Végeselemes modellezés matematikai alapjai Szerkezet-építőmérnök MSc III. Előadás: A Ritz- és a Galjorkin-módszer alkalmazása végeselemes bázisfelvételi technikával Előadó: Dr. Pomezanski Vanda Olimpia

Mechanikai feladatok közelítő megoldásainak hibacsökkentő módszerei Hibafeltételt két kritérium alapján szokás felvenni: Stacionaritási, vagy hossz-feltétel: a hibavektor kiválasztása után a felírt bilineáris alak értéke legyen minimális. Ortogonalitási, vagy vetületi feltétel: a kiszemelt hibavektor egy altérre legyen ortogonális. Feltétel 𝑔 ℎ 𝑔 és ℎ stacionaritási sok ismeretlent tartalmaz, nem alkalmas a közelítő függvény együtthatóinak meghatározására legkisebb négyzetek hibaelve néven ismert, ortogonalitási feltételre egyszerűsödik 𝑔,ℎ =𝑚𝑖𝑛! energetikai hibaelv ortogonalitási két kiegészítő feltétel felírásával megoldható, direkt módszer súlyozott maradékok hibaelve néven ismert ------ Ritz-módszer Galjorkin-módszer

1. Példa ℓ 1 ℓ 2 𝐸, 𝐴 1 𝐸, 𝐴 2 𝑥 𝑭 II. I. 𝑭 𝑥 1 2 3 1 𝜑 1 1 𝜑 2 1 𝜑 3

1. Példa 1 1 𝜑 1 = 𝑥≤ ℓ 1 1− 𝑥 ℓ 1 𝑥> ℓ 1 0 𝑥 I. II. I. 𝑭 𝑥 1 2 3 1 𝜑 1 1 𝜑 2 1 𝜑 3 𝜑 1 = 𝑥≤ ℓ 1 1− 𝑥 ℓ 1 𝑥> ℓ 1 0 𝜑 2 = 𝑥≤ ℓ 1 𝑥 ℓ 1 𝑥> ℓ 1 1− 𝑥− ℓ 1 ℓ 2 𝜑 3 = 𝑥≤ ℓ 1 0 𝑥> ℓ 1 𝑥− ℓ 1 ℓ 2

1. Példa II. I. 𝑭 𝑥 1 2 3 𝑸 𝑢 𝑥 = 𝑖=1 3 𝑐 𝑖 𝜑 𝑖 𝑢 𝑥 =𝑐 1 1− 𝑥 ℓ 1 0 + 𝑐 2 𝑥 ℓ 1 1− 𝑥− ℓ 1 ℓ 2 + 𝑐 3 0 𝑥− ℓ 1 ℓ 2 𝜀 𝑥 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =𝑐 1 − 1 ℓ 1 0 + 𝑐 2 1 ℓ 1 − 1 ℓ 2 + 𝑐 3 0 1 ℓ 2 Π= 1 2 ℓ 𝐸𝐴 𝑑𝑢 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥−𝑄 𝑢 𝑥=0 −𝐹 𝑢 𝑥=ℓ Π= 𝐸𝐴 1 2 0 ℓ 1 − 𝑐 1 1 ℓ 1 + 𝑐 2 1 ℓ 1 2 𝑑𝑥+ 𝐸𝐴 2 2 ℓ 1 ℓ 1 +ℓ 2 − 𝑐 2 1 ℓ 2 + 𝑐 3 1 ℓ 2 2 𝑑𝑥−𝑄 𝑐 1 −𝐹 𝑐 3

1. Példa Π= 𝐸𝐴 1 2 − 𝑐 1 1 ℓ 1 + 𝑐 2 1 ℓ 1 2 ℓ 1 + 𝐸𝐴 2 2 − 𝑐 2 1 ℓ 2 + 𝑐 3 1 ℓ 2 2 ℓ 2 −𝑄 𝑐 1 −𝐹 𝑐 3 𝜕Π 𝜕 𝑐 1 = 𝐸𝐴 1 2 2 𝑐 1 1 ℓ 1 −2 𝑐 2 1 ℓ 1 −𝑄=0 𝜕Π 𝜕 𝑐 2 = 𝐸𝐴 1 2 2 𝑐 2 1 ℓ 1 −2 𝑐 1 1 ℓ 1 + 𝐸𝐴 2 2 2 𝑐 2 1 ℓ 2 −2 𝑐 3 1 ℓ 2 =0 𝜕Π 𝜕 𝑐 1 = 𝐸𝐴 2 2 2 𝑐 3 1 ℓ 2 −2 𝑐 2 1 ℓ 2 −𝐹=0 𝐸 𝐴 1 ℓ 1 −𝐴 1 ℓ 1 0 −𝐴 1 ℓ 1 𝐴 1 ℓ 1 + 𝐴 2 ℓ 2 −𝐴 2 ℓ 2 0 −𝐴 2 ℓ 2 𝐴 2 ℓ 2 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 = 𝑄 0 𝐹 𝐸 𝐴 1 ℓ 1 + 𝐴 2 ℓ 2 −𝐴 2 ℓ 2 −𝐴 2 ℓ 2 𝐴 2 ℓ 2 𝑐 2 𝑐 3 = 0 𝐹 Szinguláris!

1. Példa A megoldás menete: Az elmozdulásfüggvény: Az egyszerűsített mátrixegyenlet megoldása: 𝑐 2 =𝐹 ℓ 1 𝐸𝐴 1 és 𝑐 3 =𝐹 ℓ 2 𝐴 1 + ℓ 1 𝐴 2 𝐸 𝐴 1 𝐴 2 Visszatérve a teljes egyenletrendszerhez: a második egyenletből: 𝑐 1 =0 az első egyenletből: 𝑄=−𝐹 reakcióerőt kapjuk. Az elmozdulásfüggvény: 𝑢 𝑥 =𝐹 ℓ 1 𝐸 𝐴 1 𝑥 ℓ 1 1− 𝑥− ℓ 1 ℓ 2 +𝐹 ℓ 2 𝐴 1 + ℓ 1 𝐴 2 𝐸𝐴 1 𝐴 2 0 𝑥− ℓ 1 ℓ 2

A sajátos bázisfüggvény felvétel előnyei A minimumfeltételt leíró egyenletrendszerben az együtthatómátrix szimmetrikus és szalagszerkezetű is egyben. A zérustól csak egyes szakaszokon különböző speciális bázisfüggvények és együtthatóik felírása egyszerűen algoritmizálható, tipizálható: 𝑥≤ ℓ 1 szakaszon 𝑐 1 1− 𝑥 ℓ 1 + 𝑐 2 𝑥 ℓ 1 = 𝑐 1 + 𝑐 2 − 𝑐 1 ℓ 1 𝑥 és a 𝑥> ℓ 1 szakaszon 𝑐 2 1− 𝑥 ℓ 2 + 𝑐 3 𝑥 ℓ 2 = 𝑐 2 + 𝑐 3 − 𝑐 2 ℓ 2 𝑥 ha 𝑥 = 𝑥− ℓ 1 A 𝑐 𝑖 együtthatóknak közvetlen fizikai tartalmuk van, megegyeznek az 𝑖-dik csomópont elmozdulásával.

Definíciók A variációs feladatok stacionaritási elvre épülő, Ritz-módszerrel történő megoldásán belül a szerkezetet „elemekre” osztó és az elemekhez speciális bázisfüggvényeket választó technikát nevezzük végeselemes számítási modellnek. Definíció a mintapélda alapján. A véges elemek módszere a Ritz-módszer speciális esete, amelyben sajátosan megválasztott bázisfüggvényekkel hajtjuk végre egy stacionaritási feladat megoldását. Ez a definíció nem teljes, hiszen a Galjorkin-módszer a maga általánosabb, ortogonalitási feladatával éppen így alkalmas véges elemes technika megfogalmazására. A véges elemek módszerének lényege a közelítő eljárásoknál a geometriai és a matematikai függvénytér finitizálásával együtt járó sajátos bázisfüggvény megválasztási technika. Ez a definíció általánosabb, minden olyan esetben ezt kell használni, amikor egy peremérték-feladatnak nincs stacionaritási alakja és a megoldást csak az ortogonalitási feltétel alkalmazása adhatja.

A véges elemek módszerének főbb lépései A szerkezet elemekre osztása (a geometriai finitizálás). A szerkezet vizsgálatához szükséges speciális bázisfüggvények kiválasztása (a függvénytér finitizálása). A részekre osztott szerkezet elemeihez tartozó mátrixok előállítása. A szerkezet egészéhez tartozó egyenletrendszer összeállítása. Az egyenletrendszer megoldása, az ismeretlen változók meghatározása. A feladat vizsgálatához szükséges úgynevezett másodlagos változók számítása.

Egy „általános” rúdelem vizsgálata ℓ 1 ℓ 2 𝐸, 𝐴 1 𝐸, 𝐴 2 𝑥 𝑭 II. I. 𝑭 𝑥 1 2 3 ℓ 𝑒 𝑢 𝑒1 𝑢 𝑒2 𝐸𝐴=á𝑙𝑙𝑎𝑛𝑑ó 𝜉 𝑢 𝑒1 𝑢 𝑒2 𝑢 𝜉 𝜑 2 𝜑 1 𝑢 𝑥 = 𝑖=1 2 𝑐 𝑖 𝜑 𝑖 𝜑 2 1 𝜑 1

Az elmozdulások 𝑢 𝜉 = 𝑢 𝑒1 + 𝑢 𝑒2 − 𝑢 𝑒1 ℓ 𝑒 𝜉= 𝑢 𝑒1 1− 𝜉 ℓ 𝑒 + 𝑢 𝑒2 𝜉 ℓ 𝑒 Mátrixok segítségével: 𝐮=𝐍 𝐯 𝑒 𝐍 a bázisfüggvények mátrixa: 𝐍= 𝑁 1 𝑁 2 𝑁 1 =1− 𝜉 ℓ 𝑒 és 𝑁 2 = 𝜉 ℓ 𝑒 𝐯 𝑒 az elem csomóponti elmozdulásainak vektora: 𝐯 𝑒 = 𝑢 𝑒1 𝑢 𝑒2

A potenciális energia Egy általános szerkezeti elem esetében: Π= 1 2 Ω 𝐋𝐮 T 𝐃𝐋𝐮𝑑Ω− Ω 𝐋𝐮 T 𝐃 𝛆 𝟎 𝑑Ω− 𝑆 𝐮 T 𝐩 𝑠 𝑑𝑆− Ω 𝐮 T 𝐩 𝑉 𝑑Ω 𝐋𝐮=𝐋𝐍 𝐯 𝑒 =𝐁 𝐯 𝑒 ahol a 𝐁=𝐋𝐍 mátrixot alakváltozási mátrixnak nevezzük. 𝐃 az anyagi merevségi mátrix 𝛆 𝟎 a kinematikai terheket 𝐩 𝑠 és 𝐩 𝑉 a peremen és tartományon működő terheket jelenti. A konstans 𝐯 𝑒 csomóponti elmozdulásokat az integrálokból kiemelve: Π= 1 2 𝐯 𝑒 T Ω 𝐁 T 𝐃𝐁𝑑Ω 𝐯 𝑒 − 𝐯 𝑒 T Ω 𝐁 T 𝐃 𝛆 𝟎 𝑑Ω + 𝑆 𝐍 T 𝐩 𝑠 𝑑𝑆 + Ω 𝐍 T 𝐩 𝑉 𝑑Ω 𝐊 elemi merevségi mátrix 𝐪 Az elem csomópontjaira redukált terhek vektora

Irodalom Dr. Bojtár Imre, Dr. Gáspár Zsolt: Tartók Statikája IV. Műegyetemi Kiadó, 1993. Bojtár Imre, Gáspár Zsolt: A végeselemmódszer matematikai alapjai, BME Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék, Budapest, 2009. Bojtár Imre, Gáspár Zsolt: Végeselemmódszer építőmérnököknek, TERC Kiadó Budapest, 2003.