GYÖKVONÁS, NÉGYZETGYÖKÖS EGYENLETEK Matematika Érettségi követelmények Középszint GYÖKVONÁS, NÉGYZETGYÖKÖS EGYENLETEK Gyökvonás, n-edik gyökvonás Gyökvonás azonosságai Műveletek gyökös kifejezésekkel Bevitel gyökjel alá Kiemelés gyökjel elé Gyöktelenítés Négyzetgyökös egyenletek

𝑎 =𝑏, ℎ𝑎 𝑏 2 =𝑎 𝑎 2 =|𝑎| A gyökvonás Egy a nemnegatív szám négyzetgyöke olyan b nemnegatív szám, melynek a négyzete az a szám. (𝑎, 𝑏 ≥0) 𝑎 =𝑏, ℎ𝑎 𝑏 2 =𝑎 𝑎 2 =|𝑎| Kilenc a négyzetgyök alatt: 9 =3, 𝑚𝑒𝑟𝑡 3 2 =9

𝑛 𝑎 =𝑏, ℎ𝑎 𝑏 𝑛 =𝑎 A gyökvonás ha n páros, akkor 𝑎, 𝑏 ≥0 Valamely a szám n-edik gyöke (nN; n ≥ 2) olyan b szám, melynek n-edik hatványa az a szám. (𝑎, 𝑏 ≥0) 𝑛 𝑎 =𝑏, ℎ𝑎 𝑏 𝑛 =𝑎 ha n páros, akkor 𝑎, 𝑏 ≥0 ha n páratlan, akkor 𝑎, 𝑏 ∈ℝ gyökkitevő Nyolc a harmadikgyök alatt: 3 8 =2, 𝑚𝑒𝑟𝑡 2 3 =8

2𝑘 𝑎 2𝑘 =|𝑎| 2𝑘+1 𝑎 2𝑘+1 =𝑎 𝑥 2 𝑥 3 |𝑥 3 | 𝑥 2 𝑥 4 | 𝑥| 𝑥 4 = 3 𝑥 9 = A gyökvonás 2𝑘 𝑎 2𝑘 =|𝑎| 2𝑘+1 𝑎 2𝑘+1 =𝑎 𝑥 4 = 𝑥 2 3 𝑥 9 = 𝑥 3 𝑥 6 = |𝑥 3 | 3 𝑥 6 = 𝑥 2 3 𝑥 12 = 𝑥 2 = 𝑥 4 | 𝑥|

A gyökvonás (2) 4 = 2 6 64 = 2 3 8 = 2 7 128 = 2 4 16 = 2 8 256 = 2 9 512 = 2 5 32 = 2 10 1024 = 2

A gyökvonás 1 = 1 3 1 = 1 4 −1 = - 9 = 3 27 = 3 3 4 16 = 2 −100 = - 3 125 = 4 81 = 5 3 3 −8 = 0 = -2 5 −32 = -2 −4 = - 3 −1000 = 4 625 = -10 5

Törtkitevőjú hatvány ↔ gyökvonás Egy pozitív a szám 𝒎 𝒏 –edik hatványa az a alapnak m-edik hatványából vont n-edik gyöke, ahol 𝑎>0, 𝑚∈ℤ, 𝑛∈ℕ, 𝑛≠0, 𝑛≠1. 𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑛 𝑎 𝑚 𝑎 1 𝑛 = 𝑛 𝑎 8 2 3 = 3 8 2 = 3 8 2 = 2 2 = 4 25 1 2 = 2 25 1 = 25 1 = 5 1 = 5 9 3 2 = 2 9 3 = 9 3 = 3 3 = 27

Tört kitevőjú hatvány ↔ gyökvonás (1) Mennyi az értéke a következő hatványoknak?

Tört kitevőjú hatvány ↔ gyökvonás (2) Írjuk fel 2 hatványaként a következő kifejezéseket!

Tört kitevőjú hatvány ↔ gyökvonás (3) Végezzük el a műveleteket!

𝑎∙𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑘 𝑎∙𝑏 = 𝑘 𝑎 ∙ 𝑘 𝑏 A gyökvonás azonosságai Szorzat gyökét felírhatjuk a tényezők gyökének szorzataként. (𝑎, 𝑏 ≥0) 𝑎∙𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏 𝑘 𝑎∙𝑏 = 𝑘 𝑎 ∙ 𝑘 𝑏 144∙100 = 144 ∙ 100 =12∙10 3 𝑎 6 ∙ 𝑏 9 = 3 𝑎 6 ∙ 3 𝑏 9 = 𝑎 2 ∙ 𝑏 3

A gyökvonás azonosságai Tört gyöke felírható a számláló és a nevező gyökének hányadosaként. (𝑎≥ 0;𝑏>0) 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑏 𝑘 𝑎 𝑏 = 𝑘 𝑎 𝑘 𝑏 25 36 = 25 36 = 5 6 3 27 1000 = 3 27 3 1000 = 3 10

𝑘 𝑛 𝑎 = 𝑛∙𝑘 𝑎 3 5 2 = 3∙5 2 = 15 2 2 = 4 2 A gyökvonás azonosságai Gyöknek a gyökét felírhatjuk úgy is, hogy a gyök alatti kifejezésből olyan gyököt vonunk, amelynek a kitevője az eredeti gyökkitevők szorzata. (𝑎≥ 0; 𝑛,𝑘∈ℤ) 𝑘 𝑛 𝑎 = 𝑛∙𝑘 𝑎 3 5 2 = 3∙5 2 = 15 2 2 = 4 2

𝑎 3 = 4 𝑎 6 = 6 𝑎 9 40 𝑎 20 = 20 𝑎 10 = 𝑎 2 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑛∙𝑘 𝑎 𝑚∙𝑘 A gyökvonás azonosságai Hatvány gyökét felírhatjuk úgy is, hogy a hatvány kitevőjét és a gyökkitevőt ugyanakkora számmal bővítjük vagy egyszerűsítjük. (𝑎≥0; 𝑛,𝑚, 𝑘∈ℕ) 𝑛 𝑎 𝑚 = 𝑛∙𝑘 𝑎 𝑚∙𝑘 𝑎 3 = 4 𝑎 6 = 6 𝑎 9 40 𝑎 20 = 20 𝑎 10 = 𝑎 2

Gyökvonás alkalmazása: műveletek Hozzuk egy gyökjel alá a kifejezéseket, és végezzük el a műveleteket! 4 3∙ 7 = 4 9 ∙ 7 = 4 63 = 8 63 5 2∙ 3 5 = 5 3 8 ∙ 3 5 = 5 3 40 = 15 40 9 10∙ 4 3 = 9 4 10000 ∙ 4 3 = 9 4 30000 = 36 30000 3 𝑥∙ 5 𝑥 2 = 3 5 𝑥 5 ∙ 5 𝑥 2 = 3 5 𝑥 7 = 15 𝑥 7 5 𝑎 3 ∙ 4 𝑎 2 = 5 4 𝑎 12 ∙ 4 𝑎 2 = 5 4 𝑎 14 = 20 𝑎 14

Gyökvonás alkalmazása: műveletek Hozzuk közös gyökkitevőre a gyököket, és végezzük el a műveleteket! 12 𝑎 7 4 𝑎 ∙ 6 𝑎 2 = 12 𝑎 3 ∙ 12 𝑎 4 = 𝑥 5 ∙ 3 𝑥 2 8 𝑥 3 = 24 𝑥 60 ∙ 24 𝑥 16 24 𝑥 9 = 24 𝑥 76 24 𝑥 9 = 24 𝑥 67 5 𝑦 3 ∙ 𝑦 2 4 𝑦 ∙ 10 𝑦 7 = 20 𝑦 12 ∙ 20 𝑦 20 20 𝑦 10 ∙ 20 𝑦 14 = 20 𝑦 32 20 𝑦 24 = 20 𝑦 8

Gyökvonás alkalmazása: bevitel gyökjel alá Ha a gyökjel előtt áll egy szorzótényező, akkor ezt a szorzótényezőt úgy vihetjük be az n-edik gyökjel alá, hogy n-edikre emeljük. (𝑎,𝑥≥0) 𝑎∙ 𝑛 𝑥 = 𝑛 𝑎 𝑛 ∙𝑥 4 ∙ 3 = 12 2 3 = 5 3 2 = 3 125 ∙ 3 2 = 3 250 𝑥5 𝑥2 ∙ 𝑥3 = 𝑥 𝑥3 = 4 𝑎8 ∙ 4 𝑎3 = 4 𝑎11 𝑎2∙ 4 𝑎3 =

Gyökvonás alkalmazása: bevitel gyökjel alá Vigyük be a gyökjel alá a szorzótényezőt! 10 3 = 100 ∙ 3 = 300 2 4 3 = 4 16 ∙ 4 3 = 4 48 4 3 10 = 3 64 ∙ 3 10 = 3 640 𝑥 𝑥4 = 𝑥2 ∙ 𝑥4 = 𝑥6 𝑥3∙ 𝑥3 = 𝑥6 ∙ 𝑥3 = 𝑥9 𝑎4∙ 4 𝑎5 = 4 𝑎16 ∙ 4 𝑎5 = 4 𝑎21 𝑎5∙ 10 𝑎3 = 10 𝑎50 ∙ 10 𝑎3 = 10 𝑎53

𝑛 𝑥 = 𝑛 𝑎 𝑛 ∙𝑏 =𝑎∙ 𝑛 𝑏 Gyökvonás alkalmazása: kiemelés gyökjel elé 8 = Ha az n-edik gyökjel alatti számot szorzattá alakítjuk, és a tényezők között szerepel n-edik hatvány, akkor ennek a számnak az n-edik gyöke kiemelhető a gyökjel elé. (𝑎,𝑥≥0) 𝑛 𝑥 = 𝑛 𝑎 𝑛 ∙𝑏 =𝑎∙ 𝑛 𝑏 8 = 4 ∙ 2 =2 2 18 = 9 ∙ 2 =3 2 3 24 = 3 8 ∙ 3 3 = 2 3 3 3 54 = 3 27 ∙ 3 2 = 3 3 2

Gyökvonás alkalmazása: kiemelés gyökjel elé Emeljünk ki a gyökjel elé szorzótényezőt! 75 = 25 ∙ 3 =5 3 200 = 100 ∙ 2 =10 2 500 = 100 ∙ 5 =10 5 28 = 4 ∙ 7 =2 7 3 16 = 3 8 ∙ 3 2 = 2 3 2 3 250 = 3 125 ∙ 3 2 = 5 3 2 3 5000 = 3 1000 ∙ 3 5 = 10 3 5

Gyökvonás alkalmazása: kiemelés gyökjel elé Vonjuk össze a tagokat! 8 + 18 − 32 = 2 2 +3 2 −4 2 = 1 2 = 2 12 +2 75 + 363 = 2 3 +2∙5 3 +11 3 = 23 3 3 20 + 45 − 125 = 3∙2 5 +3 5 −5 5 = 4 5

𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑥 ∙ 𝑥 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑥 Gyökvonás alkalmazása: nevező gyöktelenítése A tört nevezőjét úgy gyöktelenítjük, hogy: egytagú nevező esetén a tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk a nevezőben lévő gyökkifejezéssel 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑥 ∙ 𝑥 𝑥 = 𝑎 𝑥 𝑥 10 5 ∙ 5 5 = 10 5 = 10 5 5 = 2 5 3 2 3 = 3 2 3 ∙ 3 3 = 3 6 3 = 6 𝑎𝑏 𝑐 = 𝑎𝑏 𝑐 ∙ 𝑐 𝑐 = 𝑎𝑏 𝑐 𝑐

𝑎 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑦 𝑥−𝑦 Gyökvonás alkalmazása: nevező gyöktelenítése A tört nevezőjét úgy gyöktelenítjük, hogy: kéttagú nevező esetén felhasználjuk az 𝑎−𝑏 𝑎+𝑏 = 𝑎 2 − 𝑏 2 azonosságot 𝑎 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑦 ∙ 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑦 𝑥−𝑦 𝑎 𝑥 − 𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑦 ∙ 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑦 𝑥−𝑦

Gyökvonás alkalmazása: nevező gyöktelenítése Gyöktelenítse a törteket! 5 5 + 2 ∙ 5 − 2 5 − 2 = 5 5 + 2 = 5( 5 − 2 ) 5−2 = 5( 5 − 2 ) 3 3 7 − 2 = 3 7 − 2 ∙ 7 + 2 7 + 2 = 3( 7 + 2 ) 7−2 = 3( 7 + 2 ) 5

Érettségi feladatok: négyzetgyökös egyenletek Adja meg azt az x valós számot, melyre a következő egyenlőség teljesül! (2p) (2012okt16) 1 2 · 𝑥 =2 /·2 𝑥 =4 / () 2 𝑥 2 = 4 2 𝑥=16 B.o.: 1 2 · 16 = 1 2 ·4=2 Ellenőrzés: J.o.:2

Érettségi feladatok: négyzetgyökös egyenletek Oldja meg az alábbi egyenletet! (6p) (2005máj29) 𝑥+2 =𝑥 / () 2 𝑥+2 2 = 𝑥 2 𝑥+2= 𝑥 2 / 0-ra rendezés a = -1 b = 1 c = 2 −𝑥 2 +𝑥+2=0 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 = −1± 1 2 −4·(−1)·2 2·(−1) = −1 ∅ = −1± 1+8 −2 = −1± 9 −2 = −1±3 −2 2 Ell.: B.o.: −1+2 = 1 =1 B.o.: 2+2 = 4 =2 J.o.:−1 J.o.:2

Érettségi feladatok: négyzetgyökös egyenletek Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! (6p) (2013okt15) 𝑥+4= 4𝑥+21 / () 2 𝑥+4 2 = 4𝑥+21 2 𝑥 2 +8𝑥+16=4𝑥+21 / 0-ra rendezés a = 1 b = 4 c = -5 𝑥 2 +4𝑥−5=0 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 = −4± 4 2 −4·1·(−5) 2·1 = 1 = −4± 16+20 2 = −4± 36 2 = −4±6 2 −5 ∅ Ell.: B.o.:1+4=5 B.o.:−5+4=−1 J.o.: 4·1+21 = 25 =5 J.o.: 4·(−5)+21 = −1 =∅

Érettségi feladatok: négyzetgyökös egyenletek Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! (4p) (2012máj8b) 4𝑦−5=8 𝑦 / () 2 4𝑦−5 2 = 8 𝑦 2 16𝑦 2 −40𝑦+25=64𝑦 / 0-ra rendezés a = 16 b = -104 c = 25 16𝑦 2 −104𝑦+25=0 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 = 104± 104 2 −4·16·25 2·16 = 6,25 = 104± 10816−1600 32 = 104± 9216 32 = 104±96 32 0,25 ∅ Ell.: B.o.:4·6,25−5=20 B.o.:4·0,25−5=−4 J.o.:8 6,25 =8·2,5=20 J.o.:8 0,25 =8·0,5=4

Érettségi feladatok: négyzetgyökös egyenletek Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet! (8p) (2006okt25) 𝑥 2 −3𝑥+3 =1−2𝑥 / () 2 𝑥 2 −3𝑥+3 2 = 1−2𝑥 2 𝑥 2 −3𝑥+3=1−4𝑥+4 𝑥 2 / 0-ra rendezés a = -3 b = 1 c = 2 −3 𝑥 2 +𝑥+2=0 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 = −1± 1 2 −4·(−3)·2 2·(−3) = − 2 3 = −1± 1+24 −6 = −1± 25 −6 = −1±5 −6 1 ∅ Ell.: B.o.: − 2 3 2 −3· − 2 3 +3 = 49 9 = 7 3 B.o.: 1 2 −3·1+3 = 1 =1 J.o.:1−2· − 2 3 = 7 3 J.o.:1−2·1=−1

Forrásjegyzék: [1] Kosztolányi József et al. : Sokszínű matematika 9 Forrásjegyzék: [1] Kosztolányi József et al.: Sokszínű matematika 9., 10., 11., 12. Szeged, Mozaik Kiadó, 2016. [2] Érettségi vizsgatárgyak feladatlapjai, javítási- értékelési útmutatói: matematika, Oktatási Hivatal, 2017. www.oktatas.hu [3] Tóth János: Oxford Matematika Kislexikon. Szeged, Typotext Elektronikus Kiadó Kft., 2007. www.tankonyvtar.hu