BMEGEENATMH kiegeszÍtÉs Hőközlés – Alapfogalmak - hővezetés, - hőátadás, - hősugárzás Hőellenállás Bordák, rudak hővezetése Időben változó hővezetés

alapfogalmak

francia matematikus és fizikus Hővezetés Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830) francia matematikus és fizikus 651 oldal terjedelmű

angol matematikus, fizikus és filozófus Hőátadás Sir Isaac Newton (1642–1727) Newton eredeti megfogalmazása: angol matematikus, fizikus és filozófus

Hősugárzás Ludwig Eduard Boltzmann (1844-1906) osztrák fizikus  1884 (elméleti úton) Jožef Stefan (1835–1893) szlovén fizikus  1879 (mérésekből) John Tyndall (1820-1893) angol fizikus  1850-1872 (mérések)

Hősugárzás Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) Nobel-díjas (1918) német elméleti fizikus  fekete test sugárzási függvényének matematikai leírása Otto Richard Lummer (1860–1925) német fizikus  fekete test sugárzási függvényének kimérése Ernst Pringsheim (1859–1917) német fizikus  fekete test sugárzási függvényének kimérése

Hőellenállás

Furier-egyenlet levezetése egyrétegű sík falra Kiegészítés 𝑄 =−𝜆⋅𝐴⋅𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑡 egydimenziós eset: t(x) 𝑞 = 𝑄 𝐴 𝑄 =−𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑞 =−𝜆⋅ 𝑑𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡=− 𝑄 𝜆⋅𝐴 𝑑𝑥 𝑑𝑡=− 𝑞 𝜆 𝑑𝑥 𝑡 2 − 𝑡 1 =− 𝑄 𝜆⋅𝐴 ⋅𝛿 𝑡 2 − 𝑡 1 =− 𝑞 𝜆 ⋅𝛿 𝑄 = 𝜆⋅𝐴 𝛿 𝑡 1 − 𝑡 2 ∆𝑇 𝑄 = 𝛿 𝜆⋅𝐴 = 𝑅 𝑉,𝑠 Hőfokeloszlás görbe egyenlete: 𝑡(𝑥)= 𝑡 1 − 𝑞 ⋅ 𝑥 𝜆

Furier-egyenlet levezetése egyrétegű hengeres falra - Kiegészítés t(r) 𝑄 =−𝜆⋅𝐴⋅𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑡 egydimenziós eset: 𝑄 =−𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝐴=2𝜋𝑟𝑙 𝑙 𝑑𝑡=− 𝑄 𝜆2𝜋𝑙 ⋅ 𝑑𝑟 𝑟 𝑡 1 − 𝑡 2 = 𝑄 𝜆2𝜋𝑙 ⋅ ln 𝑟 2 −ln 𝑟 1 𝑄 = 𝜆2𝜋𝑙 ln 𝑟 2 𝑟 1 𝑡 1 − 𝑡 2 ∆𝑇 𝑄 = 𝑙𝑛 𝑟 2 𝑟 1 2𝜋𝜆𝐿 = 𝑅 𝑉,ℎ Hőfokeloszlás görbe egyenlete: 𝑡(𝑟)= 𝑡 1 − 𝑄 𝜆2𝜋𝑙 ⋅ln 𝑟 𝑟 1

Furier-egyenlet levezetése egyrétegű gömbfalra - Kiegészítés 𝑄 =−𝜆⋅𝐴⋅𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑡 egydimenziós eset: t(r) 𝑄 =−𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝐴=4𝜋 𝑟 2 𝑑𝑡=− 𝑄 𝜆4𝜋 ⋅ 𝑑𝑟 𝑟 2 𝑡 1 − 𝑡 2 = 𝑄 𝜆4𝜋 ⋅ 1 𝑟 1 − 1 𝑟 2 ∆𝑇 𝑄 = 1 𝑟 1 − 1 𝑟 2 4𝜋𝜆 = 𝑅 𝑉,𝑔 𝑄 = 𝜆4𝜋 1 𝑟 1 − 1 𝑟 2 𝑡 1 − 𝑡 2 Hőfokeloszlás görbe egyenlete: 𝑡(𝑟)= 𝑡 1 − 𝑄 𝜆4𝜋 ⋅ 1 𝑟 1 − 1 𝑟

Hőszigetelés kritikus mérete Gömbhéj Csőfal 𝑇 ∞,2 𝑇 ∞,1 𝛼 2 𝛼 1 𝝀 Hideg közeg 1 𝑟 1 − 1 𝑟 2 4𝜋𝜆 1 4 𝑟 1 2 𝜋 𝛼 1 1 4 𝑟 2 2 𝜋 𝛼 2 Rtot= + + Rtot= + + 𝑟 2,𝑘𝑟𝑖𝑡 𝑎ℎ𝑜𝑙 𝑑 𝑅 𝑡𝑜𝑡 𝑑 𝑟 2 =0 𝑑 𝑅 𝑡𝑜𝑡 𝑑 𝑟 2 =0− 1 4𝜋𝜆 ∙ −1 𝑟 2 2 + 1 4𝜋 𝛼 2 ∙ −2 𝑟 2 3 =0 𝑑 𝑅 𝑡𝑜𝑡 𝑑 𝑟 2 =0+ 1 2𝜋𝜆𝐿 ∙ 1 𝑟 2 + 1 2𝜋 𝐿𝛼 2 ∙ −1 𝑟 2 2 =0 𝑟 2,𝑘𝑟𝑖𝑡, 𝑐𝑠ő = 𝜆 𝛼 2 𝑟 2,𝑘𝑟𝑖𝑡, 𝑔ö𝑚𝑏 = 2𝜆 𝛼 2

Bordák és rudak hővezetése

Bordák és rudak hővezetése A borda hőfokeloszlásának differenciálegyenlete

A borda hőfokeloszlásának differenciálegyenlete - EXTRA 𝑑𝑥 𝐻 ∆𝑡 𝑥 ∆𝑡 ∆𝑡 𝑥=𝐻 𝑥 𝑑(∆𝑡) ∆𝑡 0 𝑄 𝑡𝑜𝑡 𝑄 0 𝑑 𝑄 𝑄′ 𝑄′′ 𝐴 𝐴 𝑝 𝑑 𝑄 𝑈 𝑄 ′ =−𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 ∆𝑡 𝑑𝑥 ahol Δt a borda túlhőmérséklete hőm. megváltozása a dx szakaszon: ∆𝑡+ 𝑑(∆𝑡) 𝑑𝑥 ∙𝑑𝑥 ezzel a távozó hőáram: 𝑄 ′′ =−𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 𝑑𝑥 ∆𝑡+ 𝑑 ∆𝑡 𝑑𝑥 ∙𝑑𝑥 =−𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 ∆𝑡 𝑑𝑥 −𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 2 ∆𝑡 𝑑 𝑥 2 ∙𝑑𝑥 Paláston leadott hőáram: 𝑑 𝑄 = 𝑄 ′ − 𝑄 ′′

A borda hőfokeloszlásának differenciálegyenlete - EXTRA Paláston leadott hőáram: 𝑑 𝑄 = 𝑄 ′ − 𝑄 ′′ =−𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 ∆𝑡 𝑑𝑥 +𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 ∆𝑡 𝑑𝑥 +𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 2 ∆𝑡 𝑑 𝑥 2 ∙𝑑𝑥 vagy 𝑑 𝑄 =𝛼∙ 𝐴 𝑝 ∙∆𝑡= 𝛼∙𝑈⋅𝑑𝑥∙∆𝑡 ahol 𝐴 𝑝 =𝑈⋅𝑑𝑥 𝛼∙𝑈⋅𝑑𝑥∙∆𝑡=𝜆⋅𝐴⋅ 𝑑 2 ∆𝑡 𝑑 𝑥 2 ∙𝑑𝑥 rendezve: 𝑚= 𝛼∙𝑈 𝜆⋅𝐴 𝛼∙𝑈 𝜆⋅𝐴 ⋅∆𝑡= 𝑑 2 ∆𝑡 𝑑 𝑥 2 bevezetve: 𝑚 2 ⋅∆𝑡= 𝑑 2 ∆𝑡 𝑑 𝑥 2 ∆𝑡= 𝐶 1 ∙𝑒 𝑚𝑥 +𝐶 2 ∙ 𝑒 −𝑚𝑥 Általános megoldás:

Bordák és rudak hővezetése A borda hőfokeloszlásának peremfeltételei

Az állandó keresztmetszetű rúd- és lemezbordák hőfokeloszlása és hőárama segédlet

Időben változó hővezetés https://www.youtube.com/watch?v=Q8TPTVM4HPQ

Hővezetés általános differenciálegyenlete https://www.youtube.com/watch?v=_wfjj_BscIE EGYSZERŰSÍTÉSEK: Newtoni közeg Anyagjellemzők függetlenek a hőmérséklettől Disszipáció elhanyagolva Térfogatváltozásból származó munka elhanyagolva https://www.youtube.com/watch?v=Vr34kDsnS_o MARAD:

Időben változó hővezetés - EXTRA A hővezetés általános differenciálegyenlete Entalpiaváltozás: Hőáram különbözetek: 𝑑𝐻 𝑑𝜏 = 𝑐 𝑝 ∙𝑑𝑚∙𝜕𝑡= 𝑐 𝑝 ∙𝜌∙𝑑𝑉∙𝜕𝑡= 𝑐 𝑝 ∙𝜌∙𝑑𝑥∙𝑑𝑦∙𝑑𝑧∙𝜕𝑡

Időben változó hővezetés - EXTRA Az energiamérleg differenciális formában: A hővezetés általános differenciálegyenletének koordináta rdsz-től független alakja: 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧=𝑑𝑉 és egyike sem zérus, továbbá ha 𝜆 független a hőmérséklettől: 𝑞 𝑉 +𝜆 𝜕 2 𝑡 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝑡 𝜕𝑦 2 + 𝜕 2 𝑡 𝜕𝑧 2 =𝜌𝑐 𝜕𝑡 𝜕𝜏 továbbá bevezetve: 𝑎= 𝜆 𝜌𝑐 𝑞 𝑉 𝜌𝑐 +𝑎 𝜕 2 𝑡 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝑡 𝜕𝑦 2 + 𝜕 2 𝑡 𝜕𝑧 2 = 𝜕𝑡 𝜕𝜏

Időben változó hővezetés (Kombinált peremfeltétel) http://www.y outube.com/watch?v=5fyOJtBRSlg Időben változó hővezetés Peremfeltételek LEHÜLŐ FAL T0(τ=0) Tw=áll τ α Ti(τ=∞) 𝑞 0 =áll Tw(τ) R 𝑇 𝑘ö =áll 𝜆 𝛼 http://www.youtube.com/watch?v=4T7iDrvgEk4 http://www.youtube.com/watch?v=HKafyT2KwUk FELMELEGEDŐ FAL Szimmetria tengely

Hasonlóság feltételei a leíró differenciálegyenletek dimenziótlan alakja azonos geometriai körülmények hasonlóak, egyszerű geometriai transzformációval azonossá tehetők a geometriák kezdeti feltételek dimenziótlan alakja azonos peremfeltételek dimenziótlan alakja azonos Hasonlóságot biztosító mennyiségek: dimenziótlanítás

Síkfal dimenziótlan jellemzőkkel

Hőmérsékleteloszlás különböző peremfeltételek mellett Biot szám 1. fajú: Bi → ∞ (speciális eset) 2. fajú: nincs külön szám 3. fajú: 0 < Bi < ∞ α kicsi és λ nagy: Bi → 0; pontszerű testként modellezhető

Időben változó hővezetés Dimenziótlan megoldás  Heisler diagram (sík fal, közép)