A tehetetlenségi nyomaték

A tehetetlenségi nyomaték a tömeggel analóg mennyiség forgómozgásnál. Egy merev test tehetetlenségi nyomatéka egy adott tengely körül azt adja meg, hogy „mennyire nehéz” megváltoztatni a szögsebességét a tengely körül. Szokásos jelölése , vagy I, J vagy q.

A tehetetlenségi nyomaték egy forgást végző testnél ugyanazt jelenti, amit egy egyenes vonalon haladó testnél a tömeg jelent. Mégpedig azt, hogy mekkora energiát tárol adott test, adott mozgásállapotával.

A tárolt energia és a tehetetlenségi nyomaték (vagy analógia esetében a tömeg) egyenes arányosságban áll egymással.

Két azonos sugarú, egyik alumíniumból, a másik vasból készült korongot figyelünk meg. Ahhoz, hogy a korongok egyenlő szögsebességgel forogjonak, mindkettő peremére erővel kell hatni. Nem nehéz megállapítani, hogy az alumínium korong forgatásához kisebb értékű erőre van szükség. Ez azt jelenti, hogy a vaskorong tehetetlenebb (nehézkes), azaz nagyobb a tömege.

Ha a korongok azonos tömegűek, akkor a kisebb vaskorongot könnyebb megforatni. Most ez a korong kevésbé nehézkes, kevésbé tehetetlen, az alumíniumból készült korong tehetetlenebb. Hasonló kísérletet lehet elvégezni egy koronggal és egy körgyűrűvel.

Vegyünk egy A és egy B tárcsát, melyek tömege egyenlő Vegyünk egy A és egy B tárcsát, melyek tömege egyenlő. Az A tárcsa sugara legyen nagyobb, mint B sugara. Feltételezve, hogy a tárcsák anyaga homogén és vastagságuk azonos, nehezebb felgyorsítani (azaz a szögsebességét növelni) az A tárcsát, mivel tömege átlagosan távolabb van a tengelytől. Azt mondjuk, hogy A tehetetlenségi nyomatéka nagyobb, mint B tehetetlenségi nyomatéka.

Az előző és hasonló kísérletek alapján megállapítható, hogy a testek tehetetlensége nem csak a tömegüktől függ, hanem annak a forgástengely körüli eloszlásától is.

A tehetetlenségi nyomatékot a homogén összetételű kerék, szimmetria-tengelye körüli forgásának példáján keresztül vizsgáljuk. Felbontjuk a vizsgált kereket m1,m2,m3,...mn tömegű részekre. Mindegyik részre (anyagi pontra) a megfelelő forgatónyomatékok hatnak, ezek hozzák létre a kerék mozgását (rotáció). Az m1 tömegű részecskére ható forgatónyomaték értéke: M1 = F1∙r = m1∙a∙r,

ahol a a részecske tangenciális gyorsulásának értéke, amely a szöggyorsulás értékével a következő összefüggés szerint kapcsolódik. Behelyettesítés után: M1 = m1∙r2

A m1∙r2 kifejezés az anyagi pont (részecske) tehetetlenségi nyomatéka a forgástengelyre vonatkoztatva, amelyet I1-gyel (I1= m1r2) fogunk jelölni. Általánosan: az anyagi pont tehetetlenségi nyomatéka, valamely forgástengelyre vonatkoztatva I= m∙r2 Az anyagi pont valamely tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegének és a tengelytől mért távolság négyzetének a szorzatával.

A test (részecske) teljes tehetetlenségi nyomatékát egy kiválasztott tengelyre vonatkoztatva úgy kapjuk meg, hogy a testet alkotó részecskék tehetetlenségi nyomatékait összeadjuk. I= m1r2+ m2r2 +...+ mnr2= (m1+ m2 +...+ mn )∙r2, azaz. I= mr2, ahol m=

A szimmetria-tengelye körül forgó homogén kerék (gyűrű) tehetetlenségi nyomatéka egyenlő a tömegének és a sugara négyzetének a szorzatával. A tehetetlenségi nyomaték jellemzi a forgó test (kerék) tehetetlenségét. A tehetetlenségi nyomaték mértékegysége a kilogram-szor-méter a négyzeten (kg∙m2).

Általános esetben a tehetetlenségi nyomaték meghatározása nem egyszerű feladat. A geometriailag szabálytalan alakú, inhomogén összetételű testek tehetetlenségi nyomatékának a kiszámítása összetett matematikai feladat. Ezért sűrűn a tehetetlenségi nyomatékot csak kísérletekkel határozzák meg. A szabályos geometriai alakú és homogén testeknél is a tehetetlenségi nyomaték értéke különböző tengelyekre vonatkoztatva nem ugyanaz.

Néhány homogén test tehetelenségi nyomatéka

TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK TEST FORGÁSMÓD TEHETETLENSÉGI NYOMATÉK Könnyű rúddal összekötött két egyforma golyócska Abroncs vagy vékony gyűrű Korong Gömb Vékony rúd A homogén és szabályos geometriai alakú testeknél a legegyszerűbb a tehetetlenségi nyomatékot a test súlypontján áthaladó tengelyre kiszámítani. A táblázatban néhány test tehetetlenségi nyomatékának képletei vannak feltüntetve.

Ha a tehetetlenségi nyomaték egy, a tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkozólag ismert, akkor ezzel párhuzamos tengelyre könnyen kiszámítható. Ha az új tengely R távolságra van a tömegközépponton átmenő tengelytől (például egy tárcsa tehetetlenségi nyomatéka a palástjára illeszkedő tengely körül), az erre számított tehetetlenségi nyomaték:

ahol M a merev test tömege, I1 az új tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték, Isa tömegközépponton áthaladó tengelyre számított tehetetlenségi nyomaték és R a tengely távolsága a tömegközépponton átmenő tengelytől. Ezt a tételt Steiner-tételnek nevezik.

Feladat Mennyi egy kisautó lendkerekének tehetetlenségi nyomatéka, ha tömege 10 dkg és sugara 2 cm? Adatok: Számolás: Válasz: Képlet: A kisautó lendkerekének tehetetlenségi nyomatéka: 200 g·cm2 = 2·10-5 kg·m2

Feladat Egy 0,5 kg tömegű és 1 m hosszú pálcát az egyik végén átmenő, rá merőleges tengely körül forgatunk. Mennyi a pálca tehetetlenségi nyomatéka? Mekkora ugyanennek a pálcának a tehetetlenségi nyomatéka, ha a rá merőleges forgástengely a pálca közepén megy át? Adatok: Képlet: Számolás: Válasz: A pálca tehetetlenségi nyomatéka 0,167 kg·m2 ha a forgástengely a pálca végén van, és 0,042 kg·m2, ha a pálca közepén van.

Feladat A 30 cm sugarú golyó anyagának sűrűsége 8300 kg/m3. Mekkora a szimmetriatengelyére vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka? Adatok: Képlet: Számolás: Válasz: I=34 kg∙m2

Gondolkodtató kérdések Kérdés: Egy vékony acélrudat forgatunk először a közepén, majd a végénél forgatva. Hasonlítsuk össze a tehetetlenségi nyomatékot e két esetben! Válasz: A tehetetlenségi nyomaték négyszer nagyobb, ha a forgástengely az acélrúd végénél van. Kérdés: Miért gurul le lassabban a lejtőn az üreges rézgolyó, mint a vele azonos méretű és tömegű üreges alumíniumgolyó? Válasz: Ha leejtenénk őket, egyszerre esnének le, de a lejtőn eltérően viselkednek. A két gömb viselkedése azért különbözik, mert más a tehetetlenségi nyomatékuk. A réz sűrűsége nagyobb, ezért vékonyabb a fala, és így nagyobb a tengelytől való távolság.