Statisztikai folyamatszabályozás Dr. tóth zsuzsanna eszter Menedzsment és vállalatgazdaságtan tanszék üzleti tudományok intézet gazdaság- és társadalomtudományi kar budapesti műszaki és gazdaságtudományi egyetem Forrás: Erdei J., Minőségmenedzsment módszerek (SPC)

Mai menetrend Szabályozás ellenőrzőkártyákkal Rövid ismétlés Tipikus mintázatok Mintavételi megfontolások Átlagos sorozathossz Tipikus méréses kártyák Tipikus minősítéses kártyák

Szabályozottság vs. szabályozatlanság Szabályozott rendszer

Ellenőrzőkártyás szabályozás A szabályozott jellemző és a beavatkozási határok egybevetése Döntés a beavatkozásról Szabályozott jellemző képzése Technológiai-és termékjellemzők mérése Beavatkozás a technológiai folyamat belső törvénysze- rűségeinek ismeretében

Példa Alsó beavatkozási határ Felső beavatkozási határ (LCL) (UCL) Személetesebb, ha nem a próbastatisztikára, hanem az átlagra adjuk meg az elfogadási tartományt: Ha az átlagérték az elfogadási tartományon kívülre esik, elutasítjuk a nullhipotézist! Alsó beavatkozási határ (LCL) Felső beavatkozási határ (UCL)

Kártyák működésének elvi alapjai FTH FBH ABH ATH

Beavatkozási határok tervezése FTH FBH ABH ATH

Beavatkozási határok számolása A számítás gyakorlati menete Szükséges alapadatok: 3σ-ás modell ABH = középérték - 3·szórás FBH = középérték + 3·szórás Számolandó: - a célállapot statisztikai jellemzői F0(x), M0(), D0() …. - ABH, FBH beavatkozási határok - elsőfajú hiba,  - mintaszám, n - ß, másodfajú hiba - a ß-hoz kapcsolódó alternatív (zavar) állapot statisztikai jellemzői F1(x), M1(), D1() …. „Kényelmes”, de vigyázzunk a  -ra!!!

OC görbe

Kártyák használatának előnyei Növeli a termelékenységet Segít a folyamatot szabályozott állapotban tartani Megakadályozza a felesleges folyamat (gép) állítgatásokat Információt ad a folyamat (gép) állapotáról Információt ad a folyamatképesség-elemzésekhez

Ellenőrzőkártya vázlata FBH UCL LCL ABH

Ellenőrzőkártyák fajtái Minősítéses kártyák np-kártya (selejtszám) c-kártya (hibaszám) p-kártya (selejtarány) u-kártya (fajlagos hibaszám) Méréses kártyák egyedi érték kártya mozgó terjedelem kártya átlag, medián kártya szórás, szórásnégyzet, terjedelem kártya Egyéb speciális kártyák

Kártyák használata A mérendő változó meghatározása Mintaelemszám meghatározása Előzetes mintavétel a paraméterek becslésére Határok számolása, ábrázolás Kártya alkalmazása

„Mintázatok” Egy pont az A zónán kívül 9 egymás utáni pont a középső vonal egyik oldalán helyezkedik el. 6 egymás utáni pont egyirányú menetet mutat. 14 egymás utáni pont le-föl ingadozik. 3 egymás utáni pont közül 2 az A zónában vagy azon kívül van.

„Mintázatok” folyt. 5 egymás utáni pont közül 4 a B zónába vagy azon kívülre esik 15 egymást követő pont a C zónában van. 8 egymást követő pont a C zónán kívül.

Mintavétel Általános szabály: az alcsoport homogén legyen, ne legyen benne középértéket befolyásoló hatás.

*: Forrás: QS9000 Statistical Process Control (SPC) kézikönyv Mintavétel helye* *: Forrás: QS9000 Statistical Process Control (SPC) kézikönyv

Még mindig a mintavételről* *: Forrás: QS9000 Statistical Process Control (SPC) kézikönyv

ARL meghatározása Szabályozott állapotban: ARL= 1/α ARL = Average Run Length, várható sorozathossz Szabályozott állapotban: ARL= 1/α Adott eltolódásnál: ARL= 1/(1-ß)

ARL számolása α = 0,0527 Szabályozott állapotban: ARL= 1/α = 18,97 ß = 0,6289 Adott eltolódásnál: ARL= 1/(1-ß) = 2,69 3σ-ás modell α = 0,0046 Szabályozott állapotban: ARL= 1/α = 217,39 ß = 0,8894 Adott eltolódásnál: ARL= 1/(1-ß) = 9,04

μ=250g σ=1g Δ=μ1-μ0=A·σ n A μ1 ß ARL1 5 -2 248 7,472 1,472 1 0,9295 0,0705 1,076 -1,5 248,5 6,354 -0,354 0,6383 0,367 1,566 -1 249 5,236 -0,764 0,2224 0,7776 4,496 -0,5 249,5 4,118 -1,882 0,999998 0,02992 0,97 33,44 10 9,324 3,324 0,999556 0,0012 1,001 7,743 1,743 0,959333 0,0407 1,042 6,162 0,162 0,564347 0,4364 1,776 4,581 -1,418 0,078095 0,9208 12,63

Méréses ellenőrzőkártyák

Méréses ellenőrzőkártyák alkalmazása A legtöbb folyamat és ezek végterméke rendelkezik mérhető jellemzőkkel; egy mennyiségi érték (pl. „az átmérő 16,45 mm”) több információt tartalmaz, mint egy egyszerű igen-nem minősítés (pl. „az átmérő a tűrésen belül van”); kevesebb darabot kell ellenőrizni, hogy több információhoz jussunk a folyamatról, így egyes esetekben a teljes mérési költség alacsonyabb lehet; a darabok gyártása és a javító beavatkozás közötti idő gyakran lerövidíthető; a fejlődés mennyiségileg meghatározható.

Méréses ellenőrzőkártyák szerkesztése Előzetes adatfelvétel Az eloszlás paramétereinek a becslése Gyártásközi ellenőrzés A folyamat azonos-e azzal a folyamattal, amit az előzetes adatfelvétellel rögzítettünk Külső előírások

(Mozgó terjedelem kártya) Egyedi érték kártya (Mozgó terjedelem kártya) Szakaszos technológia „Lassú” gyártás Automatikus (100%-os) ellenőrzés Drága a mérés Termékjellemző

Ingadozás mérése a mozgó terjedelmekkel történik. Egyedi érték kártya Ingadozás mérése a mozgó terjedelmekkel történik. n=2

Mozgó terjedelem kártya A kártya paraméterei:

Egyedi érték – mozgó terjedelem kártya Xi MRi 1 248,49 - 2 249,84 1,35 3 250,39 0,55 4 249,96 0,43 5 250,08 0,12 6 250,04 0,04 7 250,50 0,46 8 249,95 9 249,57 0,38 10 250,09 0,52 11 251,86 1,77 12 251,32 0,54 13 250,94 14 250,63 0,31 15 252,21 1,58 16 250,83 1,38 17 250,61 0,22 18 250,64 0,03 19 0,00 20 249,88 0,76

i Xi MRi 1 248,49 - 2 249,84 1,35 3 250,39 0,55 4 249,96 0,43 5 250,08 0,12 6 250,04 0,04 7 250,50 0,46 8 249,95 9 249,57 0,38 10 250,09 0,52 11 251,86 1,77 12 251,32 0,54 13 250,94 14 250,63 0,31 15 252,21 1,58 16 250,83 1,38 17 250,61 0,22 18 250,64 0,03 19 0,00 20 249,88 0,76

Átlag-kártya használata Több elemű mintát tudunk venni. Ha viszonylag nagyobb eltérések várhatók. Kis eltérések nem okoznak nagy gondot. Mintavételi költség viszonylag alacsony. A folyamat nem trend v. ciklikus jellegű.

Átlag-kártya lépései A mérendő változó meghatározása A minta elemszám meghatározása A folyamateloszlás paramétereinek előzetes becslése a minta elemszám meghatározásához Előzetes adatfelvétel az eloszlás paramétereinek becslésére, ehhez megfelelő kártya kombináció választása Adatok ábrázolása, középvonal, beavatkozási határok számítása, instabilitás vizsgálata Gyártásközi ellenőrzés, ha az előzetes adatfelvétel alapján stabilnak bizonyult. A gyártásközi ellenőrzésnek a gyártással egy időben kell folynia

Variancia becslése terjedelemből Terjedelem-kártya (R-bar chart)

  átlag medián terjedelem szórás szórásnégyzet 1 250,118 250,15 1,95 0,7353 0,5407 2 249,632 249,84 3,48 1,2968 1,6818 3 250,452 250,23 1,4 0,5806 0,3371 4 249,954 249,77 1,63 0,7087 0,5022 5 249,546 249,09 2,95 1,3671 1,8688 6 250,158 250,06 3,96 1,6910 2,8596 7 250,078 249,61 2,16 0,8974 0,8053 8 249,026 249,16 2,21 0,8196 0,6717 9 249,74 249,59 3,85 1,4082 1,9830 10 249,19 249,08 2,76 1,0285 1,0578 11 250,18 250,08 1,96 0,6990 0,4886 12 249,768 249,46 2,73 1,0676 1,1399 13 250,256 250,36 2,9 1,0311 1,0631 14 250,268 250,26 1,25 0,5110 0,2611 15 251,008 250,75 2,45 0,9514 0,9051 16 249,97 249,93 1,56 0,5879 0,3456 17 249,718 249,65 3,4 1,3549 1,8357 18 250,284 250,38 0,93 0,4132 0,1707 19 250,248 250,11 1,09 0,4790 0,2294 20 249,51 249,43 2,03 0,7347 0,5397 249,955 249,850 2,333 0,9181 0,9643

Átlag-kártya (x-bar chart)

  átlag medián terjedelem szórás szórásnégyzet 1 250,118 250,15 1,95 0,7353 0,5407 2 249,632 249,84 3,48 1,2968 1,6818 3 250,452 250,23 1,4 0,5806 0,3371 4 249,954 249,77 1,63 0,7087 0,5022 5 249,546 249,09 2,95 1,3671 1,8688 6 250,158 250,06 3,96 1,6910 2,8596 7 250,078 249,61 2,16 0,8974 0,8053 8 249,026 249,16 2,21 0,8196 0,6717 9 249,74 249,59 3,85 1,4082 1,9830 10 249,19 249,08 2,76 1,0285 1,0578 11 250,18 250,08 1,96 0,6990 0,4886 12 249,768 249,46 2,73 1,0676 1,1399 13 250,256 250,36 2,9 1,0311 1,0631 14 250,268 250,26 1,25 0,5110 0,2611 15 251,008 250,75 2,45 0,9514 0,9051 16 249,97 249,93 1,56 0,5879 0,3456 17 249,718 249,65 3,4 1,3549 1,8357 18 250,284 250,38 0,93 0,4132 0,1707 19 250,248 250,11 1,09 0,4790 0,2294 20 249,51 249,43 2,03 0,7347 0,5397 249,955 249,850 2,333 0,9181 0,9643

Medián kártya Mediánok átlaga átlag medián terjedelem 1 250,118 250,15   átlag medián terjedelem 1 250,118 250,15 1,95 2 249,632 249,84 3,48 3 250,452 250,23 1,4 4 249,954 249,77 1,63 5 249,546 249,09 2,95 6 250,158 250,06 3,96 7 250,078 249,61 2,16 8 249,026 249,16 2,21 9 249,74 249,59 3,85 10 249,19 249,08 2,76 11 250,18 250,08 1,96 12 249,768 249,46 2,73 13 250,256 250,36 2,9 14 250,268 250,26 1,25 15 251,008 250,75 2,45 16 249,97 249,93 1,56 17 249,718 249,65 3,4 18 250,284 250,38 0,93 19 250,248 250,11 1,09 20 249,51 249,43 2,03 249,955 249,850 2,333 Mediánok átlaga

Átlag-szórásnégyzet kártya   átlag szórásnégyzet 1 250,118 0,5407 2 249,632 1,6818 3 250,452 0,3371 4 249,954 0,5022 5 249,546 1,8688 6 250,158 2,8596 7 250,078 0,8053 8 249,026 0,6717 9 249,74 1,9830 10 249,19 1,0578 11 250,18 0,4886 12 249,768 1,1399 13 250,256 1,0631 14 250,268 0,2611 15 251,008 0,9051 16 249,97 0,3456 17 249,718 1,8357 18 250,284 0,1707 19 250,248 0,2294 20 249,51 0,5397 249,955 0,9643 átlagkártya szórásnégyzet kártya

Átlag-szórásnégyzet kártya   átlag szórásnégyzet 1 250,118 0,5407 2 249,632 1,6818 3 250,452 0,3371 4 249,954 0,5022 5 249,546 1,8688 6 250,158 2,8596 7 250,078 0,8053 8 249,026 0,6717 9 249,74 1,9830 10 249,19 1,0578 11 250,18 0,4886 12 249,768 1,1399 13 250,256 1,0631 14 250,268 0,2611 15 251,008 0,9051 16 249,97 0,3456 17 249,718 1,8357 18 250,284 0,1707 19 250,248 0,2294 20 249,51 0,5397 249,955 0,9643

Átlag-szórásnégyzet kártya   átlag szórásnégyzet 1 250,118 0,5407 2 249,632 1,6818 3 250,452 0,3371 4 249,954 0,5022 5 249,546 1,8688 6 250,158 2,8596 7 250,078 0,8053 8 249,026 0,6717 9 249,74 1,9830 10 249,19 1,0578 11 250,18 0,4886 12 249,768 1,1399 13 250,256 1,0631 14 250,268 0,2611 15 251,008 0,9051 16 249,97 0,3456 17 249,718 1,8357 18 250,284 0,1707 19 250,248 0,2294 20 249,51 0,5397 249,955 0,9643

I Homogén a folyamat, ill. nem lehet csoportot képezni X-MR N „Könnyen”lehet az átlagot számolni? Me N Átl.-R n > 9 N „Könnyen”lehet a szórást számolni? I Átl.-s

CUSUM kártya Shewhart kártyák csak az utolsó pont információját használják, s nem veszik figyelembe a pontok sorozatát. Ezért „mintázatokat” figyelünk, de túl sok „mintát” kell egyszerre vizsgálni. Kis elmozdulás (<1,5) észlelésére használjuk a CUSUM v. az EWMA kártyákat.

CUSUM A CUSUM kártyán az eltérések összegét ábrázoljuk a mintaszám függvényében.

CUSUM

CUSUM: számolási mód Táblázatos v.grafikus eljárás (A táblázatost is lehet grafikusan ábrázolni. ld. pl. Minitab ) Egyoldali v. kétoldali próbát végzünk.

CUSUM: táblázatos Valójában két egyoldali próbát végzünk minden egyes pontban. Kiszámítjuk az

Beavatkozási határok: CUSUM: táblázatos Beavatkozási határok: ABH(LCL) = -h/n FBH(UCL) = h/n h értéke általában 4 v. 5 Számolási példa

CUSUM grafikus A beavatkozási határokat az ún. V-maszkkal adjuk meg. Kétoldali próbát végzünk. A minták T-től való eltéréseit összegezzük, s ezt ábrázoljuk a sorszám függvényében. A beavatkozási határokat az ún. V-maszkkal adjuk meg.

CUSUM: V-maszk paraméterei Qi  d i

CUSUM használata kis eltérések kimutatására drága a mintavétel hosszantartó folyamat, variancia állandó ha a változás viszonylag hosszan fennáll ha tudni akarjuk, hogy mikor következett be a változás

Sávos ellenőrzőkártya Egyesíti az átlag és a cusum kártya előnyeit.

Minősítéses ellenőrzőkártyák

Minősítéses ellenőrzőkártyák A folyamat bonyolult, a termék minőségét azzal lehet jellemezni, hogy vannak-e hibaféleségek, működik vagy nem működik A folyamatot szabályozni kell, de nincs mérési lehetőség A vezetésnek képet kell alkotnia, kevésbé költséges, mint a méréses ellenőrzés

np-kártya A vizsgált jellemző: p selejtarány, a hibás darabok száma az egész sokaság elemeinek a számához viszonyítva p becslése a mintabeli selejtarány: Azt, hogy egy n elemű mintában véletlen kiválasztással hány selejteset találunk, a binomiális eloszlás írja le.

np-kártya Egy gépen gyártott csapágygolyókból félóránként 50 elemű mintát veszünk. A selejtes darabok száma (np): Átlagos selejtszám: 4,625 (=74/16) = CL Időpont 8:00 8:30 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 np 5 3 7 4 8 Időpont 12:00 12:30 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 15:30 np 5 3 7 4 8

p-kártya selejtarány a selejtszámhoz hasonlóan binomiális eloszlást követ.

p-kártya Egy gépen gyártott csapágygolyókból félóránként 50 elemű mintát veszünk. A selejtes darabok száma: Időpont 8:00 8:30 9:00 9:30 10:00 10:30 11:00 11:30 np 5 3 7 4 8 Időpont 12:00 12:30 13:00 13:30 14:00 14:30 15:00 15:30 np 5 3 7 4 8

Mintaszám meghatározása Ha a mintavételezés nem 100%-os: Ha p kicsi n-nek elég nagynak kell lennie ahhoz, hogy nagy valószínűséggel a nemmegfelelő termékek száma>1. n-nek elég nagynak kell lennie ahhoz, hogy legalább 50% valószínűséggel kimutasson egy adott mértékű eltolódást a folyamatban Ha p kicsi n-nek olyan nagynak kell lennie, hogy LCL>1

c-kártya Poisson eloszlás! A folyamat λ paraméterének becslésére a minta átlagos hibaszámát kapjuk.

Példa Egy autógyárban gyártott ajtókon átlagosan 2 festési hiba van. Hány ajtó tartozzék egy mintába, hogy az alsó beavatkozási határ pozitív érték legyen? Számítsuk ki a kártya paramétereit! r- egy mintába tartozó ajtók száma, a mintánkénti átlagos hibaszám 2r, az alsó beavatkozási határ:

Példa Minta hiba 1 17 2 14 3 10 4 13 5 7 6 12 8 9 16 átlag

u-kártya

u-kártya Előzetes adatfelvételnél 5, egyenként 1,1m2-es ajtó festési hibáit számolták le, ez egy minta. 20 ilyen mintából becsülték a folyamat λ paraméterét. A mintánkénti hibaszámot átlagosan 7,2-nek találták. A gyártásközi ellenőrzést különböző felületű ajtókon kell végezni, minden egyes ajtót megvizsgálva.

Nem egyenlő mintaszám Minden mintához saját beavatkozási határt számolunk. A határokat az átlagos mintaszámmal számoljuk ki. Több határt használunk egy kártyán. Standardizáljuk a valószínűségi változót.

Egyedi határok

Több határ n=50 n=150 n= 250

Standardizálás (p-kártya)

Vége! Ennek a tárgynak...

Köszönöm a figyelmet! tóth zsuzsanna eszter Menedzsment és vállalatgazdaságtan tanszék üzleti tudományok intézet gazdaság- és társadalomtudományi kar budapesti műszaki és gazdaságtudományi egyetem tothzs@mvt.bme.hu