Statisztikai áttekintés (I.) Statisztika: valószínűségi változók megfigyelt értékeinek ismeretlen paramétert nem tartalmazó függvénye Példa: egy sokaságból vett minta értékeinek átlaga Jelölés: X valószínűségi változó, a sokaság elméleti eloszlása; X1, X2, …, Xn az X megfigyelései, mint valószínűségi változók (~mintaelemek); x1, x2, …, xn a megfigyelt értékek (~a ténylegesen mért minta) Véletlen minta: bármely n elemű kombinációnak egyenlő esélye van arra, hogy az legyen a kiválasztott minta – mi most csak ezzel foglalkozunk → X1, X2, …, Xn független azonos eloszlású (iid) valószínűségi változók, eloszlásuk ugyanaz, mint X-é A statisztika is egy valószínűségi változó (mert valószínűségi változók függvénye), eloszlása a mintavételi eloszlás (sampling distribution)

Statisztikai áttekintés (II.) Példa: normális eloszlásból vett n elemű minta átlaga X ~ N(μ;σ) a sokaság elméleti eloszlása T(X1, X2, …, Xn) = (X1 + X2 + … + Xn)/n a statisztika T ~ N(μ;σ/√n) a statisztika mintavételi eloszlása Statisztikák fő alkalmazása: becslés és hipotézisvizsgálat Becslés Példa: keressük a sokaság ismert eloszlásának ismeretlen paraméterét Példa: normális eloszlás várható értékének becslése mintaátlaggal (ld. fent)

Statisztikai áttekintés (III.) Hipotézisvizsgálat Alapvető lépései: 1) két egymással szembenálló hipotézis megfogalmazása 2) egy tesztstatisztika megszerkesztése és mintavételi eloszlásának meghatározása 3) döntési szabály felállítása és választás a hipotézisek közül Ad1) Null- (H0) és alternatív hipotézisek (H1) Példa: H0: μ = μ0, H1: μ ≠ μ0 Ad2) T(x1, x2, …, xn) kiszámítása és eloszlásának meghatározása a nullhipotézis igaz volta esetén Ad3) kritikus, ill. elfogadási tartomány megadása, hogy T milyen megfigyelt értékei esetén vessük el, ill. fogadjuk el a nullhipotézist

Statisztikai áttekintés (IV.) Hipotézisvizsgálat lehetséges kimenetelei Helyes döntés (hamis nullhipotézis elvetése, helyes nullhipotézis elfogadása) Elsőfajú hiba (Type I error): igaz H0 elvetése Másodfajú hiba (Type II error): hamis H0 elfogadása Gyakorlatban: Elsőfajú hiba legnagyobb megengedett valószínűsége (a) rögzítve (tipikusan 1%, 5%, 10%) Majd ehhez olyan próba (tesztstatisztika), amelyre a másodfajú hiba valószínűsége (b) minimális a: szignifikanciaszint 1 – b: próba ereje (el tudjuk vetni a hamis H0-t)

Statisztikai áttekintés (V.) Példa: normális eloszlású valószínűségi változó várható értékének tesztelése H0: μ = μ0, H1: μ ≠ μ0 Ez egy kétoldali (two-tailed) hipotézis: az elméleti várható érték H0 bármelyik oldalára eshet, azaz nagyobb és kisebb is lehet μ0-nál (vö. egyoldali (one-tailed) hipotézis: H0-nak csak az egyik oldalára eshet, pl. csak kisebb lehet μ0-nál) A tesztstatisztika: Ahol a felülvonás az átlagot, s pedig a korrigált empirikus szórást jelöli Ha H0 igaz, akkor ez a tesztstatisztika Student-féle t-elosz-lást követ n – 1 szabadságfokkal (d.f.)

Statisztikai áttekintés (VI.) Kritikus értékek meghatározása: mely t* érték felett lesz a t-eloszlás sűrűségfüggvényének integrálja az a szignifikanciaszint fele A t-eloszlás szimmetriája miatt a/2-t nézünk, mert t* felett és –t* alatt ítéljük „túl nagynak”, azaz szignifikánsnak a mintaátlag eltérését; a két oldal a/2-je adja ki az a szignifikanciaszintet Ábrázolva: Ha |tc| > t*, akkor elvetjük H0-t, egyébként elfogadjuk

Statisztikai áttekintés (VII.) Példa – befektetés várható hozamának tesztelése: H0: μ = 15%, H1: μ ≠ 15%; normális eloszlást feltételezünk n = 100 elemű mintán 12%-os átlagot és 10%-os szórást mértünk, a szignifikanciaszint 5% d.f. = 100 – 1 = 99, ez alapján az a/2 = 0,025-höz tartozó t* kritikus érték 1,984 (pl. t-eloszlás táblázatából) tc = √100*(0,12 – 0,15)/0,1 = –3 Mivel |tc| > t*, mert 3 > 1,984 ezért elvetjük a hipotézist 5%-os szignifikanciaszinten miszerint a valódi várható hozam 15%. Magyarán, a mért 12%-os érték túl távol van a 15%-tól, hogy pusztán a véletlen mintavétel műve legyen.

Statisztikai áttekintés (VIII.) p-érték megközelítés: mi az a legalacsonyabb szignifikanciaszint, amely mellett H0-t még éppen elvetnénk? Másként: meddig csökkenthetjük a szignifikanciaszintet, hogy H0-t még éppen el tudjuk vetni Döntés: ha p kisebb, mint a számunkra elfogadható maximális a, akkor elvetjük H0-t, egyébként elfogadjuk Példa: p = 0,005: ha a szignifikanciaszint 1%, akkor elvetnénk H0-t, mert 0,005 < 0,01 p-érték számítása a várható értékre: a t-eloszlás sűrűségfüggvényének integrálja tc felett és –tc alatt Előző példa folyt.: tc = ±3 → p = 0,0034 = 0,34% < 5%, tehát a valódi várható érték kisebb, mint 5%-os szign.szinten is különbözik 15%-tól (a szign.szintet egészen 0,34%-ig tudnánk csökkenteni, csak ez alatt fogadnánk el H0-t; tehát igen csekéllyé tehető az elsőfajú hiba valószínűsége)

Statisztikai áttekintés (IX.) Eddig: pontbecslés: az ismeretlen paraméter egyedi értékét becsültük Intervallum-becslés: az ismeretlen paraméter lehetséges értékeinek valamilyen tartományát becsüljük → Konfidencia-intervallum: az ismeretlen paraméter valamilyen valószínűséggel az adott intervallumba esik (pl. 95%-os konfidencia-intervallum) Példa folyt.: normális eloszlás várható értékére, 95%-os intervallumra Tudjuk a mintavételi eloszlást (t-eloszlás, n – 1 d.f.), ez alapján: Ezt átrendezve: t’ értéket meghatározva a konfidencia-intervallum adódik

Statisztikai áttekintés (X.) Előző példa (várható hozamra) folyt.: t’ = 1,984 (ugyanaz, mint a korábbi t*) Az intervallum határai így: 12% ± 1,984 x 10%/√100 Amiből maga az intervallum: (10%; 14%) Tehát a valódi várható hozam a minta alapján 95%-os valószínűséggel 10% és 14% között van Megjegyzés: konfidencia-intervallum és hipotézisvizsgálat kapcsolata: ha a nullhipotézist tartalmazza az 1 – a százalékos konfidencia-intervallum, akkor nem tudjuk elvetni a H0-t az a szignifikanciaszinten Előző példa folyt.: a 15% a (10%; 14%) intervallumon kívül esik, ezért elvetjük a nullhipotézist az 5%-os szinten

Korrelációs vizsgálat Hozamok auto- és keresztkorrelációja Becslés: k a késleltetés; autokorreláció esetén y helyén x (Torzított, de konzisztens – a torzítás a minta növekedésével csökken) H0: rk = 0, H1: rk ≠ 0 A tesztstatisztika (t-hányadoshoz hasonló, nem részletezzük) közelítőleg sztenderd normális eloszlású (nagy mintában) H0 igaz volta esetén Közelítő konfidencia-intervallumok (st. norm. eloszl. krit. értékeiből): 1%: ±2,6/√n 5%: ±2/√n 10%: ±1,6/√n Döntés: ha a mért együttható beleesik az intervallumba, akkor nem különbözik szignifikánsan nullától, egyébként igen.

Béták becslése (I.) Árfolyamadatokból hozamok Árfolyamadatok korrekciója Osztalékfizetés és címletmegosztás: D: osztalék, „ex-dividend” napon hozzáadva (=ameddig a napig meg kell venni a részvényt, hogy jogosult legyen az osztalékra) f: címletmegosztási faktor – pl. ha 1 db részvényből lett 2 db, akkor f = 2; ha 2 db-ból 3 db, akkor f = 1,5 Index választása piaci portfóliónak A szükséges árfolyam-korrekciók itt is meglegyenek Azonos devizára váltás – tipikusan USD Reálhozamok képzése – a devizának megfelelő inflációval

Béták becslése (II.) CAPM egyenletének becslése: a befektetés és a piaci index (portfólió) múltbeli hozamai közötti lineáris regresszió Megjegyzés: a CAPM várható (ex ante) hozamok közötti kapcsolatot fogalmaz meg – a gyakorlatban ezeket nem, hanem csak a realizált (ex post) hozamokat tudjuk megfigyelni Jobb híján ezekből becslünk (vö. együttes eloszlások időbeli stabilitása) Az indexmodell: Az α értékének az elmélet szerint nullának kell lennie – vö. CAPM egyenlete korábban Emlékezzünk: az α nem más, mint az abnormál hozam várható értéke Vö. tőkepiaci hatékonyság – az abnormális hozam várható értéke nulla Megjegyzés: loghozamok kívánatosak: kivonás reálhozamot ad, nem kell inflációval külön korrigálni (diszkrét hozamnál a kivonás közelítő, ld. korábban)

Béták becslése (III.) Jelölésileg: ri – rf = Ri és rM – rf = RM hozamprémiumok (excess returns) Az indexmodell egyenlet egy alternatív formája: Ha rf konstans, akkor pontosan ugyanazt a bétát kell, hogy kapjuk, mint az indexmodell esetében Bár rf időben változik, változékonysága kicsi, így a fenti alternatív specifikáció jó közelítés, tehát a csillagozott paraméterek ≈ csillag nélküliekkel Vigyázat: ennek a tengelymetszete nem egyszerűen α, hanem α + rf(1 – β)!

Béták becslése (IV.) A lineáris regressziós modell általános feltételezései (a megfigyeléseket t indexszel jelölve) A hibatag várható értéke 0 bármely t-re Homoszkedaszticitás: a hibatag szórása ugyanakkora bármely t-re A hibatagok kölcsönösen függetlenek (nincs autokorr.) A hibatagok és magyarázó változók is kölcsönösen függetlenek A hibatagok normális eloszlásúak bármely t-re A fentiekből következik: a hibatagok iid-k ~ N(0;σ)

Béták becslése (V.) A paraméterek becslésére alkalmazott tipikus módszer: klasszikus legkisebb négyzetek (OLS) módszere Elve (az indexmodell jelöléseivel): Ahol n a megfigyelések száma, a kalap pedig a becsült paramétert jelöli Ha a korábban említett feltételek fennállnak, akkor az OLS „nagyon jó” módszer a lineáris egyenlet paramétereinek becslésére „nagyon jó”: pl. torzítatlan, minimális varianciájú becslés

Béták becslése (VI.) Hipotézisvizsgálat a becsült OLS paraméterekre H0: β = 0, H1: β ≠ 0 (kétoldali hipotézis) H0: α = 0, H1: α ≠ 0 (kétoldali hipotézis) A tesztstatisztikákat itt most mellőzzük – a lényeg, hogy Student-féle t-eloszlást követnek n – 2 szabadságfokkal, ha H0 igaz A döntési logika ugyanaz, mint korábban a várható értéknél láttuk A p-érték megközelítés is ugyanúgy alkalmazható α-ra és β-ra úgyszintén megadhatók konfidencia-intervallumok: pl. a becsült együtthatók körül, ún. „sztenderd hibájuk” (S.E.) többszöröseivel (a mintamérettől függően) Példa: 95%-os konfidencia-intervallum „nagy mintára”: β^ ± 1,96 x S.E.(β^)

Béták becslése (VII.) Záró megjegyzések Ha a hibatagok nem normális eloszlásúak: a tesztstatisztika nem t-eloszlású → a hipotézisvizsgálat érvénytelen Nagy mintában többnyire „megoldódik” Ha a hibatagok autokorreláltak és/vagy heteroszkedasztikusak: a becsült paraméterek sztenderd hibája torzított (és inkonzisztens) → a hipotézisvizsgálat nem „megbízható” A becsült béták esetleges korrekciója Átlaghoz való visszatérés, 1-hez tartás Más pénzügyi változók (pl. vállalatméret, osztalékhozam) beépítése a bétabecslésbe Ritka kereskedés miatti korrekció

Az alkalmazás lényegi kérdései Tőkepiaci hatékonyság gyenge szintjének tesztelése Auto- és keresztkorrelációs vizsgálatok – találunk-e nullától szignifikánsan különböző korrelációt? Befektetési stratégia eredményességének vizsgálata Stratégia szerinti múltbeli hozamok előállítása Stratégia bétájának és alfájának becslése A stratégia alfája szignifikánsan különbözik nullától?