Kép- és modellalkotó eszközök az orvosi gyakorlatban 2. előadás: Matematikai és fizikai alapok

„Elektromos” kutatás J. Thomson (1897): az elektron felfedezése → Nobel-díj (1906) Katód-sugárzás: a katódról (⊖) az anód (⊕) felé áramló elektronok sugárzása

A fizikai alapok megteremtése M. Planck (1900): abszolút fekete test sugárzásának magyarázata Létrejött a kvantummechanika (kvantumfizika) Kvantumszámok: Főkvantumszám (n), mellékkvantumszám (l), mágneses kvantumszám (m), spinkvantumszám (s) Nobel-díj: 1919

A kutatások folytatódnak… N. Bohr (1913): atommodell Elektronpályák elmélete (diszkrét impulzusmomentumok) Nobel-díj: 1922

Radioaktivitás (bomlás) H. Becquerel (1896) felfedezése → Nobel-díj (1903) Bomlási sor (pl. U átalakulása Pb-má) Az aktivitás (azaz a bomlás sebességének) mértékegysége: 1 Bq = 1 bomlás/s (régen 1 Ci = 3.7×1010 Bq) Felezési idő: radioaktív izotópszám időbeli alakulása (mértékegysége: időmértékegység, pl. Ra esetén 1602 év, 235U esetén 7×108 év)

Radioaktivitás (sugárzás) Ionizáló sugárzás: elegendő energiájú sugárzás atomok ionizációjához (azokból elektronok eltávolításához) Fajtái: Alfa: He (2 proton + 2 neutron) távozása Gyorsan gyengül (levegőben pár cm), papírlap elnyeli Béta: elektron (pozitron) távozása Hatótáv pár tíz cm, alumíniumlap elnyeli Gamma: foton (nagyfrekvenciájú EM-hullám) távozása Sok anyagon áthatol, ólomlemez elnyeli

A röntgensugárzás és létrehozása Katódsugárzás (gyors elektronnyaláb) fémnek ütközve (1) fékezési sugárzást és (2) karakterisztikus sugárzást okoz Fékezési sugárzás (Bremsstrahlung) folytonos (mindenféle frekvenciát tartalmazó) sugárzás (színképe is folytonos) Karakterisztikus sugárzási tüskék Fékezési sugárzás

Röntgen-cső

A rendszerezett táblázat

Elektromágneses sugárzás

A sugárzások jellemzői Hullámhossz/frekvencia: [m] vagy [Hz] Példa: röntgensugárzás 0.1 – 10 nm vagy 30 PHz – 30 EHz (3×1016 – 3×1019 Hz) Energia: [eV] → 1 eV = 1.602 × 10-19 J Példa: röntgensugárzás 100 eV – 100 keV (Elnyelt sugár)dózis: [Gy] (Gray) → 1 Gy = 1 J/kg Sugárzási dózis (dózisegyenérték): [Sv] (Sievert) → 1 Sv = 1 J/kg × W (W mint súly és nem watt!) Példák: háttérsugárzás 50 mSv/év, fogászati RTG 5 μSv, mellkas CT 6-18 mSv

Atomok és változataik Atommag (protonok és neutronok) és elektronburok Tömegszám (nukleonok száma): protonszám (rendszám) + neutronszám Izotóp: adott elem különböző tömegszámú változatai Ismert elemnél: H, C, I, U… Stabil és instabil Radioaktivitás: instabil atomok bomlása (során keletkező sugárzás)

Fluoreszkálás Lumineszcencia, azaz fénykibocsátás Nem a foszforeszkálás! (mert az késleltetett fénykibocsátás) A jelenség abszorpciót (EM-sugárzás elnyelését) követő azonnali fénykibocsátás Orvosi felhasználás: Fluoreszcens mikroszkópia

Fourier-sorok (egy kis emlékeztető) Joseph Fourier (1768-1830)

Euler-formula Leonhard Euler (1707-1783)

Fourier-transzformáció Fourier-sor kiterjesztése (periódus) + Euler-formula Eredmény: (integrál-transzformáció) (FT) Inverz (IFT):

Fourier-transzformáció - változatok Diszkrét FT – IDFT: Fast FT (FFT) – IFFT: Számos algoritmus (a cél flexibilitás és performancia): pl. Cooley–Tukey algorithm Trigonometriai változatok: DST-IDST, DCT-IDCT Alkalmazások: pl. konvolúció Többdimenziós változatok

A DCT és alkalmazása Számítása: A kernelfüggvények 2D-ben: Joint Photographic Experts Group (JPEG v. JPG)

Érdekesség (szférikus harmonikusok) Laplace-egyenlet és megoldása Tömegvonzás esetén a gravitációs potenciálra (geoid):

Legendre-polinomok (példák)

További harmonikusok Asszociált Legendre-polinomok (pl.)

Zernike-polinomok Számításuk Asztigmatizmus! Kóma!

A Hough-transzformáció

A Radon-transzformáció (2D) 𝑅 𝜃 𝑥 ′ = −∞ ∞ 𝑓 𝑥,𝑦 𝑑𝑦′ 𝑥′ 𝑦′ = 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜃 −𝑠𝑖𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∙ 𝑥 𝑦 𝑅 𝜃 𝑥 ′ = −∞ ∞ 𝑓 𝑥 ′ 𝑐𝑜𝑠𝜃− 𝑦 ′ 𝑠𝑖𝑛𝜃, 𝑥 ′ 𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑦′𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝑦′

A transzformáció eredménye Sinogram Egy pont transzformáltja Egy egyenes transzformáltja

Egy műholdképes példa

A Radon- és Fourier-transzformációk kapcsolata

Központi Szelet Tétel (Central/Fourier Slice Theorem) Fourier alapú Radon invertálási technika alapja Fourier-transzformáció és Radon-transzformáció közötti matematikai kapcsolat leírása: 2D Fourier-transzformáció 1D Fourier-transzformáció Radon-transzformáció

A Radon-transzformált inverze J. Radon eredeti képlete szerint: Visszavetítés (back-projection): Hilbert-transzformáció (1887-1956)

Szűrt visszavetítés (Filtered Back-Projection) A formula: Gyakorlatban: „szűrés” approximáció

A szűrésről A zajok elnyomása érdekében aluláteresztő szűrés kell Ismertebb szűrők (az orvosi képfeldolgozásban): Ramachandran and Lakshminarayanan (Ram-Lak) Shepp-Logan Aluláteresztő cos-szűrő

A fantomok (phantom) Teszt-kép a számítási algoritmusok vizsgálatára Fejfantom: analógia a csont, az agy, a tumor megjelenésére Legismertebb számítási fantom a Shepp-Logan Eredeti fantom Rekonstruált fantom

Felhasznált irodalom Freeman, T.G. (2010):The Mathematics of Medical Imaging, A Beginner’s Guide, Springer Holics László (szerk, 1986): Fizika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest Horváth Ferenc (szerk, 1994): A radiológia alapfogalmai, Medicina, Budapest Iniewski, K. (Ed, 2009): Medical imaging, Principles, Detectors and Electronics, Wiley Kári Béla (szerk): Elektronikus oktatási anyag kialakítása az élő szervezet strukturális összetevőinek és biokémiai folyamatainak képalkotó elemzésére Völgyesi Lajos: Fizikai geodézia és gravimetria, BME jegyzet Wikipédia www.eng.warwick.ac.uk