Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss elimináció, Cramer-szabály Dr. Kovács Sándor DE GVK Gazdaságelemzési és Statiszikai Tanszék.

Slides:



Advertisements
Hasonló előadás
Készítette: Kosztyán Zsolt Tibor
Advertisements

Lineáris egyenletrendszerek
Készítette: Nagy Mihály tanár Perecsen, 2006.
Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss elimináció, Cramer-szabály Dr. Kovács Sándor DE GVK Gazdaságelemzési és Statiszikai Tanszék.
Algebrai struktúrák.
Egyismeretlenes lineáris egyenletek
Irracionális egyenletek
Függvények Egyenlőre csak valós-valós függvényekkel foglalkozunk.
Műveletek logaritmussal
Kötelező alapkérdések
Kalman-féle rendszer definíció
Elemi bázistranszformáció
Műveletek mátrixokkal
Számítógépes algebrai problémák a geodéziában
Vektormező szinguláris pontjainak indexe
Globális helymeghatározás Zárthelyi dolgozat Relatív helymeghatározás fázisméréssel.
Illeszkedési mátrix Villamosságtani szempontból legfontosabb mátrixreprezentáció. Legyen G egy irányított gráf, n ponton e éllel. Az n x e –es B(G) mátrixot.
Matematika II. 2. előadás Geodézia szakmérnöki szak 2012/2013. tanév Műszaki térinformatika ágazat őszi félév.
Csoport részcsoport invariáns faktorcsoport részcsoport
4. VÉGES HALMAZOK 4.1 Alaptulajdonságok
Térbeli infinitezimális izometriák
Operációkutatás szeptember 18 –október 2.
Egy kis lineáris algebra
IPPI ÁLTALÁNOS ISKOLA SZILÁGY MEGYE
Papp Róbert, Blaskovics Viktor, Hantos Norbert
Lineáris programozás Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok
OPERÁCIÓKUTATÁS Kalmár János, 2011 Tartalom Több lineáris célfüggvényes LP Tiszta egészértékű LP.
Optimalizálási módszerek 2. Konvex halmazok
A TERMÉSZETTUDOMÁNYOK ALAPJAI 1. Matematika
Differenciál számítás
Lineáris algebra Mátrixok, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek
Integrálszámítás Mire fogjuk használni az integrálszámítást a matematikában, hova szeretnénk eljutni? Hol használható és mire az integrálszámítás? (már.
A számfogalom bővítése
Matematika III. előadások Építőmérnök BSc szak PMMINB313
Lineáris egyenletrendszerek megoldása
Lineáris transzformáció sajátértékei és sajátvektorai
MATEMATIKA ÉS INFORMATIKA I.
Lineáris egyenletrendszerek (Az evolúciótól a megoldáshalmaz szerkezetéig) dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém /' /
Lineáris algebra.
Exponenciális egyenletek
Koordináta-geometria
Lineáris egyenletrendszer megoldása MS Excel Solver segítségével
Kétismeretlenes elsőfokú (lineáris) egyenletrendszerek
1. feladat Makó és Veszprém között a távolság 270 km. Reggel 8-kor elindult egy vonat Makóról 60 km/h sebességgel. 9-kor Veszprémből indult egy gyorsvonat.
Lineáris programozás Elemi példa Alapfogalmak Általános vizsg.
„Házasodj meg, meg fogod bánni; ne házasodj meg, azt is meg fogod bánni; házasodj vagy ne házasodj, mindkettőt meg fogod bánni; vagy megházasodsz, vagy.
Lineáris egyenletrendszerek, leképezések, mátrixok
Vektorterek Definíció. Legyen V Abel-csoport, F test, továbbá
Minden mérnök ismeri azt a matematikai jelölésrendszert, amelynek megfelelően két valós szám összege, mint például egy teljesen egyszerű formában felírható.
Lineáris algebra.
1 Vektorok, mátrixok.
Dr. Bánkuti Gyöngyi Klingné Takács Anna
Műveletek, függvények és tulajdonságaik Mátrix struktúrák:
előadások, konzultációk
A folytonosság Digitális tananyag.
Valószínűségszámítás II.
Többdimenziós valószínűségi eloszlások
Nagy Szilvia 7. Lineáris blokk-kódok
előadások, konzultációk
Hibaszámítás Gräff József 2014 MechatrSzim.
Adalékok egy véges összegzési feladathoz
Lineáris programozás Elemi példa Alapfogalmak Általános vizsg.
Integrálszámítás.
Mediánok és rendezett minták
II. konzultáció Analízis Sorozatok Egyváltozós valós függvények I.
Lineáris algebra Mátrixok, determinánsok, lineáris egyenletrendszerek
A kínai maradéktétel algoritmusa
Lineáris egyenletrendszerek
Gráfok - 1 Definíció: Irányított gráf (digráf) G=(V,E) rendezett pár.
Előadás másolata:

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss elimináció, Cramer-szabály Dr. Kovács Sándor DE GVK Gazdaságelemzési és Statiszikai Tanszék

Lineáris egyenletrendszerek Egyismeretlenes egyenletrendszerek megoldása:

Lineáris egyenletrendszerek Definíció: Az alábbi egyenletek halmazát lineáris többismeretlenes egyenletrendszernek nevezzük: szimbólumok az együtthatók, valós számok szimbólumok az ismeretlenek szimbólumok valós számok

Lineáris egyenletrendszerek megjegyzés: A lineáris egyenletrendszert homogénnak nevezzük ha ellenkező esetben inhomogén az egyeneletrendszer. Ha egy egyenletrendszernek nincs megoldása, akkor ellentmondásos, egyébként megoldható. Ha pontosan egyetlen megoldás létezik, akkor reguláris, ha több megoldás van akkor irreguláris. Két egyenletrsz. ekvivalens, ha megoldásaik azonosak

Lineáris egyenletrendszerek megoldása Gauss eliminációval Tétel: Minden lin. egyenletrsz. véges sok lépésben vele ekvivalens trapéz alakú lineáris egyenletrendszerré alakítható. Az egyenletrsz. pontosan akkor oldható meg, ha a hozzátartozó trapéz alakú lineáris egyenletrendszer azon egyenleteiben, amelynek a bal oldalán csupa 0 áll, a jobb oldali konstansok is 0-val egyenlőek.

Gauss elimináció menete Legyen adott egy (1) alakú lin. egyenletrsz. Tegyük fel, hogy . Az 1. egyenletet osszuk el . Az 1. egyenlet a 2. egyenlethez adjuk hozzá, így a 2. egyenletben az ismeretlen nem szerepel. Hasonlóan az i-edik egyenlethez adjuk hozzá az 1. . Ezen ekvivalens átalakításokkal az alábbi egyenletrsz.hez jutunk:

Gauss elimináció menete Tekintsük a maradék (3) alakú egyenletrsz.-t, amely k-1 egyenletből és n-1 ismeretlenből áll: Ha (3) megoldható, akkor (2) is, és ha megoldása (3)-nak, akkor megoldásai (2)-nek is hozzávéve az értéket.

Gauss elimináció menete Az eljárást megismételjük a (3) egyenletrendszeren, azaz az 1. egyenletet osszuk el . Az 1. egyenlet a 2. egyenlethez adjuk hozzá, így a 2. egyenletben az ismeretlen nem szerepel. Hasonlóan az i-edik egyenlethez adjuk hozzá az 1. . Ezen ekvivalens átalakításokat addig ismételjük míg a (4) alakú egyenletrszerhez jutunk:

Példa Gauss eliminációra Határozzuk meg az alábbi egyenletrendszer megoldását: Az ismeretlenek együtthatóit és a jobboldali konstansokat az alábbi egyszerű alakba rendezzük:

Példa Gauss eliminációra Ekvivalens átalakításokkal megoldjuk az egyenletrendszert Az 1. sor 2-szeresét a 2. sorhoz adjuk, az új 2. sort leírjuk A 3. sor 6 szorosához adjuk a 2. sor 5 szörösét, az új 3. sort leírjuk A 3. sorból kivonjuk az 1. sort, az új 3. sort leírjuk

Példa Gauss eliminációra Határozzuk meg az egyenletrendszer megoldását: Megoldás:

Cramer-szabály Tekintsük az alábbi n egyenletből és n darab ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszert: Legyen A az egyenletrendszer együtthatómátrixa, és tegyük fel, hogy A determinánsa nem 0. Ekkor ahol annak az mátrixnak a determinánsa, amit úgy kapunk, hogy az A mátrix i-edik oszlopát kicseréljük

Példa Cramer-szabályra Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert: Először kiszámoljuk az A determinánsát: Mivel A nem 0 ezért megoldható Cramer-szabállyal az egyenletrsz.

Példa Cramer szabályra A vektort kicseréljük az A megtrix megfelelő oszlopaival, az így kapott mátrix determinánsával kapjuk a megoldásokat:

Példa Cramer szabályra A megoldások:

Példa Gauss Eliminációra Egy vállalkozó 4 növényt termel, melyek fajlagos (1 ha-ra eső) erőforrás szükséglete, illetve a felhasznált erőforrások : Hány hektáron termeljék az egyes növényeket? Oldjuk meg a feladatot Gauss eliminációval, írjuk fel az egyenlet- Rendszer mátrixos alakját!

Példa Gauss Eliminációra A vállalkozó a 4 növényt x,y,z,v hektáron termeli, ekkor a felhasznált erőforrásoknak egyeznie kell a kapacitásával:

Példa Gauss Eliminációra A feladat megoldása: A 2. sor – 2 x 1. sor A 3. sor – 1. sor 3 x 3. sor – 2 x 2. sor Megoldás: X=1;Y=2;Z=3;V=1