Maróti Péter egyetemi tanár, SZTE Kvantumfizika Maróti Péter egyetemi tanár, SZTE Javasolt olvasmányok: Maróti P. és Laczkó G.: Bevezetés a biofizikába, JATEPress, Szeged, 1998. Damjanovich S., Fidy J. és Szőlősi J.: Orvosi biofizika, Semmelweis Kiadó, Budapest 2006.

Mi újat ad a kvantumfizika a klasszikus fizikához képest? 1. Kvantáltság - Oszcillátorok energiája (feketetest-sugárzás és UV katasztrófa; a hő elnyeléséért ill. kisugárzásáért felelős oszcilátorok kvantált természetűek; szilárd testek moláris fajhőjének hőmérséklet-függése) - Atomok energiája (atomok abszorpciós és emissziós spektrumai, Franck-Hertz kísérlet) - Spin (Einstein-de Haas kísérlet) 2. Hullám-részecske dualizmus - Részecske hullámtermészete (Davisson-Germer kísérlet, alagúteffektus) - Hullám részecsketermészete (fotoelektromos (Hallwachs) effektus) 3. Nem „megszokott” eloszlások - Térbeli eloszlás: valószínűségi leírás (hullámfüggvény) - Eltérések az energia egyenletes eloszlásától (egyes szabadsági fokok befagyhatnak: szilárd testek moláris fajhőjének hőmérséklet-függése) 4. Heisenberg-féle határozatlansági reláció Egyes fizikai mennyiségpárok nem mérhetők egyszerre tetszőleges pontossággal

1. Kvantáltság: atomi oszcilátorok energiája 1. Feketetest-sugárzás és UV katasztrófa Max Planck alapötlete a fény kvantált természetére: csak meghatározott energia-adagokban adhatnak le energiát a (hő,- fény)sugárzást keltő oszcilátorok. Az ideális fekete testet megközelítő elrendezésben az üreg fala (korom)fekete, és csak egy apró nyíláson keresztül jöhet ki a sugárzás, amely termikus egyensúlyban van a fallal. A feketetest által kisugározott fény spektruma függ a hőmérséklettől.

„UV katasztrófá”-hoz vezetett. A klasszikus fizika a 19. században megpróbálta értelmezni a kísérleti adatokat 4 törvény felállításával: 1. Kirchhoff-törvény: e/a = E(λ,T), bármely anyagra (tehát nem csupán a feketetestre). Itt e: az emisszióképesség és a: az elnyelőképesség. Feketetestre: a = 1. 2. Wien-féle eltolódási törvény: T·λmax= 2896 μm·K (állandó) Itt T az abszolút hőmérséklet és λmax a sugárzási görbe maximumhelye. 3. Stefan-Boltzmann törvény: Etotal = σ·T4 Etotal a felületegységenként kisugárzott teljes energia és σ = 56.7 nW·m-2·K-4. 4. Rayleigh-Jeans törvény: Az első 3 törvénnyel minden rendben van/volt, de a Rayleigh-Jeans törvény csődöt mondott, mert „UV katasztrófá”-hoz vezetett.

Ultraibolya katasztrófa Az UV tartományban a Rayleigh-Jeans görbe a végtelenbe tart! Ultraibolya katasztrófa Rayleigh-Jeans görbe A klasszikus fizika feltevése szerint minden energia-szint megengedett, ezért a nagy energiát képviselő frakciók aránya megnő emelkedő hőmérséklettel. Feketetest sugárzása A feketetest sugárzása a falban levő elektromágneses oszcilátorok energia-veszteségéből származik. Emelkedő hőmérséklettel ez az energia is emelkedik. A kisugárzott fény energiáját az oszcillátorok határozzák meg. Ezért minden attól függ, hogy mit tételezünk fel a lineáris oszcilátorokról. Ha azt, hogy folytonosan vehetnek fel (ill. adhatnak le) energiát, akkor a Rayleigh-Jeans katasztrófához jutunk.

Ezzel szemben Planck azt tételezte fel, hogy az elektromágneses oszcillátorok energiái nem változhatnak folytonosan, hanem csak jól meghatározott értékeket (ú.n.) kantumokat (adagokat) vehetnek fel/adhatnak le. Planck híres egyenlete meg is adja a kvantumok nagyságát: E = nhn, ahol n = 0, 1, 2, …, n (= c/l) a frekvencia, és h az ú.n. Planck-állandó, értéke 6.626·10-34 Js. Planck-függvény Az energia-szintek kvantáltak. Bármely hőmérsékleten a magasabb energia-szintekre történő átmenetek kisebb valószínűséggel következnek be, ezért a részarányuk csökken a nagyobb energiák (pl. az UV) tartományában. Ha az energia (E = hn = hc/l) közelít kT-hez (a Boltzmann-energiához), akkor a zárójelbe tett kifejezés 1-hez közelít, és a Planck egyenlet a Rayleigh-Jeans egyenlettel lesz azonos (a kis energiák tartományában). Következtetés: az elektromágneses teret létrehozó oszcilátorok energiája K V A N T Á L T

2. Szilárd testek moláris fajhőjének hőmérséklet-függése A hőkapacitás (fajhő) azt mutatja meg, hogy a testtel közölt q hőmennyiség mekkora DT hőmérséklet-változást okoz: q = C·DT. A klasszikus fizika tanítása szerint C az atomok egyensúlyi helyzetük körüli rezgésével hozható összefüggésbe. A rezgés amplitúdója, így energiája a hőközléssel növekszik. Ha az atomot akármilyen energiára lehet gerjeszteni (mert folytonos és nem diszkrét az energiája), akkor a fajhő értékére C = 3R = 25 J·K-1 adódik, ami az anyagi minőségtől és a hőmérséklettől is független. Ez a Dulong-Petit szabály. A tapasztalat ezzel szemben azt mutatta, hogy 1) néhány anyagra (pl. gyémántra) ez az érték más, 2) csökkenő hőmérséklettel erősen csökken. A hőmérséklet csökkentésével a fajhő nem marad állandó, hanem 0-hoz konvergál.

A fajhő hőmérséklet-függése A Dulong-Petit szabály A klasszikus fizika ekvipártició (az energia egyenletes eloszlásának) elméletéből adódik. Ettől lényegi eltérést kapunk alacsony hőmérsékleten. Einstein és Debye kifejezései: Az atomok azonos frekvenciával (Einstein) vagy frekvencia-eloszlással (Debye) rezegnek.

A moláris fajhő hőmérséklet-függése Einstein megmutatta, hogy ha Planck-nak az energia-szintek kvantáltságáról szóló hipotézisét alkalmazza az atomi rezgésekre: akkor lényegileg vissza tudta adni a fajhő hőmérséklet-függését. Ezt tovább finomította Debye, aki nem csupán egyetlen frekvenciájú rezgést engedett meg az atomi oszcilátoroknak, hanem a frekvenciáknak ν körüli egész tartományát is. Ezzel persze a leírás még pontosabb lett. Következtetés: nem csupán az elektromágneses tér, hanem az anyag atomi oszcilátorainak energiája is K V A N T Á L T

Planck-nak az UV katasztrófára adott megoldásának, valamint Einstein-nek a szilárdtestek fajhőjének hőmérséklet-függésére adott megoldásának következményei A test melegítése atomi szintű oszcilációkat eredményez, amely széles spektrum-tartományban elektromágneses hullámokat (fényt) kelt. Ez a klasszikus fizika egyik dogmája. Planck feltételezte, hogy a rezgések (így a fény) energiája diszkrét értékekre korlátozódik: - 0, hn, 2hn, 3hn, stb. Bármely frekvenciánál a fény intenzitását (mérhető energiáját) a hν kvantumok száma határozza meg: n·hν, ahol n a kvantumok számát jelöli. Ez ellentétben áll a klasszikus fizika tanításával, amely szerint az energia értékek folytonosan változhatnak, és az intenzitás (a frekvenciától függetlenül) csak a (fény)hullám amplitúdójától függ. Hasonló következtetés vonható le Einstein-nek a fajhőre elvégzett munkáiból, csak itt az effektus olyan rezgéseknél (oszcilátoroknál) mutatkozott, amelyeket hőközlés hozott létre szilárd testekben. Emiatt az anyagokban elnyelt energia szintén kvantált.

1. Kvantáltság: energia-változások atomokban Az atomok nagyfeszültségű kisülési csövekben gerjeszthetők, és így fényemisszióra kényszeríthetők. Azt tapasztalták, hogy a fény spektruma nem folytonos, hanem néhány vonalra (frekvenciára) koncentrálódik. Az atomi hidrogén emissziós spektrumának tanulmányozása történelmi jelentőségű a kvantumfizika fejlődése szempontjából, és kritikus szerepet játszott az atom szerkezetének felderítésében. A hidrogén atom emissziós spektrumában szereplő vonalak hasonlatosak a csillagok fényében megfigyelhető abszorpciós (Fraunhoffer-) vonalakhoz. A hidrogénatom emissziójának vonalai

Balmer a hidrogén atom emissziós spektrumát tanulmányozta a látható és a közeli UV tartományokban, és (empirikus úton) észrevette, hogy a spektrálvonalak érdekes, de egyben egyszerű eloszlást (mintázatot) mutattak a hullámszám (1/λ) skálán, amelyet később róla Balmer-formulának neveztek: Itt n = 3, 4, 5,… Később több más vonal-csoportot is felfedeztek az UV és infravörös (IR) tartományban, amelyek az alábbi általános (empirikus) formulát követték: Itt az ú.n. Rydberg állandó (=3,29·1015 s-1), és nL és nH tetszőleges természetes számokat jelölnek. A vonal-családokat a kisebb természetes számhoz kötik (pl. a Balmer sorozatban nL = 2). A nagyobb szám a futószám, amely a családon belüli spektrálvonalakat adja meg.

A hidrogén atom energia (term) sémája Balmer sorozat:

Franck-Hertz kísérlet Ez az egyik legelegánsabb kísérlet az atomok energiakvantáltságának bizonyítására. Az emittált fény hullámhossza Mivel a lépcsőknél az elektron rugalmatlanul ütközik a Hg atomokkal (teljesen lefékeződik), ezért az áram-feszültség karakterisztikájában megfigyelhető ugrások a Hg atom energia-szintjeit (term-rendszerét) tükrözik vissza. Az első lépcsőnél U = 4.9 V, azaz λ = 253.7 nm

1. Kvantáltság: részecskék mágneses momentumai A spin (saját momentum) Az Einstein- de Haas kísérlet Egy torzós szálon (R) függő vasrúd (S) a hosszanti tengelye körül elfordulhat. A külső tekercseken (E) átfolyó árammal mágneses teret keltünk, amelyben a vasrúd N mechanikai (forgási impulzus-) nyomatékra tesz szert. A torziós mozgásból a rúd mágnesezettségre (M) lehet következtetni. Tegyük fel, hogy n db elektron, amelyek mindegyikének j a momentuma, járul hozzá a megfigyelt mágnesezettséghez. m: az elektron tömege, q =-e: az elektron elemi töltése, c: fénysebesség, μB: Bohr magneton Mivel ezért A makroszkópikus N és Mbar mennyiségek mérésével meghatározhatjuk az elemi mágneses momentumok giromágneses arányát, a Lande faktort: g = 2. A mért két Bohr magneton nagyságú mágneses momentum kizárja annak lehetőségét, hogy a vasrúd ferromágneses tulajdonságának oka az elektronoknak a pályamozgásból származó mágneses momentuma lenne, és csak annak feltételezésével magyarázható, hogy az elektronnak külön mágneses momentuma, ú.n. spin-je van.

A Na D-vonalának felhasadása mágneses térben: a Zeeman effektus. Ezüst (Ag) atomsugár eltérülése inhomogén mágneses térben: a Stern-Gerlach kísérlet A Na D-vonalának felhasadása mágneses térben: a Zeeman effektus. A klasszikus fizika jóslata: a szögirány szerinti folytonos eltérülés Nincs mágneses tér, nincs felhasadás N S A kvantumfizika jóslata: két élesen elkülönülő nyaláb Az atomokból álló sugár inhomogén mágneses téren átjutva két nyalábra hasad fel. A megfigyelés következményei: Kísérleti bizonyíték az irány szerinti kvantálásra és Az atomok mágneses momentumát közvetlenül lehet mérni. Néhány elektronenergia szint felhasadhat két vagy több közeli energiaszintre mágneses térben. Ez a Zeeman effektus.

Az elektron spin kvantumszám, és a Pauli-féle kizárási elv. Az orsóforgás csak szemléltetés, a spinnek semmiféle kapcsolata sincs a saját tengely körüli forgással! Az atomi vonalak mágneses térben való felhasadásának megértéséhez az elektron mágneses tulajdonságait kell kvantummechanikai vizsgálat alá venni. spin fel, vagy a spin le, vagy b Mivel az elektronnak (negatív) töltése van, ezért ha mozog, mágneses teret kelt. Pauli felismerte, hogy a probléma megfordítható: miért nem mutat valamennyi atom mágneses tulajdonságot, hiszen bennük mozgó elektronok vannak? Azt a választ adta, hogy az elektronok általában párokban fordulnak elő, ezért a mágneses hatásaik egymást kioltják. Ez akkor is igaz, ha az elektronok a pályamozgásaikon felül saját (lényükből fakadó) mágneses momentummal is rendelkeznek (mintha a tengelyük körül is (orsóként) forognának). Minden elektron egy mágnes. Ugyanazon a pályán mozgó elektronpárok mágneses hatásai kioltódnak, ha a páron belül ellentett spinűek. Formálisan, a Pauli-féle kizárási elv azt mondja, minden pályát két és csakis két elektron foglalhat el. Ez azzal jár, hogy az elektron-pályák száma megduplázódik, ha a negyedik kvantumszámot, a spinkvantumszámot is hozzávesszük a fő-, a mellék- és a mágneses (pálya)kvantumszámok mellé: ms, amely két értéket vehet fel: +½ és -½.

A pályahéjak betöltésének, felépítésének (Aufbau) elve A spinkvantumszámmal az elemek tulajdonságai a periodusos táblázatban további értelmet nyernek. Az elemek reaktivitását több tényező határozza meg. Az atomszámon és az elektronnak valamint a protonnak (abszolút értékben) megegyező töltésén kívül a Pauli elv is fontos rendező erő: az elektronpályákon elektron-párok osztoznak, amelyek megmagyarázzák az elemek vegyérték-tulajdonságait és a periodikus mintázatukat. A pályahéjak betöltésének, felépítésének (Aufbau) elve

Spin-pálya csatolás Az elektronnak kétféle forrásból származik a mágneses momentuma: a mechanikai pályamozgásból eredő mágneses pályamomentum (L) és a spinből eredő (saját) mágneses momentum (S). Ezen két mágneses momentum a kölcsönhatását hívjuk spin-pálya csatolásnak. A mágneses momentumok parallel elrendezéséből nagyobb energia (a), míg az antiparallel elrendezéséből kisebb energia (b) származik. Emiatt az antiparallel felállás (energetikailag) kedvezményezettebb. Az elektron mágneses tere az elektron teljes forgási nyomatékától (J) függ. Az elektronok és az atommagok egymással is és a környezet más mágneseivel is kölcsönhatásban állnak. A szomszédos spinekkel való csatolást impulzus üzemű ESR és NMR készülékekkel lehet mérni: azt nézzük, hogyan csengenek le a spin-állapotok a kezdeti gerjesztés után. Eredményként szerkezeti információkat kaphatunk a csatolásban levő atomok minőségéről és távolságáról.

Néhány, biológiai jelentőségű atommag-mágnes Természetes előfordulás NMR frekvencia (4,7 T mágneses indukció mellett) magspin kvantumszám giromágneses arány A giromágneses arány (γ) azt az energiát határozza meg, amelynél az elektromágneses sugárzás átbillenti az atommag spinjét. Az átfordulás akkor következik be, amikor a sugárzási kvantum energiája éppen egyenlő (rezonanciában van) az átmenet energiájával. A szükséges energia (frekvenciával kifejezve) az alkalmazott külső mágneses indukciótól (tértől) függ (ez esetünkben 4,7 Tesla).

Mi a különbség az elektron és az atommag, mint mágnesek között? Az elektron, a proton és a neutron spinkvantumszámja ugyanakkora: ½. Ez egy belső (saját) momentum. Minden elektron, proton és neutron rendelkezik ezzel a tulajdonsággal. Mivel a spint (szemléletesen, de csak szemléletesen) a tengely körüli forgásból származtatjuk, ezért a spinkvantumszámot a forgási frekvencia és a részecske tömege határozza. Az atommag részecskéinek tömege 1836-szor nagyobb, mint az elektroné, ezért (az azonos (½) spinkvantumszám miatt) az atommag ennyiszer lassabban forog a tengelye körül. Mivel a részecske által keltett mágneses tér a forgási sebességtől függ, ezért az elektronnak ~2,000-szer nagyobb a mágneses tere, mint a protonnak, amely nagyobb mágneses terű, mint a legtöbb atommag. Ebből következően az ESR-ben a mágneses rezonancia sokkal nagyobb energiáknál következik be, mint az NMR-ben.

2. Hullám-részecske dualizmus. 1. A részecske hullám-természete Röntgen sugarak Elektron nyalábok elhajlása Davisson-Germer kísérlet A felgyorsított elektron-nyalábot vékony fém-fóliára irányították, és az áthaladt elektronokat fotografikus lemezen fogták fel. Elhajlási interferencia-képet akkor kaptak, ha az elektronokat olyan sebességre gyorsították fel, amelyhez tartozó hullámhossz 0,5 Å volt. Ekkor a hasonló hullámhosszúságú (0,71 Å) Röntgen sugarakhoz nagyon hasonló interferencia-mintázat adódott.

Alkalmazás: kvantummechanikai alagutazás A gáton át lehet jutni 1) termikus aktivációval (Arrhenius) és 2) alagút effektussal (Gamow) gát ΔE Részecskék a potenciálgáthoz közelítenek Δx k=k0·exp(-ΔE/kBT) és kis számban átjuthatnak. ΔE T 1.0 Áthatolóképeség (transmittancia) (Gamow kifejezése) A két folyamat hőmérséklet-függése eltérő: 1) Arrhenius: erősen függ a hőmérséklettől 2) Gamow: nincs hőmérséklet-függés

Becslés az alagutazás valószínűségére Határozzuk meg annak valószínűségeit, hogy egy 0.9 eV energiájú proton ill. deutérium alagút effektussal átjut egy 1.0 eV magas és 100 pm széles potenciálgáton! A proton tömege m = 1.673·10-27 kg, a Planck állandó h = 6.626·10-34 J·s, a gát magassága és a részecske energiája közti különbség ΔE = 0.1 eV (ezt kell legyőzni alagút effektussal), és a gát szélessége Δx = 100 pm. Használjuk fel a Gamow-összefüggést: Következtetés: 1) az alagút effektussal való átjutás valószínűsége protonra Tp = 9.56·10-7, ami kb. 300-szor nagyobb, mint deutériumra: Td = 3.07·10-9. 2) Ez az arány sokkal nagyobbá válik, ha a gát kétszer szélesebb lesz (egyébként változatlan feltételek mellett): Tp/Td = 9·104. Ezek az eredmények kiváló lehetőséget adnak a protolitikus reakciók tanulmányozására elsősorban a nagyon jelentős izotóp-effektus miatt. Más elemek izotópjainál (értelemszerűen) nem ennyire kedvező az izotópok tömegaránya, és ezzel az alagutazásnál a reakciók elkülönítése sem.

Kvantum Alagút effektus: Pásztázó Alagútmikroszkóp (STM) Kellően kis távolság esetén az elektron alagút effektussal átugrik a minta felületéről a letapogató hegyre. Ha a tapogató elektródot a felülettel párhuzamosan mozgatjuk, akkor a mért áramból és a tű pozíciójából fel tudjuk térképezni a minta felületi egyenetlen-ségeit.

Az alagút effektus alkalmazása az élettudományokban: Pásztázó Alagútmikroszkóp (STM) 1. Ultraérzékeny elektromechanikai berendezés szükséges (piezoelektromos letapogató, precíz elektromechanikai komponensek a minta pozicionálására, stb.) 2. Kvantummechanikai alagút-effektus: ha két vezetőt fokozatosan közelítünk egymáshoz, akkor az áram exponenciálisan növekszik a kontaktálás előtt: 0,1 nm közelítés az áramot 10-szeresére növeli. 1. Ultraérzékeny elektromechanikai berendezés szükséges (piezoelektromos letapogató, precíz elektromechanikai komponensek a minta pozicionálására, stb.) 2. Kvantummechanikai alagút-effektus: ha két vezetőt fokozatosan közelítünk egymáshoz, akkor az áram exponenciálisan növekszik a kontaktálás előtt: 0,1 nm közelítés az áramot 10-szeresére növeli. Keresztmetszeti kép a tűhegyről és a mintáról (a szintvonalak a megegyező töltés-sűrűségű helyeket mutatják). Az alagútáramnak a távolságtól való exponenciális függése miatt még a kisebb élességű tűhegyek is könnyen adnak atomi feloldást. Ennek az az oka, hogy az alagútáram oroszlánrészét a legfelső atomréteg adja!

Elektron-átadás alagút effektussal fotoszintetizáló baktériumok reakciócentrumában A hőmérséklet csökkenésével minden elektrontranszfer sebessége csökken, és végül befagy. Ez alól kivétel a leggyorsabb reakció, amely a fény hatására bekövetkező töltés-szétválasztás. Ennek 3 ps félideje alacsony hőmérsékleten nem hogy emelkedne, hanem egyenesen csökken (4 K hőmérsékleten a szobahőmérsékleten mért érték 2-3-szorosára csökken, azaz a sebesség enyhén emelkedik). Ez tipikusan annak jele, hogy az elektron a dimérről (P) alagút-effektussal jut a monomeren (BA) keresztül a feofitinre (HA). LIGHT Alagutazás (pl. P→BA→HA) Elektron transzfer sebessége k Termikus reakciók (pl. QA→QB) 1/T Magas hőmérséklet Alacsony hőmérséklet A reakciócentrum-fehérje kofaktorainak elhelyezkedése, elektron útvonalak (nyilak) és a megfelelő időállandók (Rb. sphaeroides). Jelölések P: bakterioklorofill (BChl) dimer, B: monomerikus BChl, H: bakteriofeofitin, Q: kinon, Fe: nem-hem típusú vasatom, A: fotoaktiv ág, B: fotoinaktiv ág. A klorinok közepén a körök a Mg atomok helyét jelölik a BChl-ban.

2. A hullám részecske-természete: a fotoelektromos (Hallwachs) effektus Az egyes fotokatód-anyagokhoz tartozó hosszú hullámú határhullámhosszat zárójelben tüntettük fel.

A fotoelektromos hatás Ha fény éri az (általában több fém elegyét tartalmazó alkalikus) felületet, akkor belőle elektron léphet ki. A felületről távozó elektron az előfeszített térben az ellentett töltésű anód felé mozog, és a külső áramkörben jól detektálható elektromos áramot kelt. Az elektromos jel mérésével a fotoeffektus legfontosabb jellemzői megállapíthatók: 1. A megvilágító fény intenzitásától függetlenül a felületből mindaddig nem lép ki elektron, míg a fénynek nincs „kellően nagy energiája”, azaz frekvenciája. A Planck egyenletből következően ez azt jelenti, hogy a frekvenciának (a hullámhossznak) egy küszöbértéknél nagyobbnak (kisebbnek) kell lennie. Ezt az energetikai összefüggést Einstein fotoelektromos egyenlete írja le (lásd később). A tényleges érték (a munka-függvény) a fotokatód anyagától függ. 2. A kilépő elektron kinetikai energiája a megvilágító fény frekvenciájával egyenes arányban változik, és nem függ a fény intenzitásától. 3. Még a legkisebb intenzitásnál is az elektron azonnal (időkésés nélkül) kilép a felületről, ha a frekvencia a küszöbértéknél nagyobb. Az elektron nem gyűjtheti össze két foton energiáját.

A klasszikus fizika szerint a sugárzás energiája egyenesen arányos az amplitúdó négyzetével, vagyis az energia az intenzitástól függ. Ez azonban ellentmond a fotoelektromos jelenségnél megfigyeltekkel. Einstein, a Planck hipotézist elfogadva javasolt megoldást erre a dilemmára. Az elektron akkor szabadul ki a fotokatód anyagából, ha elegendően nagy energiát tud a sugárzásból felvenni. A foton energiáját a Planck egyenlet adja meg, és emiatt a frekvenciával arányos, és kvantált. A termodinamika 1. főtételéből adódóan az energia megmarad. Emiatt a foton energiája egyrészt arra a munkavégzésre fordítódik, ami a fémből való kilépéshez kell (a munka-függvény, Φ), másrészt (ha még marad) az elektron kinetikus energiáját fedezi: Φ + ½mev2 = hn Ez Einstein fotoelektromos egyenlete.

Az anyag kettős természete: a hullám és részecske tulajdonságok egyszerre jellemzik a szubatomi részecskéket Einstein-től származó összefüggés az energia és tömeg között és a de Broglie egyenlet Einstein híres egyenletében feltételezte, hogy az energia és a tömeg egyenértékűek, és közöttük a fénysebesség (négyzete) létesít kapcsolatot: E = mc2. De Broglie felismerte, hogy ha minden anyag kvantált, akkor ez általános összefüggést jelent egy részecske impulzusa és (frekvenciában kifejezett) energiája között. A Planck-egyenletet E = hn = hc/l az elektromágneses hullám impulzusával p = mc összekapcsolva kapjuk p = E/c, ill. p = h/λ egyenleteket vagy átrendezve: A de Broglie egyenlet szerint bármely m tömegű és v sebességgel mozgó részecske hullámként is viselkedik. Mivel az összefüggés a Planck-állandót is tartalmazza, ez a hullámtulajdonság csak kis tömeg esetén lesz feltűnő. Következtetés: az atomi méretek világában a részecske- és a hullám- tulajdonságok összemosódnak: a részecske hullámként és a hullám részecskeként is viselkedhet. Hogy éppen melyik arcát mutatja, az az uralkodó kölcsönhatástól függ.

A de Broglie egyenlet közvetlen alkalmazása: a mikroszkópok feloldási határának kiterjesztése Az optikai mikroszkóp feloldási határa az a legkisebb távolság két tárgypont között, amelyet a képfelbontó rendszer (detektor) még elkülöníteni képes: 0.61·λ/(n·sinα), ahol NA = n·sinα a numerikus apertura (Abbe). A feloldási határ a leképező hullám hullámhosszának nagyságrendjébe esik. A leképező részecskéhez (hullámhoz) rendelhető hullámhossz a de Broglie egyenletből származtatható: A mikroszkóp feloldási határa fordítottan arányos a leképezést végző részecske tömegével és sebességével (impulzusával). Minél nagyobb a részecske sebessége, annál kisebb lesz a feloldási határ. Pl. ha az elektron sebessége v = c/50 az elektronmikroszkópban (c a fény terjedési sebessége), akkor a feloldási határ λ = 0.12 nm (a Röntgen sugárzás hullámhossz-tartománya). Minél nagyobb a részecske tömege, annál kisebb lesz a feloldási határ. Pl. a hipotetikus neutronmikroszkópban a feloldási határ 2000-szer kisebb lenne, mint az elektronmikroszkópban ugyanakkora részecske-sebességnél, mert mneutron ≈ 2000·melektron Az atomi de Broglie mikroszkópban, ahol He atomokat használnak leképezésre, a feloldási határ a nanométerek nagyságrendjébe esik.

3. Nem „megszokott”, valószínűségi térbeli eloszlások és kvantált energiaszintek Példák: potenciálvölgyekbe zárt részecskék Elektron hiperbola-alakú potenciálgödörben (a hidrogén- és hidrogén típusú atomok spektroszkópiája) Elektronok téglalap alakú potenciálgödörben (festékek spektroszkópiája a látható spektráltartományban) Atomok és molekulák parabolikus potenciálvölgyben (atomi és molekuláris rezgések és forgások spektroszkópiája az infravörös spektráltartományban)

3.1 Elektron hiperbolikus potenciálgödörben (a H-atom kvantálása) Szemiklasszikus tárgyalás: az elektronhoz hullámot rendelünk, és csak olyan állapotok (elektronpályák) fordulhatnak elő (tartósan), amelyekben a hullám(függvény) időben állandósul, azaz állóhullám alakulhat ki (de Broglie „állóhullám” koncepciója). Az atommag körüli elektrosztatikus Coulomb-potenciál, amelyben az elektron mozog ahol ε0 a vákuum dielektromos állandója, e az atommag (proton) elemi elektromos töltése, r az elektronnak az atommagtól vett távolsága. Az elektron potenciális energiája: A függvény (a potenciálgát) alakja (egyenlő szárú) hiperbola. A kötött elektron a hiperbolikus falak közé zárt.

Az elektron szabadon mozog a falak között, és (rugalmasan) visszaverődik, ha a falba ütközik. A hiperbola alakú fal a peremfeltétel, amely kvantálja az elektron energiáját. Ilyen kényszer nélkül (azaz az elektron nem kötött, hanem szabadon mozog) az elektron energiája nem kvantált, tetszőleges értéket felvehet, vagyis energiakészlete folytonos. Minden (hullám)függvény - állóhullám, - a kiválasztott szegmensbe „illik”, és - kiterjedése a félhullámhossz egész számú többszöröse lehet. A megengedett hullámhosszak: Az elektron átlagos sebességét a de Broglie összefüggésből nyerhetjük Itt me az elektron tömege és h a Planck állandó. Az elektronnak csak mozgásból származó (kinetikai) energiája van a falak között:

Az elektron teljes energiája A megengedett energiák A Schrödinger egyenletből származó (szigorú, egzakt) megoldás (lásd később) Az egzakt megoldás a félklasszikus megoldástól csak egy π2/4 ≈ 2 tényezőben különbözik, különben helyesen adja vissza az energiaszinteknek a főkvantumszámtól (n) való függését. Következtetések: 1) Az elektron energiája a H atomban kvantált. 2) A kvantáltság a peremfeltételből adódik, amelyet ψ-nek ki kell elégíteni. 3) Az egymást követő szintek energiái úgy aránylanak egymáshoz, mint a természetes számok reciprok-négyzetei (felfelé haladva besűrűsödnek): E1 : E2 : E3: ... = 1 : 2-2 : 3-2: ...

Alul: a megfelelő elektronpályák alakjai (peremfelületei). Hidrogén(szerű) atomok (H, He+, Li2+, stb., amelyek csak egyetlen elektront tartalmaznak) hullám-függvényeinek analitikus alakjai. Z az atomszám (az atommag elemi elektromos töltéseinek száma) és x, y és z a derékszögű koordináták. Alul: a megfelelő elektronpályák alakjai (peremfelületei). s Az s, p, d, f, g és h elektron-alhéjakra (rendre) l = 0, 1, 2, 3, 4 és 5.

Molekulapályák Az atomi kölcsönhatás energiája az R távolság függvényében kiszámítható, és az egyensúlyi kötéstávolságban az energiának minimuma van. Kötés kialakulása a nitrogén molekulában (N2). A 2pz pályák átlapolódnak és s molekulapályává fonódnak. A px és a py pályák egymásra merőleges p molekulapályát hoznak létre. A molekulapályák (kötések) hullámfüggvényei atomi pályák hullámfüggvényeinek összege. Azok a kötések vannak előnyben, amelyeknél antiparallel spinek összegződnek. A hidrogén (H2) molekulánál a molekulapálya alacsonyabb energiájú, mint az atomi pályák, ezért stabilis. A H-atom 1s pályái összefonódva a H-molekula (H2) hengerszimmetrikus s kötését adják.

Szénkötések A szénnek 1 üres és 2, egy-egy elektronnal betöltött 2p pályája van, ami négy vegyértékelektront ad. Ahhoz, hogy megértsük olyan molekulák szimmetrikus kémiai viselkedését, mint a metán, négy azonos, tetraéderes szimmetriájú pályát kell feltételeznünk. A négy sp3 pálya hibridpálya, azaz előállításához pályákat kell összekeverni (balra), amely egy 2s elektronnak az üres 2p pályára való emelését (azaz sp3 kialakítását) jelenti. A metán molekulában minden sp3 hibridpálya s kötést alakít ki a H atom egy 1s elektronjával. C Az etilén (etén) molekulában a két szénatom közti kettős kötés egy s és egy p kötésből tevődik össze.

3.2 Elektronok téglalap alakú potenciálvölgyben (elektronhullámfüggvények és -energiák) 2π-elektronok konjugált kettőskötés-rendszerben A π-elektronok fém-modellje: Az elektronok szabadon mozoghatnak a lánc mentén (a potenciálgödörben), de onnan nem szabadulhatnak ki. A potenciálgödör alakja téglalap, és végtelen mély (elektron nem jöhet ki belőle). A szomszédos szénatomok között az egyes és kettős kötések váltakoznak. Az elemi cella (csoport) hossza l (≈ 3 Å), az elemi csoportok száma N, minden csoportban 2 db π-elektron van, a teljes láncban 2N db π-elektron van és a lánc teljes hossza L = N·l. Kötés Hossz (Å) Energia (kcal/mole) C - C 1.54 83 C = C 1.34 122 C - H 1.08 101

Elektronok a kútban: téglalap alakú gödör 2·N számú π-electron van a kútban. A peremfeltételek miatt az elektronoknak csak meghatározott (diszkrét) energiái lehetnek. Két módon keressük a lehetséges (megengedett) energiaértékeket: 1) félklasszikus úton (de Broglie állóhullám-koncepciója alapján) és 2) a kvantumfizika segítségével (a Schrödinger egyenlet megoldásával) Félklasszikus tárgyalás Csak olyan pályák alakulhatnak ki, amelynél az elektronokhoz rendelt hullám állóhullámként viselkedik, és amelynek csomópontja van a falaknál. Az elektronok sebességét a de Broglie összefüggésből származtatjuk. A lehetséges hullámhosszakat behelyettesítettük. A teljes energia a falak között csak a kinetikai energiára szorítkozik.

Elektronok a kútban: téglalap alakú gödör Az elektronok energiája kvantált: A legkisebb energia (nullponti energia) nem nulla. Ez a Heisenberg-féle határozatlansági relációból származtatható, amennyiben a részecskének (itt elektronnak) biztosan van véges impulzusa (sebesége, kinetikai energiája), ha előfordulása egy véges térrészre „kenődik szét”. Az „energialétra” fokai nem egyenletesek: sűrű alul, és felfelé haladva egyre ritkább. Az egymást követő szintek energiái úgy aránylanak egymáshoz, mint a természetes számok négyzetei: E1 : E2 : E3: ... = 1 : 22 : 32: ... A Pauli-féle kizárási elv szerint alapállapotban a 2·N számú π-elektron spin-párokba rendeződve a legalsó N energianívót tölti be. Az edény hosszának (L) növelésével a szomszédos energiaszintek közötti különbség csökken, és gyakorlatilag eltűnik, amikor az edénynek makroszkópikus mérete lesz. Laboratóriumi méretű edényben (praktikusan szabadban) az elektron energiája nem kvantált (nincs kényszerfeltétel).

Az abszorpciós spektrum legvörösebb sávja Számítsuk ki annak a sávnak a (központi) hullámhosszát, amely a legkisebb energiájú az abszorpciós spektrumban (azaz a vörös tartomány felé haladva a legszélső)! Ha N >>1, akkor A vörösvégi legszélső abszorpciós sáv hullámhossza a konjugált kettőskötés lánchosszával (N) egyenesen arányos.

Fotoszintetikus szervezetek és pigmentek Példák, elemzések A napfény spektruma „vörös”-eltolódás Fotoszintetikus szervezetek és pigmentek N (lánchossz) λred abs Spektrál-tartomány 3 445 nm látható 4 593 nm 5 741 nm közeli IR 6 889 nm A növények pigmentjei igyekeznek lefedni a napsugárzás spektrumát, hogy minél jobban hasznosítsák a fényenergiát.

3.3 Részecskék (atomok és molekulák) parabolikus potenciálvölgyban A lineáris harmonikus oszcilátor energiája a kitérés függvényében négyzetes, parabolikus. A részecske szabadon mozog a falak között, de azokon nem tud áttörni: dobozba van zárva. Félklasszikus tárgyalás A részecske teljes energiája: ami a falak közti mozgás kinetikai energiája. Csak azok az energiák megengedettek, amelyekhez tartozó anyaghullám állóhullámként viselkedhet (de Broglie feltétel): A részecske lehetséges sebességei: A részecske lehetséges energiái:

A harmonikus oszcilátor energia-értékei Egyenletes fokozatú (h·ν) energialétra A Schrödinger egyenlet megoldása: En = h·ν(n + ½), where n = 0, 1, 2, ... Következmények: Az oszcilátor szomszédos energiaszintjei egyenlő távolságban vannak: ΔE = h·ν. Az átmenetek kiválasztási szabálya: Δn = ± 1. Elsőrendben csak a szomszédos nívók közötti átmenet megengedett. A nem szomszédok közötti átmenet tiltott. (c) Az oszcilátor legkisebb energiája (n = 0, nullponti energia) nem nulla: E0 = ½ hν. Az oszcilátor nem fagyhat be! Ez a Heisenberg-féle bizonytalansági elv következménye, mert a részecske tartozkodása véges térrészre (t.i. a falak közé) terjedhet ki. Mivel Δx > 0, ezért Δ(m·v) > 0. A tipikus molekuláris oszcilátor nullponti energiája E0 ≈ 3·10-20 J = 100 meV. Ez a hőmozgásnak szobahőmérsékleten mért átlagos energiájának (a Boltzmann-energiának) ½ kBT = 25 meV nagyságába esik.

4. Heisenberg-féle határozatlansági reláció Becslés a hely és az impulzus együttes pontosságára A részecske helyének (x) bizonytalanságát a hullámcsomag kiterjedésével (Δx) azonosítjuk: Hullámcsomag λ n·λ Az impulzus (p) pontossága a hullámhossz pontosságán múlik, azaz annál pontosabb, minél több (n) hullámvonulatból áll a hullámcsomag: A két egyenletből: Egy részecske impulzusának és a helykoordinátájának egyidőben történő meghatározása nem lehet tetszőlegesen kicsiny: bizonytalanságaiknak szorzata alulról korlátos, amely korlátot a Planck állandó szabja meg. Ennek oka az, hogy a mikrofizikai mérésekben a mérőeszköz mindig befolyásolja a mérés eredményét. Hasonló, egyidejűleg tetszőleges pontossággal nem mérhető mennyiség-pár az idő (t) és az energia (E) is:

Feladatok szemináriumi feldolgozásra Mekkora annak az elektronmikroszkópnak a feloldási határa, amelyben a leképezést a vákuumbeli fénysebesség századára felgyorsított elektronokkal végzik? Mennyit 1000 nm hullámhosszúságú fotont emittál 0,1 s alatt az 1 mW teljesítményű monokromatikus éjjellátó készülék? Ismerve a higanygőz legintenzívebb spektrálvonalainak hullámhosszait, vázolja fel a feszültség-áram karakterisztikát a Franck-Hertz kísérletben! Hullámhosszak (nm-ben): 184,45, 253,7, 300,0, 312,1 334,0, 365,4, 404,7, 435,8, 546,1 és 579,1. 4. Számolja ki az elektron hullámhosszát, miután elhagyja a 10 MeV részecskegyorsítót! 5. Mennyi lenne az atommagba zárt elektron sebessége a Heisenberg-féle bizonytalansági reláció alapján? Mire következtethetünk ebből?

Feladatok szemináriumi feldolgozásra 6. A szegedi ELI lézerközpontban attoszekundum élettartamú lézerimpulzusokat fognak generálni. Mit tud mondani a lézerfény színéről a Heisenberg-féle bizonytalansági reláció alapján? 7. Az elektron hullámfüggvénye a hidrogénatom legalacsonyabb energiájú állapotában: ψ =(π·a03)-1/2·exp(-r/a0), ahol a0 = 52.9 pm, és r az atommagtól mért távolság. Számítsa ki annak valószínűségét, hogy az elektront 1 pm3 térfogatú térrészben találjuk (a) az atommag környékén, (b) a0 távolságban az atommagtól. A hidrogénatom teljes térfogatának nagyságrendje 107 pm3. Hányszor nagyobb valószínűséggel tartozkodik az elektron az atommagnál, mint tőle a0 távolságban? 8. Mennyi a Sirius csillag felületi hőmérséklete, ha az onnan származó fénysugárzás 263.27 nm-nél a legintenzívebb? 9. Az 5,0 gramm tömegű féreg rakétaelv szerint mozog 0.10 W teljesítménnyel kisugárzott vörös (650 nm) fénnyel. Mekkora sebességre gyorsul 10 év múlva szabad térben állandósult feltételek mellett? 10. Egy Röntgen fotoelektron kísérletben a 150 pm hullámhosszú röntgensugár 2,14·107 m/s sebességgel kilök egy elektront az atom belső héjáról. Mennyi az elektron kötési energiája?

Függelék A kvantummechanikai problémák egzakt tárgyalása (nem félklasszikus kezelése)

A Schrödinger egyenlet Figyelem! A Schrödinger egyenlet Haladóknak! Nem káros az egészségre! A hidrogénatom Bohr modelljének de Broglie általi finomítása megteremtette a lehetőségét egy sokkal általánosabb és formálisabb leírásnak, a Schrödinger egyenletnek. Schrödinger adaléka a hullámfüggvény-re vonatkozó egyenlet felírása és a lehetséges energiaértékek megadása. A fizikusok (de kevésbé az orovostanhallgatók) örömére a Schrödinger egyenlet mögött elegáns matematika van. Szerencsére azonban nem kell a matematikáját részleteiben megértenünk ahhoz, hogy a végeredményt értékelni tudjuk. A legfontosabb pontok: 1. Az időtől független Schrödinger egyenlet megoldásával megkapjuk a 3 dimenziós (térbeli) hullámfüggvényt, amely kielégíti a peremfeltételeket („állóhullámok” alakulnak ki), és ami az energia kvantáltságát okozza: Itt a rendszer Hamilton (energia) operátora, ψ a hullámfüggvénye és E a megengedett energiaértékei. 2. Heisenberg bevezette a határozatlansági relációt, amely szerint egy részecske impulzusát és helyzetét nem lehet egyszerre teljes bizonyossággal megadni. Ha a hely- és az impulzus meghatározásának hibája Δx ill. Δ(mv), akkor ezek szorzata egy (a Planck-állandóval kijelölt) korlátnál mindig nagyobb. Emiatt Schrödinger a hullámfüggvény fogalmát vezette be, amely(nek négyzete) a részecske (elektron) tartozkodási valószínűségét adja meg egy meghatározott térfogatban.

Példa: a hidrogén(szerű) atom(ok) Schrödinger egyenlete A hidrogén-szerű atomok Hamilton (energia) operátora kinetikus és potenciális összetevőkből áll: és ezzel a Schrödinger egyenlet: Hasonlítsuk ezt össze a hidrogénatom elektronja energiájának klasszikus kifejezésével: Az első tag a kinetikus tag, a második a potenciális (Coulomb) tag, amely az Z töltésű atommag és az r távolságban levő elektron között fellép. A kinetikus összetevő most kvantált, és minden tagot a ψ hullámfüggvény módosít. Mi a y, a hullámfüggvény, és mi az a furcsa jel 2 („nabla négyzet” operátor)?

A hullámfüggvény Born-féle értelmezése Noha a hullámfüggvényhez (y) nehéz plasztikus képet rendelni, annak négyzetét(y2) már könnyebb demonstrálni: annak valószínűségét adja meg, hogy az elektront a tér egy megadott helyén (térfogat-elemében) megtaláljuk. Ezt formálisan a Born-féle közelítés írja le. Egy dimenziós esetre alkalmazva, annak valószínűsége, hogy a részecskét x és x + dx között találjuk meg, y2dx-szel arányos. Három dimenzióban a megtalálási valószínűség y2dV-vel egyenesen arányos. Ay2 kifejezés valószínűségi sűrűségfüggvény, és a valószínűséget úgy kapjuk meg, hogy a sűrűséget a kérdéses térfogatelemmel beszorozzuk. Bemutatunk egy egydimenziós hullámfüggvényt, és annak négyzetét a radiális távolság függvényében. Vegyük észre, hogy y2 mindenütt pozitív, még akkor is, ha y negatívvá válik. A valószínűséget a szürkén kódolt ábra mutatja. Az elektron hullámfüggvénye H-típusú atomban Annak valószínűsége, hogy az elektron x és x+ δx között van. Az elektron radiális eloszlása

„differenciálásra éhesen hagyott operátor” A Laplace-operátor „differenciálásra éhesen hagyott operátor” A furcsa 2 jelzés a Laplace-operátor. Egy dimenzióban (részecske dobozban, lásd később) a 2y kifejezés helyettesíthető y –nek a távolság szerinti második deriváltjával Három dimenzióban, Descartes koordinátájú legegyszerűbb alakjában 2 az alábbi rövidítést jelenti: Az operátor azt mutatja számunkra, hogy a hullámfüggvényen a koordináták szerint második deriváltakat („a változás változását”) kell vennünk. Más vonatkoztatási rendszerben (pl. gömbi koordináta-rendszerben) egy kissé bonyolultabb alakot ölt, de ugyanezt a lényeget fejezi ki. Mivel a trigonometrikus (irányváltozást kifejező) függvények a hullámfüggvény vizsgálatának gazdag lehetőségeit rejtik, ezért a 2 operátort gyakran írják fel gömbi polár koordinátákban:

Az energia-operátorok A y-re ható operátorok mindegyikének egysége: energia. Noha különböző módon fejezhetők ki, ami némi zavart is kelthet, de alapvetően ugyanazokat az energiaféleségeket tartalmazzák, mint amik a klasszikus fizika egyenleteiben (kifejezéseiben) előfordulnak. Az egyenlet fenti formája a leggyakrabban előforduló, és a táblázat az egyenlet 1D eseteire további alakokat tüntet fel. Néhány variáció: a h Planck állandót gyakran helyettesítik ħ-sal („h vonás”-sal), ami ħ=h/2π. Vegyük észre, hogy a legutolsó sorban a kinetikai és potenciális energiát egyetlen operátorba vontuk össze. Ezt gyakran hívják Hamilton operátornak (H), amit szintén energia egységben mérünk . A kinetikai energia operátort klasszikus alakjában adtuk meg: Tx = ½mv2 = a táblázatban, és kvantált formájában a dia tetején. A potenciális energia operátorát U(x) jelöli.

Hogyan találjuk meg a megfelelő hullámfüggvényt? A hullámfüggvényt a Schrödinger egyenlet megoldásából kapjuk, amely a hullámfüggvény második deriváltját tartalmazza. A matematikai megoldás nem egy-egyértelmű. A sok lehetséges megoldás közül ki kell választani a fizikai körülményeknek eleget tevő megoldást. Néhány fontos szempont: A reális megoldás szükséges, de korántsem elegendő feltétele az, hogy a hullámfüggvény a tér bármelyik pontjában egyértékű legyen. Enélkül nem tudnánk arra a kérdésre egyértelműen felelni, hogy „ mi annak a valószínűsége, hogy a részecskét a tér megadott térfogatelemében találjuk”. Hasonlóan, y –nek folytonosnak és végesnek kell lenni. Enélkül a hullámfüggvénynek nem lehetne „állóhullám” jellege. Normálási feltétel: A részecske valahol megtalálható a térben, és csak egy van belőle: Σy2·dV = 1. Mivel az energiaszintek kvantáltak, ezért a hullámfüggvénynek a kvantumszámoktól függően sokféle alakja lehet. A különböző kvantumszámok a Bohr modellben különböző energiájú elektronpályákat jelentenek a hidrogénatom alap- és gerjesztett állapotaiban. Az elektronpályák alakját pedig a hullámfüggvények határozzák meg. Erre demonstratív példákat a kémia, ill. a következő előadás ad.

Haladóknak: A Schrödinger egyenlet alkalmazása hidrogénatomra, hiperbolikus potenciálvölgybe zárt elektron Az időtől független Schrödinger egyenlet: ahol a potenciális energia: Behelyettesítés után A Laplace operatort (2) gömbi polárkoordinátákban fejezzük ki, mert a H-atom is gömbszimmetrikus: Szerencsére ezt az elrettentően kinéző egyenletet már mások megoldották, ezért csak a megoldás értelmezésével kell törődnünk.

l, mellék- (azimutális) kvantumszám és A megoldás ψ hullámfüggvényeit (elektronpályáit) később mutatjuk be, először a lehetséges E energiaértékeket elemezzük. Minden megengedett energiát (energiaszintet) 3 kvantumszám határoz meg, amelyek nevezéktana (szükségtelenül) bonyolult. héjak alhéjak pályák A három kvantumszám: n, főkvantumszám; l, mellék- (azimutális) kvantumszám és ml, (pálya) mágneses kvantumszám. n = 1, 2, 3, …n l = 0, 1, 2, …(n-1) ml = 0, ±1, ±2, …, ±l A kvantumszámok aktuális értékeitől függően az elektronpályák héjakra és alhéjakra osztódnak.

Az elektron energiájának lehetséges értékeit csak a főkvantumszám határozza meg: Az 1/n2 együtthatóját Rydberg állandónak is nevezik, amely univerzális állandó, mert csak elektronra ill. vákuumra vonatkozó anyagállandókat foglal magában. Hol van a másik két (l és ml) kvantumszám az energia kifejezéséből? Miért nincsenek benne? Mind a három kvantumszám az elektron eloszlását határozza meg. Bármely héj esetén minden lehetséges hullámfüggvényhez ugyanaz a sugár tartozik. Az r rádiusz az energia kifejezésébe a gömbszimmetrikus potenciális energia (Coulomb-) tagon keresztül kerül be. Mivel a héjon belül minden elektronnak ugyanakkora a potenciális energiája, ezért a teljes energia (r-en keresztül) csak az n főkvantumszámtól függ, akárcsak a Bohr-de Broglie egyenletben. Ez az egyszerű eset azonban csak a hidrogénatomra érvényes. Mivel n egyértelműen meghatározza a hidrogénatom energiáját, ezért, megadott n –re E értékeit karakterisztikus energiának vagy sajátértéknek is nevezik. Ehhez hasonlóan, a megadott n-hez tartozó hullámfüggvényt karakterisztikus hullámfüggvénynek vagy sajátfüggvénynek is hívják.

A hullámfüggvény () és az elektron valószínűségi eloszlásfüggvénye közti kapcsolat a kvantumszámoktól függ. Ha polar koordinátákat vezetünk be, akkor  felbontható csak az r, q és f koordinátáktól függő tényezők szorzatára: Az első (radiális) tényező, R(r) csak az r távolságtól, míg a másik kettő, Q(q)·F(f) csak az irányultságtól (szögektől) függ. Az n főkvantumszámmal a távolság-függést jellemzzük. A héjakhoz különböző r sugarak és a pályákhoz különböző (a kvantum-számoktól függő) hullámfüggvények tartoznak. Azon elektronpályák, amelyeknél l = m = 0, a hullámfüggvény csak az r sugártól függ, és emiatt ezek a pályák gömbszimmetrikusak. Ha az l és m kvantumszámok nem nullák, akkor a pálya nem gömbszimmetrikus, és a hullámfüggvényt az x, y és z derékszögű koordináták határozzák meg. Például az L héj négy elektronja közül egynél l = 0 és így m is nulla, ezért ennek az elektronnak gömbi pályája van. A további 3 elektron pályája nem gömbi, de az x, y ill. a z tengelyekre nézve forgás-szimmetrikusak.

Részecske téglalap alakú potenciálvölgyben – az 1 dimenziós Schrödinger egyenlet A megoldás azt jelenti, hogy alkalmas y hullámfüggvényt kell találni. A harmonikus oszcillátor kitérés-idő függvénye szinusz-függvény, amely jó kiindulópontot jelent a hullámfüggvény megtalálására. Próbálkozzunk ezért a y = A·sin kx függvénnyel, ahol x a távolságot jelenti. Mi történik, ha a k hullámszám k = np/L, ahol L a doboz hossza (a falak közti távolság)? Ekkor (különböző n értékekre, ahol n természetes szám lehet) állóhullámokat kapunk, és a falakra mindig csomópontok esnek, mert sin p = sin 2p = sin 3p = 0. Lényegesen egyszerűsítünk a helyzeten, ha az elektront egy dimenzóba szorítjuk be. 1-D-ben nem kell a potenciális energiával foglalkoznunk, mert az elektront a falak, és nem a (távolság-függő) Coulomb potenciál tartja a dobozban. Emellett a Laplace-operátor 1D alakja igen egyszerű. A problémára felírt Schrödinger egyenlet:

nodes Vegyük észre, hogy ha n értékét változtatjuk az egyenletben, akkor a térbeli periodusok, az állóhullámok, és ezzel a két fal közti csomópontok számát is változtatjuk. Ha x=L, akkor n = 1 esetén a(z) (álló)hullámnak (a falakon kívül) egy csomópontja, n = 2 esetén 2 csomópontja, n = 3 esetén 3 csomópontja van, stb. A jobboldali ábra a hullámfüggvény négyzetét mutatja a két fal közti távolságra normált helykoordináta függvényében. Minden (nem a falakra eső) csomópont tartozkodási csúcsot hoz be, ezért minden görbének n számú csúcsa van. A görbéknek csak pozitív értékkészletük van, ami összhangban van azzal, hogy a hullámfüggvény négyzete (y2) valószínűségi tartalmú.

A hullámfüggvényre tett választásunk igen biztatónak tűnik, mert az elvárt (alap)tulajdonságokat mutatja. Most már csak be kell helyettesíteni a Schrödinger egyenletbe, és meg kell nézni, hogy valamennyi kényszertfeltételt ki tudja-e elégíteni. Kezdjük a y = A·sin (k·x) alakkal! A kritikus lépések: Számítsuk ki ennek a függvénynek a második deriváltját: -k2y Helyettesítsük be y –t a Schrödinger egyenletbe, és ezt kapjuk: , amit visszahelyettesítünk: . 3. A peremfeltételek szerint y –nek el kell tünni a falaknál. Mivel (mint láttuk korábban) sin np = 0, ezért ez teljesül, x = 0 vagy L (a doboz hossza). Ebből az következik, hogy (n természetes szám). Visszahelyettesítve, és 4. Ellenőrizzük a normálási feltételt is! Ehhez a szinuszhullám amplitúdóját kell alkalmasan megválasztani. Az integrál-tábla (vagy saját számításunk) szerint a normálási állandó . Ezzel végül: adódik.

Az egy-dimenzióba és téglalap alakú végtelen mély potenciálgödörbe kényszerített elektron energiája kvantált. Minden energiaszintnek más-más szinuszhullám alakú (álló)hullámfüggvénye van. A falakon kívüli csomópontok száma egyenlő a kvantumszámmal (n). Az energia-létra fokai felfelé haladva n2 szerint ritkulnak. A hullámfüggvény négyzete az elektronnak adott térrészben való tartozkodási valószínűségét adja.

A harmonikus oszcillátorra vonatkozó Schrödinger egyenlet felírása és megoldása A Scrödinger egyenlet Hullámfüggvény Megengedett energia-értékek A Hn tényező a Hermite polinom, amely a rezgés kvantumszámától (n) függ. Néhány n értékre megadtuk a Hermite polinomokat. Az alapállapot hullámfüggvénye (n = 0): n Hn(y) 1 2y 2 4y2 – 2 3 8y3 – 12y 4 16y4 -28y2 +12 5 32y5 – 160y3 + 120y A valószínűségi sűrűség-függvény harang-görbe (Gauss-függvény): Néhány Hermite polinom