XXV. Nemzetközi Magyar Matematikaverseny Budapest Horváth Eszter Kempelen Farkas Gimnázium Budapest

A verseny története – a kezdtek 1991. Szeged – Rátz László Vándorgyűlés Bencze Mihály Brassó Oláh György Komárom Legyen matematikaverseny a Kárpát-medence magyar anyanyelvű diákjai számára. Komárom – 1992. április 9-12.

Komárom – 1992. április 9-12. Két ország területén. „Régóta éreztük, tudtuk, hogy a meglévő matematikai versenyek mellett szükség van egy ilyen szélesebb körű rendezvényre, ahol különböző országokban élő magyar fiatalok találkozhatnak, összemérhetik tudásukat és elősegíthetik együvé tartozásukat.” Oláh György

Komárom – 1992. április 9-12. Két ország területén. „A két helyszín közötti Duna-hídon naponta többször is átkelve éreztük talán először igazán, hogy ez a híd úgy kapcsolhat össze embereket és országokat, ahogy azt a jövő Európájában elképzeljük.” Reiman István zárószavai

Öt régió Délvidék Erdély Felvidék Kárpátalja Magyarország

A verseny történetéről olvashatunk Kántor Sándorné – Kántor Sándor Nemzetközi magyar matematikai versenyek 1992-2003

Korábbi versenyek Felváltva magyarországi és határon túli városokban Komárom Szabadka http://nmmv.berzsenyi.hu/versenyek

A 25. verseny Budapesten 2016. március 11-15. Berzsenyi Dániel Gimnázium Nemecskó István Fazekas Mihály Gimnázium Kiss Géza

Gondolatok a logóról .

A logó Pályázat Közel 50 terv Kovács Máté Berzsenyi Dániel Gimnázium 9.évf. spec.mat. .

A program Parlamenti látogatás Megnyitó a Magyar Tudományos Akadémián Operalátogatás Hajókirándulás Diákelőadás … Verseny

Parlamenti látogatás

Lovász László megnyitója

Eredményhirdetés

A zsűri Elnök: Freud Róbert Tagok: Besenyei Ádám Gróf Andrea Horváth Eszter Moussong Gábor

9. évfolyam – 4. feladat Egy egyenlő szárú háromszög alapon fekvő szögének felezője kétszer olyan hosszú, mint a szárak szögének felezője. Mekkorák a háromszög szögei? Katz Sándor Bonyhád

9. évfolyam – 4. feladat

9. évfolyam – 4.feladat

9. évfolyam – 4. feladat

9. évfolyam – 4. feladat

10. évfolyam – 5.feladat Bizonyítsa be, hogy 𝑛+1 darab különböző, 2𝑛-nél kisebb pozitív egész szám közül kiválasztható három különböző úgy, hogy ezek közül kettő összege megegyezzen a harmadikkal. Bencze Mihály Bukarest

10. évfolyam - 5. feladat Az 𝑛+1 szám: 𝑎 1 < 𝑎 2 <…< 𝑎 𝑛+1 Nézzük a következő 2𝑛 darab, 2𝑛-nél kisebb pozitív számot: 𝑎 2 , 𝑎 3 , …, 𝑎 𝑛+1 , 𝑎 2 − 𝑎 1 , 𝑎 3 − 𝑎 1 , …, 𝑎 𝑛+1 − 𝑎 1 Skatulyaelv, van két egyenlő: 𝑎 𝑘 = 𝑎 𝑚 − 𝑎 1 ⇒ 𝑎 𝑘 + 𝑎 1 = 𝑎 𝑚

10. évfolyam - 5. feladat Az egyik versenyző megmutatta, az állítás éles: Legyen 𝑛 szám: 𝑛, 𝑛+1, 𝑛+2,…,2𝑛−1. Ekkor bármely kettő összege legalább: 𝑛+𝑛+1=2𝑛+1

11. évfolyam – 2. feladat Egy interneten lebonyolított bajnokságon minden résztvevő minden másik résztvevővel pontosan kétszer játszott. Egy mérkőzésen a győztes 2, a vesztes 0 pontot kapott, döntetlen esetén mindkét játékosnak 1-1 pont jár.

11. Évfolyam – 2. feladat Az eredménylista összeállítói meglepve tapasztalták, hogy az utolsó helyezett kivételével minden versenyző pontszáma úgy adódik, hogy közvetlenül mögötte végző pontszámához mindig ugyanazt a páros számot hozzáadjuk. A győztes 2016 pontot szerzett. Hányan vettek részt a versenyen? Tóth Sándor Kisvárda

11. Évfolyam – 2. feladat Legyen 𝑛 résztvevő. 𝑛(𝑛−1) mérkőzésen 2𝑛 𝑛−1 pont. Utolsó versenyző 𝑏 pont, és 𝑑 a pontszámok közötti különbség. A számtani sorozat összege: 2𝑏+ 𝑛−1 𝑑 𝑛 2 =2𝑛(𝑛−1)

11. Évfolyam – 2. feladat 2𝑏+ 𝑛−1 𝑑 𝑛 2 =2𝑛 𝑛−1 2𝑏+ 𝑛−1 𝑑 2 =2 𝑛−1 2𝑏+ 𝑛−1 𝑑=4 𝑛−1 2𝑏= 𝑛−1 4−𝑑

11. Évfolyam – 2. feladat 2𝑏= 𝑛−1 4−𝑑 4−𝑑≥0, tehát 𝑑=0 ; 𝑑=2 vagy 𝑑=4. A győztes 2016 pontot kapott: 𝑏+ 𝑛−1 𝑑=2016 4032=2𝑏+2 𝑛−1 𝑑= 𝑛−1 4+𝑑 Ha 𝑑=2, akkor 𝑛=673, ha 𝑑=4, akkor 𝑛=505.

11. Évfolyam – 2. feladat Ha 𝑑=2, akkor 𝑛=673, 𝑏=672. DE LEHET EZ? Mindenki egyszer megveri a nála kisebb sorszámút, a második mérkőzés döntetlen, a pontszámok: 672,674, 676, …, 2014, 2016.

11. Évfolyam – 2. feladat Ha 𝑑=4, akkor 𝑛=505, 𝑏=0. DE LEHET EZ? Mindenki mindkétszer legyőzi a nála kisebb sorszámút, a pontszámok: 0, 4, 8, …, 2012, 2016.

12. évfolyam – 4. feladat Igazolja, hogy ha a 𝑃 polinom minden együtthatója nem negatív valós szám, akkor 𝑥>0 esetén 𝑃 𝑥 𝑃 1 𝑥 ≥ 𝑃 1 2 . Kekenák Szilvia Kassa

12. évfolyam – 4. feladat 𝑃 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 +…+ 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 +…+ 𝑎 1 𝑥+ 𝑎 0 𝑃 1 𝑥 = 𝑎 𝑛 1 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 1 𝑥 𝑛−1 +…+ 𝑎 𝑙 1 𝑥 𝑙 + 𝑎 1 1 𝑥 + 𝑎 0 𝑃 𝑥 𝑃 1 𝑥 = 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 2 + 0≤𝑙<𝑘≤𝑛 𝑎 𝑘 𝑎 𝑙 𝑥 𝑘−𝑙 + 1 𝑥 𝑘−𝑙

Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség: 12. évfolyam – 4. feladat 𝑃 𝑥 𝑃 1 𝑥 = 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 2 + 0≤𝑙<𝑘≤𝑛 𝑎 𝑘 𝑎 𝑙 𝑥 𝑘−𝑙 + 1 𝑥 𝑘−𝑙 Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség: 𝑥 𝑘−𝑙 + 1 𝑥 𝑘−𝑙 ≥2

Az együtthatók nemnegatívak, így: 12. évfolyam – 4. feladat 𝑃 𝑥 𝑃 1 𝑥 = 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 2 + 0≤𝑙<𝑘≤𝑛 𝑎 𝑘 𝑎 𝑙 𝑥 𝑘−𝑙 + 1 𝑥 𝑘−𝑙 Az együtthatók nemnegatívak, így: 𝑃 𝑥 𝑃 1 𝑥 ≥ 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 2 + 2∙ 0≤𝑙<𝑘≤𝑛 𝑎 𝑘 𝑎 𝑙 = 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 2 = 𝑃 1 2

12. évfolyam – 4. feladat 𝑃 𝑥 𝑃 1 𝑥 ≥ 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 2 + 2∙ 0≤𝑙<𝑘≤𝑛 𝑎 𝑘 𝑎 𝑙 = 𝑘=0 𝑛 𝑎 𝑘 2 = 𝑃 1 2 Volt olyan versenyző, aki arra is gondolt, hogy tisztázza, mikor áll fenn egyenlőség: 𝑥=1 vagy 𝑃 𝑥 = 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛

12. évfolyam – 4. feladat Van más megoldás: 𝑏 𝑖 = 𝑎 𝑖 ∙ 𝑥 𝑖 𝑐 𝑖 = 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 Cauchy-Schwarz-Bunyakovszky egyenlőtlenség: 𝑏 0 ∙ 𝑐 0 + 𝑏 1 ∙ 𝑐 1 +… 𝑏 𝑛 ∙ 𝑐 𝑛 ≤ ≤ 𝑏 0 2 + 𝑏 1 2 +…+ 𝑏 𝑛 2 ∙ 𝑐 0 2 + 𝑐 1 2 +…+ 𝑐 𝑛 2

12. évfolyam – 4. feladat 𝑏 𝑖 = 𝑎 𝑖 ∙ 𝑥 𝑖 𝑐 𝑖 = 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 𝑏 0 ∙ 𝑐 0 + 𝑏 1 ∙ 𝑐 1 +… 𝑏 𝑛 ∙ 𝑐 𝑛 = 𝑎 0 2 + 𝑎 1 2 +… 𝑎 𝑛 2 = = 𝑎 0 + 𝑎 1 +…+ 𝑎 𝑛 =𝑃(1)

12. évfolyam – 4. feladat 𝑏 𝑖 = 𝑎 𝑖 ∙ 𝑥 𝑖 𝑐 𝑖 = 𝑎 𝑖 𝑥 𝑖 𝑏 0 2 + 𝑏 1 2 +…+ 𝑏 𝑛 2 = 𝑎 0 ∙ 𝑥 0 + 𝑎 1 ∙ 𝑥 1 +…+ 𝑎 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛 = 𝑃(𝑥) 𝑐 0 2 + 𝑐 1 2 +…+ 𝑐 𝑛 2 = 𝑃 1 𝑥

12. évfolyam – 4. feladat Tehát: 𝑃(1)≤ 𝑃(𝑥) ∙ 𝑃 1 𝑥 Négyzetre emeléssel megkapjuk az állítást.

Dsida Jenő: Psalmus Hungaricus (részlet) Elindulok, mint egykor Csoma Sándor, hogy felkutassak minden egy magyart. Székelyek, ott a bércek szikla-mellén, üljetek mellém! Magyarok ott a Tisza partján, magyarok ott a Duna partján, magyarok ott a tót hegyek közt s a bácskai szőlőhegyek közt,

Köszönöm a figyelmet!