BEFEKTETÉSEK TECHNIKAI KÉRDÉSEI (nem lesz számon kérve) Dülk Marcell, 2013. ősz

Portfólió-választás (I.) Láttuk: cél a maximális várható hasznosságot nyújtó portfólió kialakítása (Markowitz/Sharpe) Szükséges input paraméterek: Várható hozamok Szórások Korrelációs együtthatók Kockázatkerülési együttható Ezek ismeretében: optimális súlyok kiszámítása

Portfólió-választás (II.) Hogyan becsüljük a szükséges input paramétereket? Jellemzően múltbeli adatokból… Ehhez fontos feltételezés: a hozamok (együttes) valószínűség-eloszlásának időbeli stabilitása Azaz: a várható hozam, szórás, korreláció időben nem változik Tehát a különböző időpontbeli megfigyelések mind ugyanabból az elméleti eloszlásból származnak Ekkor a múltbeli megfigyelésekből rekonstruálható (persze némi bizonytalansággal) az elméleti eloszlás → Statisztika, becsléselmélet

Portfólió-választás (III.) Várható hozam: múltbeli hozamok egyszerű számtani átlaga: Hozam szórása: múltbeli hozamok korrigált empirikus szórása: Korrelációs együttható: múltbeli hozamok közötti empirikus korrelációs együttható: 𝐸 𝑟 𝑖 = 𝑡=1 𝑛 𝑟 𝑖,𝑡 𝑛 = 𝑟 𝑖 𝜎 𝑟 𝑖 = 𝑡=1 𝑛 𝑟 𝑖,𝑡 − 𝑟 𝑖 2 𝑛−1 𝑘 𝑖,𝑗 = 𝑡=1 𝑛 𝑟 𝑖,𝑡 − 𝑟 𝑖 𝑟 𝑗,𝑡 − 𝑟 𝑗 𝑡=1 𝑛 𝑟 𝑖,𝑡 − 𝑟 𝑖 2 𝑡=1 𝑛 𝑟 𝑗,𝑡 − 𝑟 𝑗 2

Portfólió-választás (IV.) Ezek az elméleti paraméterekre vonatkozó becsléseink, „legjobb tippjeink” De nem (biztosan) egyenlőek az elméleti paraméterrel, mert egy véletlen mintán alapulnak (És a három közül csak a várható hozam becslése ún. torzítatlan, azaz várhatóan az elméleti paramétert adja; matekosan: 𝐸 𝜃 =𝜃) Technikai kérdések/problémák: Milyen időtávon reális az állandóság feltételezése? (azaz, milyen távolra tekinthetünk a múltba?) Pl. egy hónap, egy év? Minél nagyobb a minta, annál jobb a becslés, de annál kevésbé reális az állandóság… Milyen felbontást nézzünk: napi, havi, éves?

Portfólió-választás (V.) Még egy-két megjegyzés a hozamokhoz… Árfolyamadatokból számoljuk őket – szükség lehet az árfolyamadatok korrekciójára Pl. osztalékfizetés és címletmegosztás miatt D: osztalék, „ex-dividend” napon hozzáadva (=ameddig a napig meg kell venni a részvényt, hogy jogosult legyen az osztalékra) f: címletmegosztási faktor – pl. ha 1 db részvényből lett 2 db, akkor f = 2; ha 2 db-ból 3 db, akkor f = 1,5 Azonos devizában számoljunk Reálhozamokat számoljunk – a devizának megfelelő inflációval 𝑟 𝑡 = 𝑓 𝑡 𝑃 𝑡 + 𝐷 𝑡 𝑃 𝑡−1 −1

Portfólió-választás (VI.) Még egy-két megjegyzés a hozamokhoz… (folyt.) Különböző hosszúságú időszakokra vonatkozó hozamok közötti átváltások: Fontos feltételezés: az egyes időszakok hozamai korrelálatlanok egymással! Várható hozam: ~kamatos kamatozás Hozam szórása: Pl. haviból éves: t = 1 hónap, T = 12 hónap 𝐸 𝑟 𝑇 = 1+𝐸 𝑟 𝑡 𝑇 𝑡 −1 𝜎 𝑟 𝑇 = 𝜎 2 𝑟 𝑡 + 1+𝐸 𝑟 𝑡 2 𝑇 𝑡 − 1+𝐸 𝑟 𝑡 2 𝑇 𝑡

Portfólió-választás (VII.) Kockázatkerülési együttható mérése: pl. kérdőíves módszerrel Pl. Hanna és Lindamood (2004): nyugdíjkonstrukciók közötti választás „Tegyük fel, hogy Ön éppen most készül nyugdíjba vonulni, és nyugdíját illetően az alábbi két lehetőség közül választhat: Az A lehetőség a nyugdíjazása előtti éves jövedelmével megegyező éves jövedelmet kínál. A B lehetőség 50% eséllyel az eddigi éves jövedelmének dupláját kínálja, azonban ugyanekkora a valószínűsége annak is, hogy Ön ezentúl eddigi jövedelménél csak x %-kal kisebb éves összeghez jut. (Ön semmilyen egyéb jövedelemmel nem rendelkezik majd nyugdíjas évei alatt. Minden jövedelem adózás után értendő.)”

Portfólió-választás (VIII.) Az x% helyére beírt 50%, 33%, 20%, 10%, 8% és 5% változatok Ábra illusztrálja a döntési helyzetet: Több lépcsőben, mindig két változat közül kell választani

Portfólió-választás (IX.) A minősítések: x% Minősítés A 50%-nál több különösen alacsony 0,5 (0–1) 33–50% nagyon alacsony 1,5 (1–2) 20–33% alacsony 2,9 (2–3,8) 10–20% közepes 5,7 (3,8–7,5) 8–10% magas 8,4 (7,5–9,3) 5–8% nagyon magas 11,9 (9,3–14,5) 5%-nál kevesebb különösen magas 16 (14,5–)

Portfólió-választás (X.) A kérdőíves felmérések átlaga A = kb. 2-7

Portfólió-választás (XI.) Ha mindezzel megvagyunk, jöhet az optimalizálás! A korábbi képletek helyett praktikusabb a mátrixos felírás, ahol a: súlyvektor, r: hozamvektor, valamint C: kovariancia-mátrix: 𝑟 = 𝐸 𝑟 1 𝐸 𝑟 2 ⋮ 𝐸 𝑟 𝑛−1 𝐸 𝑟 𝑛 𝑎 = 𝑎 1 𝑎 2 ⋮ 𝑎 𝑛−1 𝑎 𝑛

Portfólió-választás (XII.) 𝐶 = 𝑐𝑜𝑣 𝑟 1 , 𝑟 1 𝑐𝑜𝑣 𝑟 1 , 𝑟 2 ⋯ 𝑐𝑜𝑣 𝑟 1 , 𝑟 𝑛−1 𝑐𝑜𝑣 𝑟 1 , 𝑟 𝑛 𝑐𝑜𝑣 𝑟 2 , 𝑟 1 𝑐𝑜𝑣 𝑟 2 , 𝑟 2 ⋯ 𝑐𝑜𝑣 𝑟 2 , 𝑟 𝑛−1 𝑐𝑜𝑣 𝑟 2 , 𝑟 𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛−1 , 𝑟 1 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛−1 , 𝑟 2 ⋯ 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛−1 , 𝑟 𝑛−1 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛−1 , 𝑟 𝑛 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛 , 𝑟 1 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛 , 𝑟 2 ⋯ 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛 , 𝑟 𝑛−1 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑛 , 𝑟 𝑛 Érdemes megjegyezni, hogy: Látható, hogy a már ismert képletet írjuk, csak más formában… (Megj.: az alábbi képlettel becsült kovariancia torzítatlan) 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑖 , 𝑟 𝑗 = 𝑘 𝑖,𝑗 𝜎 𝑟 𝑖 𝜎 𝑟 𝑗 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑖 , 𝑟 𝑖 = 𝜎 2 𝑟 𝑖 𝑐𝑜𝑣 𝑟 𝑖 , 𝑟 𝑗 = 𝑡=1 𝑛 𝑟 𝑖,𝑡 − 𝑟 𝑖 𝑟 𝑗,𝑡 − 𝑟 𝑗 𝑛−1

Portfólió-választás (XIII.) A célfüggvény: Korlátozó feltételek: Kvadratikus programozási feladat (Megj.: aTr = rTa, és J pedig egy csupa 1-esekből álló vektor, 0 pedig egy csupa 0-ból álló vektor) 𝑈= 𝑎 𝑇 𝑟 −0,5𝐴 𝑎 𝑇 𝐶 𝑎 →𝑚𝑎𝑥! ( ) 𝑎 𝑇 𝐽 =1 𝑎 ≥ 0 𝐸 𝑟 𝑃 𝜎 2 𝑟 𝑃

Bétabecslés (I.) 𝑟 𝑖 − 𝑟 𝑓 = 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑖 𝑟 𝑀 − 𝑟 𝑓 + 𝜀 𝑖 Index választása piaci portfóliónak Az adott befektetés és az index múltbeli hozamainak kiszámítása Lásd hozamszámítási megjegyzéseket korábban! Továbbra is feltételezzük az együttes eloszlások időbeli stabilitását Időtáv és felbontás itt is kérdés Az alábbi egyenletet becsüljük (indexmodell; α tengelymetszet, ε „véletlen zaj”) [lineáris regresszió]: 𝑟 𝑖 − 𝑟 𝑓 = 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑖 𝑟 𝑀 − 𝑟 𝑓 + 𝜀 𝑖

Bétabecslés (II.) Nézzük meg részletesebben az egyenlet tagjait! ri – rf és rM – rf hozamprémiumok (excess returns), jelölésileg gyakran Ri és RM A β a karakterisztikus egyenes meredeksége Az ε a korábban tárgyalt feltételes eloszlás, a diverzifikálható kockázati hatás, várható értéke nulla Így a becslendő egyenlet várható értékét véve: Ami alapjában a már jól ismert CAPM egyenlet Az α tehát nem különbözhet nullától, ha a CAPM szerinti egyensúly fennáll! 𝐸 𝑟 𝑖 − 𝑟 𝑓 = 𝛼 𝑖 + 𝛽 𝑖 𝐸 𝑟 𝑀 − 𝑟 𝑓

Bétabecslés (III.) Az említett egyenlet paramétereinek becslésére tipikusan alkalmazott módszer: klasszikus legkisebb négyzetek (OLS) módszere Elve (az indexmodell jelöléseivel): Ahol n a megfigyelések száma, a kalap pedig a becsült paramétert jelöli Ezen becslés statisztikai tulajdonságaira most nem térünk ki részletesen… 𝑄= 𝑡=1 𝑛 𝑅 𝑖,𝑡 − 𝛼 𝑖 − 𝛽 𝑖 𝑅 𝑀,𝑡 2 →𝑚𝑖𝑛!

Bétabecslés (IV.) Mivel a becslés valamilyen véletlen mintán alapul, így a becsült paraméterekkel kapcsolatban van valamilyen bizonytalanság Mit próbálunk megvizsgálni ezzel a bizonytalansággal kapcsolatban? – például: Az alfa statisztikailag szignifikánsan különbözik-e nullától? „Statisztikailag szignifikáns”: nem a véletlen műve, hogy olyat mértünk, amilyet – pl. nem véletlenül mértünk nullától különböző alfát, mert az elméleti (valós) alfa is különbözik nullától Persze erről is csak „korlátozott bizonyossággal” nyilatkozhatunk Milyen tartományba esik az elméleti (valós) béta adott valószínűséggel? Ezekkel az ún. hipotézisvizsgálatokkal technikailag részletesebben most nem foglalkozunk…