Klasszikus Szabályozás elmélet Automatika Klasszikus Szabályozás elmélet II. Jelátvivő tag, LTI modell, Matematikai alapok Óbudai Egyetem Dr. Neszveda József

Tartály segédberendezésekkel Nyomás különbség szelep Qbe Nyomás különbség szelep tartályszint h Qki Szakasz Qbe tartályszint Nyomás különbség Qki A blokk legyen SISO Ha több jel van, akkor összegzőt alkalmazzunk. A „fekete doboz” modellel méréssel határozzuk meg a kapcsolatot a szakasz be és kimenete között A be és a kimenet legyen dimenzió nélküli!

Jelátvivő tag Jelátvivő tagnak tekinthető minden technológia, berendezés, alkatrész, részegység, stb., amennyiben két jellemzője vagy jele között ok-okozati összefüggés állapítható meg. A jelátvivő tag be-, és kimeneti jele vagy jellemzője közötti összefüggés megadható egyenlettel vagy grafikusan. A be-, és a kimenet állandósult állapotai közötti összefüggés a statikus karakterisztika. A dinamikus viselkedés differenciál egyenlettel írható le az időtartományban és átviteli függvénnyel a körfrekvencia vagy az operátoros tartományban.

Az állandósult állapotok meghatározása X Y x(t) t WP2 WP1 y(t) t Statikus karakterisztika csak önbeálló jellegű szakaszoknál létezik! Integráló szakaszoknak csak direkt vagy inverz jellege van! A dinamikus viselkedés az önbeálló és az integráló jellegű szakaszoknál egyaránt vizsgálható!

Dinamikus vizsgálat Egy bemeneti változó függvényében vizsgáljuk, a többit üzemi értéken van. Az üzemi értéktől való eltérés zavarásként lesz figyelembe véve. A dinamikus vizsgálat lineáris jelátviteli tagok esetén jól kidolgozott. Mérnöki szempontból egy jelátviteli tag akkor lineáris, ha kellő pontossággal érvényes rá a szuperpozíció.

A szuperpozíció törvénye x(t) y(t) x(j) y(j) Külön-külön tetszőleges jelekkel gerjesztve a jelátvivő tagot és mérve a válaszfüggvényeket, majd összegezve a gerjesztő jeleket megismételve a mérést, ha az eredmény az, hogy az első két válaszfüggvény összege elegendő pontossággal azonos az az összegzett jelre adott válasszal, akkor a jelátvivő tag lineárisnak tekinthető

Szabványos vizsgáló jelek x(t) y(t) x(t) y(t) t t Ha érvényes a szuperpozíció, akkor alkalmazhatók a szabványos vizsgáló jelek. Ezekből a jelekből tetszőleges jel összerakható! t t t t Impulzus (Dirac delta) Egység ugrás Sebesség ugrás Szinuszos Az impulzusra adott válasz a g(t) súlyfüggvény, az egység ugrásra adott válasz a h(t) átmeneti függvény. A szinuszos jelre adott válasz azonos körfrekvenciájú szinusz. Bármely jel összerakható végtelen sok impulzus vagy szinuszos jelből.

Az időtartomány és a kör-, illetve operátoros frekvencia tartomány kapcsolata Fourier és inverz Fourier transzformáció Csak akkor igaz, ha teljesül a: feltétel. Laplace és inverz Laplace transzformáció

Megkötések A Fourier transzformáció elvégzéséhez be kellett vezetni a negatív körfrekvencia értékeket, ami fizikailag nem értelmezhető. Az időtartományban értelmezhető negatív idő. Egy tetszőleges időpontot nulla értékű kezdeti időnek tekintünk, és ami előtte történt az a negatív időtartományban van. A Laplace transzformáció az egységugrás jellel úgy teszi abszolút integrálhatóvá az időtartománybeli jeleket, hogy elvész a negatív időtartomány. Ezért csak olyan rendszereknél lehet alkalmazni, ahol a munkapontba jutás körülményei nem befolyásolják a jövőbeni viselkedést!

Lineáris jelátviteli tagok jellemzése P t t I x(t) y(t) t t D t t A jelátviteli tag jellegre lehet arányos (P), integráló (I) és differenciáló (D). A tehetetlenségét tekintve lehet egy (T1) vagy két (T2) tárolós (időállandós). Lehet időben késleltetés nélküli vagy holtidős (H), azaz késleltetett. A tehetetlenséget és az időbeni késleltetést az egységnyi arányos hatás mellé rendelve szokás definiálni. matematikai modellekben P, I, D, PT1, PT2, PH a hat alaptag.

Laplace transzformáció Laplace transzformáció szabályai A vizsgáló jelek Laplace transzformáltjai t t t Ezeket a szabályokat alkalmazva bármely lineáris, állandó együtthatós differenciál egyenletből kreálható az operátoros átviteli függvény és viszont.

Alkalmazhatóság feltételei A vizsgált tartományban a be-, és a kimenő jel kapcsolata folytonos. Ha a kapcsolat folytonos, akkor a válaszfüggvények is folytonosak. Mérnöki szempontból a mintavételezett jeleket tekinthetjük közel folytonosnak, ha elegendően sűrű a mintavétel és nagy a felbontás. Ezeket hibrid rendszereknek nevezik. A vizsgált rendszer (eszköz, alkatrész, stb.) lineáris és a paraméterei időben állandók. Mérnöki szempontból, ha a fenti feltételek a munkapont ±15%-a közelében elfogadható hibával teljesül, akkor már alkalmazható.

Laplace transzformáció határérték tételei Ha az F(s) függvény pólusai (a nevező gyökei) negatív valós részűek (az s komplex számsík baltérfelén vannak és a nulla érték nem megengedett), akkor érvényesek a végérték tételek: Ha csak a kezdeti és/vagy a végérték kell, akkor alkalmazható.

Az átviteli függvény Az átviteli függvény a ki-, és a bemeneti jel körfrekvencia vagy operátoros függvényeinek a hányadosa. ahol az amplitúdó átvitel: és a fázistolás: Az átviteli függvény fizikailag azt definiálja, hogy a bemeneti jel egy konkrét frekvencia összetevője mekkora amplitúdó és fázis módosulással jelenik meg a kimeneti jelben.

Az átviteli függvény Az átviteli függvény Euler alakja: Polinom-tört alak: 𝐺 𝑠 = 𝑏 𝑚 𝑠 𝑚 + 𝑏 𝑚−1 𝑠 𝑚−1 +⋯+ 𝑏 1 𝑠+ 𝑏 0 𝑎 𝑛 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑠 𝑛−1 +⋯+ 𝑎 1 𝑠+ 𝑎 0 n ≥𝑚 Gyöktényezős alak: 𝐺 𝑠 = 𝑘 𝑧𝑝 (𝑠+ 𝑧 𝑚 )(𝑠+ 𝑧 𝑚−1 )⋯(𝑠+ 𝑧 1 ) (𝑠+ 𝑝 𝑛 )(𝑠+ 𝑝 𝑛−1 )⋯(𝑠+ 𝑝 1 ) A számláló gyökei (𝑧 𝑗 ) a zérusok, a nevező gyökei a ( 𝑝 𝑖 ) pólusok. Bode alak: 𝐺 𝑠 = 𝑘 𝑝 ( 𝜏 𝑚 𝑠+1)( 𝜏 𝑚−1 𝑠+1)⋯( 𝜏 1 𝑠+1) ( 𝑇 𝑛 𝑠+1)( 𝑇 𝑛−1 𝑠+1)⋯( 𝑇 1 𝑠+1)

Az átviteli függvény grafikus ábrázolásai Az M-α görbék: A körfrekvencia függvényében az A(ω) amplitúdó átvitel és az φ(ω) fázistolás. A Nyquist diagram: A G(jω) átviteli függvény komplex számsíkon ábrázolva. A Bode diagram: Az M-α görbék átkonvertálása úgy, hogy körfrekvencia logaritmikus léptékű és az M(ω) amplitúdó átvitel helyett az van. A Nichols diagram: Az α(ω) fázistolás függvényében az

Az alap jelátviteli tagok Az időtartományban a differenciálegyenlet Az operátor tartományban a (operátoros) átviteli függvény

P arányos tag Átmeneti függvény Bode diagram 𝑦(𝑡)= 𝐾 𝑃 x(t) 𝐺(𝑗𝜔)= 𝐾 𝑃 𝐺(𝑠)= 𝐾 𝑃 t Átmeneti függvény Bode diagram

I integráló tag Átmeneti függvény Bode diagram 𝑦(𝑡)= 1 𝑇 𝐼 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝑦(𝑡)= 1 𝑇 𝐼 𝑥 𝑡 𝑑𝑡 𝐺(𝑗𝜔)= 1 𝑗ω 𝑇 𝐼 𝐺(𝑠)= 1 𝑠 𝑇 𝐼 Átmeneti függvény Bode diagram

D differenciáló tag Átmeneti függvény Bode diagram 𝑦(𝑡)= 𝑇 𝐷 𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 𝑦(𝑡)= 𝑇 𝐷 𝑑𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 𝐺(𝑗𝜔)=𝑗ω 𝑇 𝐷 𝐺(𝑠)=𝑠 𝑇 𝐷 Az átmeneti függvény Dirac delta, ami nem ábrázolható Átmeneti függvény Bode diagram

PT1 egytárolós tag Átmeneti függvény Bode diagram 𝐺(𝑗𝜔)= 1 𝑗𝜔𝑇+1 𝐺(𝑠)= 1 𝑠𝑇+1 𝑇 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 +y(t)=𝑥(𝑡) Átmeneti függvény Bode diagram

PT2 kéttárolós tag Átmeneti függvény Bode diagram 𝐺(𝑗𝜔)= 1 (𝑗𝜔𝑇) 2 +2𝐷𝑗𝜔𝑇+1 𝑇 2 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 +2𝐷𝑇 𝑑𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 +y(t)=𝑥(𝑡) 𝐺(𝑠)= 1 𝑠 2 𝑇 2 +𝑠2𝐷𝑇+1 Átmeneti függvény Bode diagram

PH holtidős tag Átmeneti függvény Bode diagram 𝐺(𝑗𝜔)= 𝑒 −𝑗𝜔 𝑇 𝐻 𝑦(𝑡)=1(t- 𝑇 𝐻 )x(t- 𝑇 𝐻 ) 𝐺(𝑠)= 𝑒 −𝑠 𝑇 𝐻 Átmeneti függvény Bode diagram

Blokk diagram manipuláció Soros, párhuzamos, visszacsatolt eredő G1(jω) G2(jω) G1(jω)G2(jω) G1(jω) G1(jω)+G2(jω) G2(jω) G1(jω) G2(jω)

Blokk diagram manipuláció Blokkok áthelyezése

IT1 integráló egy tárolós tag 𝐺 𝐼𝑇1 𝑠 = 1 𝑠 𝑇 𝐼 1 𝑠𝑇+1 Sorba kapcsolt tagok. Átmeneti függvény Bode diagram

HPT1 holtidős, egy tárolós tag 𝐺 𝐻𝑃𝑇1 𝑠 = 𝐾 𝑝 𝑠𝑇+1 𝑒 −𝑠𝜏 Sorba kapcsolt tagok. Átmeneti függvény Bode diagram

PT3 három tárolós tag Átmeneti függvény Bode diagram 𝐺 𝑃𝑇3 𝑠 = 𝐾 𝑃 (𝑠 𝑇 1 +1)(𝑠 𝑇 2 +1)(𝑠 𝑇 3 +1) Sorba kapcsolt tagok. Átmeneti függvény Bode diagram

DT1 differenciáló egy tárolós tag 𝐺 𝐷𝑇1 𝑠 = 𝑠 𝑇 𝐷 𝑠𝑇+1 Sorba kapcsolt tagok. Átmeneti függvény Bode diagram

A PIDT kompenzáló struktúra Európai elrendezés Amerikai elrendezés 1 𝐾 𝐼 𝑠 𝑠𝐾 𝐷 𝑠𝑇+1 A diagramokból a struktúrának megfelelő paramétereket célszerű leolvasni, és ha kell, átkonvertálni egymásba

PI arányos, integráló tag 𝐺 𝑃𝐼 𝑠 = 𝑠 𝐾 𝐶 𝐾 𝐼 +1 𝑠 1 𝐾 𝐼 = 𝑠 𝐾 𝐶 𝑇 𝐼 +1 𝑠 𝑇 𝐼 𝐺 𝑃𝐼 𝑠 = 𝐾 𝐶 𝑠 𝑇 𝐼 +1 𝑠 𝑇 𝐼 Átmeneti függvény Bode diagram

PDT1 arányos, differenciáló, egy tárolós tag 𝐺 𝑃𝐷𝑇 𝑠 = 𝐾 𝐶 𝑠(𝑇+ 𝐾 𝐷 𝐾 𝐶 )+1 𝑠𝑇+1 𝐺 𝑃𝐷𝑇 𝑠 = 𝐾 𝐶 𝑠 (𝑇 𝐷 +𝑇)+1 𝑠𝑇+1 Átmeneti függvény Bode diagram

Kérdések Mi a kapcsolat az idő és a körfrekvencia, illetve operátoros tartomány között? Mi a szuperpozíció elve és melyek a tipikus vizsgáló jelek? Mi az X és Y alaptag differenciál egyenlete és Bode diagramja? Hol olvashatók le a paraméterek a Bode diagramon? Mi az X és Y alaptag átviteli és átmeneti függvénye? Hol olvashatók le a paraméterek az átmeneti függvényen? A soros, párhuzamos, visszacsatolt eredők. Az IT1, HPT1, PT3, DT1 összetett tagok jellemzése A PI PDT összetett tagok jellemzése