tn+1 Kockázat és megbízhatóság

Azonnal helyreállítható rendszer megbízhatósága 68 Azonnal helyreállítható rendszer megbízhatósága H(t) felújítási függvény Ha minden elem exponenciális működésű Kockázat és megbízhatóság

Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága 69 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága Felújítás alatt kikapcsolt rendszer - n elem soros kapcsolása t 1. elem 2. elem t 3. elem t Rendszer t Kockázat és megbízhatóság

Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága 70 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága Exponenciális működés és helyreállítás Soros kapcsolás Kockázat és megbízhatóság

Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága 71 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága Felújítás alatt bekapcsolt rendszer - n elem soros kapcsolása 1. elem t 2. elem t 3. elem t Rendszer t Kockázat és megbízhatóság

Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága 71 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága υk(t)=0 k-adik elem nem működik υk(t)=1 k-adik elem működik Kockázat és megbízhatóság

Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága 72 Számottevő helyreállítási idejű rendszer megbízhatósága Exponenciális működés esetén Kockázat és megbízhatóság

A megbízhatóság elemzésére szolgáló módszerek Rendszer-megbízhatóság elemzése Markov-láncokkal

Sztochasztikus folyamatok A sztochasztikus folyamatok elmélete meghatározott valószínűségi törvényszerűségeket követő, időben lejátszódó (az időtől is függő) véletlen jelenségek vizsgálatával foglalkozik. Sztochasztikus folyamatnak nevezzük a (t) valószínűségi változók t paramétertől függő összességét, ahol t egy adott T paraméterhalmaz eleme.

Sztochasztikus folyamatok Osztályozás a T paraméterhalmaz szerint: - diszkrét paraméterű (időben diszkrét), - folytonos paraméterű. Osztályozás az állapottér szerint: - diszkrét állapotterű, - folytonos állapotterű.

Markov folyamatok Azokat a folyamatokat, amelyeknél a folyamat egymást követő állapotai mindig csak a közvetlen megelőző állapottól függnek, Markov-folyamatoknak nevezzük. A diszkrét állapotterű Markov-folyamatok a Markov-láncok.

Kockázat és megbízhatóság 2018.05.29. Markov-lánc A rendszer lehetséges állapotainak halmaza, az ún. állapottér: Véges Megszámlálhatóan végtelen Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság 2018.05.29. Markov-lánc S értékű valószínűségi változók végtelen sorozata Markov-lánc, ha minden n és esetén Markov tulajdonság: az egymást követő állapotok csak a közvetlenül megelőző állapottól függnek. Adott jelen esetén a jövő feltételesen független a múlttól. Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság 2018.05.29. Markov-lánc Egylépéses állapotátmenet valószínűség Esetén a Markov-lánc stacionárius átmenetvalószínűségű (homogén) Ismert kezdeti eloszlás esetén Kockázat és megbízhatóság

Rendszer-megbízhatóság elemzése Markov-láncokkal 73 Rendszer-megbízhatóság elemzése Markov-láncokkal F A Kockázat és megbízhatóság 16

Kockázat és megbízhatóság 74 28. példa Egy sok elemből álló berendezés hibamentes működési ideje λ = 0,1 paraméterű exponenciális eloszlással jellemezhető, helyreállítási ideje pedig μ = 0,67 paraméterű exponenciális eloszlással. a.) Írja fel a berendezés lehetséges állapotait, határozza meg az átmenet- és állapotvalószínűségeket! b.) Határozzuk meg az előző jellemzőket, ha a gyártórendszer két egymástól független azonos berendezésből (A és B) épül fel! Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság 74 2018.05.29. a.) feladat Kétállapotú rendszer: működőképes (A) és hibás (F) állapot E1 = jó állapot E2 = rossz állapot l = 0,1 1-l = 0,9 1-m = 0,33 jó rossz m = 0,67 Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság 74 2018.05.29. a.) feladat E2 = 0,1·E1 + 0,33·E2 E1 + E2 = 1 E1 = 0,87 E2 = 0,13 Kockázat és megbízhatóság

Kockázat és megbízhatóság 75 2018.05.29. b.) feladat 0,33·0,9 E2 0,1·0,9 0,33·0,1 0,67·0,9 0,9·0,9 0,33·0,67 0,33·0,33 0,67·0,1 0,1·0,1 E4 E1 0,67·0,67 0,1·0,67 0,9·0,67 0,67·0,33 0,9·0,1 0,1·0,33 E3 0,9·0,33 Kockázat és megbízhatóság

Egyegységes javítás nélküli rendszer 2 1 t-től (t+Δt)-ig, 1-ből a 2-be megy át Kockázat és megbízhatóság

Egyegységes javítás nélküli rendszer (elsőrendű lineáris diff. egyenlet) vagy t-ig hibásodik meg vagy Δt alatt Kockázat és megbízhatóság

Egyegységes javítható rendszer F A átmeneti mátrix Kockázat és megbízhatóság 23

Egyegységes javítható rendszer Kockázat és megbízhatóság 24