Szerkezetek Dinamikája 3-4. hét: Számpéldák

Irodalom BSc: Györgyi József Dinamika, Műegyetemi kiadó 2007. MSc: Györgyi József Szerkezetek dinamikája, Műegyetemi kiadó 2006. https://www.me.bme.hu/hu/teaching

1. mintapélda Adott az ábrán látható rendszer. Állítsuk össze a rendszer tömegmátrixát és merevségi mátrixát! Határozzuk meg a rendszer sajátkörfrekvenciáit! Határozzuk meg a rendszerben az egyes sajátkörfrekvenciákhoz tartozó sajátvektorokat! Normáljuk a sajátvektorokat - a tömegmátrixra, - 1-re L2-norma szerint, - 1-re L∞-norma szerint! A sajátvektorok ismeretében számítsuk ki a sajátkörfrekvenciákat! m1 m2 k2 k1 m1=0,5 t m2=4 t k1=400 kN/m k2=600 kN/m

1. mintapélda A rendszer tömegmátrixa: A rendszer merevségi mátrixa összeállítható: az egyes elemek jelentése alapján, az egyes rugalmas elemekből, az inverze alapján. 𝐌= 𝑚 1 0 0 𝑚 2 = 0,5 0 0 4 t 𝐊= 𝑘 11 𝑘 12 𝑘 21 𝑘 22 hely ok

1. Mintapélda Merevségi mátrix számítása az egyes elemek jelentése alapján A merevségi mátrix i-edik oszlopa azokat az erőket tartalmazza, amikkel az egyes szabadsági fokokra kell hatni ahhoz, hogy az i-edik szabadságfok elmozdulása egységnyi, az összes többi szabadsági fok elmozdulása pedig nulla legyen. m1 k11 k1 m2 k21 x1=1 x2=0 m1 m2 k2 k1 x2 x1 m1 k12 k1 m2 k2 k22 x2=1 x1=0 a felső rugó megnyúlik az alsó alakja nem változik a felső rugó összenyomódik az alsó megnyúlik 𝐊= 400 −400 −400 1000 𝑘 11 = 𝑘 1 =400 𝑘 21 =− 𝑘 1 =−400 𝑘 12 = −𝑘 1 =−400 𝑘 22 = 𝑘 1 + 𝑘 2 =1000

1. Mintapélda A merevségi mátrix összeállítása az egyes rugalmas elemekből (kompilálás) A k1 rugó az egyes és a kettes szabadsági fokokat köti össze, ezért A k 2 rugó a kettes szabadsági fokot a mozdulatlan földdel köti össze Kompilálás: 𝐊 1 = 400 −400 −400 400 𝐊 2 = 600 −600 −600 600 𝐊= 400 −400 −400 400+600 = 400 −400 −400 1000

1. Mintapélda A merevségi mátrix előállítása az inverze segítségével A hajlékonysági mátrix általános alakja: az fij elem az i-edik szabadságfok elmozdulása a j-edik szabadságfokra ható egységerő hatására. 𝐅= 𝑓 11 𝑓 12 𝑓 21 𝑓 22 𝑓 21 = 1 𝑘 2 = 1 600 m1 1 m2 f11 f21 m1 m2 1 f22 f12 𝑓 11 = 1 𝑘 1 + 1 𝑘 2 = 1 400 + 1 600 = 1 240 𝑓 22 = 1 𝑘 2 = 1 600 𝑓 12 = 1 𝑘 2 = 1 600

1. Mintapélda A merevségi mátrix előállítása az inverze segítségével 𝐅= 1 240 1 600 1 600 1 600 A rendszer engedékenységi mátrixa: A merevségi mátrix ennek inverze: 𝐊= 𝐅 −1 Egy 2x2-es mátrix inverze: 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 −1 = 1 𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑑 −𝑐 −𝑏 𝑎 Esetünkben: 𝑎𝑑−𝑏𝑐= 1 240 1 600 − 1 600 1 600 = 1 240000 𝐊=240000 1 600 − 1 600 − 1 600 1 240 = 400 −400 −400 1000

1. Mintapélda Sajátkörfrekvenciák számítása 𝐊− 𝜔 0 2 𝐌 = 400−0,5 𝜔 0 2 −400 −400 1000−4 𝜔 0 2 =0 400−0,5 𝜔 0 2 1000−4 𝜔 0 2 − 400 2 =0 2 𝜔 0 4 −2100 𝜔 0 2 +240000=0 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 𝑥 1,2 = −𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐 2𝑎 𝜔 01,2 2 = 2100± 2100 2 −4∙2∙240000 2∙2 𝜔 01 =11,42 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝜔 02 =30,32 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝜔 01 2 =130,5 𝜔 02 2 =919,5

1. Mintapélda Sajátvektorok számítása Ennek az egyenletnek a két sora azonban nem független egymástól, így nincsen egyértelmű megoldása. Ezért a v1 vektor valamelyik elemének rögzítjük az értékét, meghatározzuk a többi elemét, majd ha szükséges, akkor később normáljuk a vektort. 𝐊− 𝜔 01 2 𝐌 𝐯 1 =𝟎 400−0,5 𝜔 01 2 −400 −400 1000−4 𝜔 01 2 𝑣 11 𝑣 12 = 0 0 400−0,5∙130,5 −400 −400 1000−4∙130,5 1 𝑣 12 = 0 0 400−0,5∙130,5 ∙1−400 𝑣 12 =0 −400∙1+ 1000−4∙130,5 ∙ 𝑣 12 =0 𝐯 1 = 1 0,8369 𝑣 12 =0,8369

1. Mintapélda Sajátvektorok számítása Az egyikből meghatározhatjuk v22 értékét: v22=-0,1494 , majd a fennmaradó egyenletbe visszahelyettesítve ellenőrizhetjük a számítást. (Ha a kerekítésekből származónál nagyobb hiba van az ellenőrzésnél, akkor a sajátkörfrekvencia is hibás lehet, ilyenkor vissza kell térni a korábbi lépéshez.) 𝐊− 𝜔 02 2 𝐌 𝐯 2 =𝟎 400−0,5 𝜔 02 2 −400 −400 1000−4 𝜔 02 2 𝑣 21 𝑣 22 = 0 0 400−0,5∙919,5 −400 −400 1000−4∙919,5 1 𝑣 22 = 0 0 400−0,5∙919,5 ∙1−400 𝑣 22 =0 −400∙1+ 1000−4∙919,5 ∙ 𝑣 22 =0 𝐯 2 = 1 −0,1494 𝑣 22 =−0,1494

1. Mintapélda Normálás a tömegmátrixra Tömegmátrixra normált vektorról akkor beszélünk, ha a 𝐯 T 𝐌𝐯=1 feltétel teljesül. A tömegmátrixra normált sajátvektor a tetszőleges módon (azaz normálás nélkül) kiszámított sajátvektor skalárszorosa: 𝐯 𝑖 = 𝐯 𝑖 𝛼 𝑖 . Ezt behelyettesítve a normálás feltételébe: 𝛼 𝑖 𝐯 𝑖 T 𝐌 𝐯 𝑖 𝛼 𝑖 = 𝛼 𝑖 2 𝐯 𝑖 T 𝐌 𝐯 𝑖 =1. 𝛼 1 2 1 0,8369 0,5 0 0 4 1 0,8369 = 3,302𝛼 1 2 =1 𝛼 1 = 1 3,302 =0,5503 𝐯 1 = 0,5503 0,4605 𝛼 2 2 1 −0,1494 0,5 0 0 4 1 −0,1494 = 0,5893𝛼 2 2 =1 𝛼 2 = 1 0,5893 =1,303 𝐯 2 = 1,303 −0,1947

1. Mintapélda Normálás 1-re L2-norma szerint A v vektor L2-normája a vektor elemeinek második hatványainak összegéből vont négyzetgyököt (alacsonyabb dimenziókban szemléletesen a vektor hosszát) jelenti. Az erre való normálást tehát azzal érhetjük el, ha a tetszőleges módon kiszámított sajátvektort elosztjuk a hosszával: Az így kapott normált sajátvektorok hossza 1. 𝐯 1 = 𝐯 1 𝑇 𝐯 1 = 1 2 + 0,8369 2 =1,304 𝐯 1 = 1 1,304 1 0,8369 = 0,7669 0,6418 𝐯 2 = 𝐯 2 𝑇 𝐯 2 = 1 2 + 0,1494 2 =1,011 𝐯 2 = 1 1,011 1 −0,1494 = 0,9890 −0,1478

1. Mintapélda Normálás 1-re L∞-norma szerint A v vektor L∞ -normája a vektor legnagyobb abszolútértékű elemének abszolútértéke. Az erre való normálást tehát azzal érhetjük el, ha a tetszőleges módon kiszámított sajátvektort elosztjuk a legnagyobb abszolútértékű elemével. Jelen példánkban a legnagyobb elem mindkét vektornál 1, így: és . Az így kapott normált sajátvektorok legnagyobb eleme mindig 1. 𝐯 1 ∞ = 𝐯 1 𝐯 2 ∞ = 𝐯 2

2. Mintapélda Gerendatartó Az ábrán látható gerenda tömegét két pontba redukáltuk. Állítsuk össze a rendszer tömegmátrixát és merevségi mátrixát! Határozzuk meg a sajátkörfrekvenciákat és a sajátvektorokat is! Normáljunk 1-re L2-norma szerint! 𝑎=2 m 𝑚 1 = 𝑚 2 =1,2 t 𝐸𝐼=1200 kN m 2

2. Mintapélda Gerendatartó A szabadsági fokok az m1 és az m2 tömegpontok eltolódásai. A tömegmátrix: A hajlékonysági mátrix: F1=1 2/3 1/3 2 3 𝑎= 4 3 𝐌= 1,2 0 0 1,2 t F2=1 1/3 2/3 2 3 𝑎= 4 3 𝑓 11 = 𝑓 22 = 1 𝐸𝐼 4 3 2 2 ∙ 4 3 ∙ 2 3 + 4 3 4 2 ∙ 4 3 ∙ 4 3 = 32 9𝐸𝐼 𝐅= 1 9𝐸𝐼 32 28 28 32 𝑓 12 = 𝑓 21 = 1 𝐸𝐼 4 3 2 2 ∙ 2 3 ∙ 2 3 2+ 2 3 2 2 3 + 2 3 ∙ 1 2 + 2 3 2 2 2 3 + 2 3 ∙ 1 3 = 28 9𝐸𝐼

2. Mintapélda Gerendatartó Az invertálás: A sajátértékek: 𝐊= 𝐅 −1 = 9𝐸𝐼 32 2 − 28 2 32 −28 −28 32 = 1440 −1260 −1260 1440 kNm 𝐊− 𝜔 0 2 𝐌 = 1440−1,2 𝜔 0 2 −1260 −1260 1440−1,2 𝜔 0 2 =0 1440−1,2 𝜔 0 2 1440−1,2 𝜔 0 2 − 1260 2 =0 1,44 𝜔 0 4 −3456 𝜔 0 2 +486000=0 𝜔 01,2 2 = 3456± 3456 2 −4∙1,44∙486000 2∙1,44 𝜔 01 =12,25 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝜔 02 =47,43 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝜔 01 2 =150 𝜔 02 2 =2250

2. Mintapélda Gerendatartó A sajátvektorok: 1440−1,2∙150 −1260 −1260 1440−1,2∙150 1 𝑣 12 = 0 0 1440−1,2∙150 ∙1−1260 𝑣 12 =0 −1260∙1+ 1440−1,2∙150 ∙ 𝑣 12 =0 𝐯 1 = 1 1 𝑣 12 =1 1440−1,2∙2250 −1260 −1260 1440−1,2∙2250 1 𝑣 22 = 0 0 1440−1,2∙2250 ∙1−1260 𝑣 22 =0 −1260∙1+ 1440−1,2∙2250 ∙ 𝑣 22 =0 𝐯 2 = 1 −1 𝑣 22 =−1

2. Mintapélda Gerendatartó Normálás 1-re L2-norma szerint: 𝐯 1 = 𝐯 1 𝑇 𝐯 1 = 1 2 + 1 2 =1,414 𝐯 1 = 1 1,414 1 1 = 0,7071 0,7071 𝐯 2 = 𝐯 2 𝑇 𝐯 2 = 1 2 + 1 2 =1, 414 𝐯 2 = 1 1,414 1 −1 = 0,7071 −0,7071

3. Mintapélda Keretszerkezet Az ábrán látható kétszintes keret gerendája végtelen merevnek tekinthető, tömege m , az oszlopok tömege elhanyagolható, hajlítómerevségük EI . Állítsuk össze a rendszer tömegmátrixát és merevségi mátrixát! Határozzuk meg a sajátkörfrekvenciákat és a sajátvektorokat is. Normáljunk tömegmátrixra! ℎ=4 m 𝑚=10 t 𝐸𝐼=1500 kNm2

3. Mintapélda Keretszerkezet A tömegmátrix: A merevségi mátrix: 𝐌= 10 0 0 10 t 12𝐸𝐼 ℎ 3 12𝐸𝐼 ℎ 3 2= 12∙1500∙2 4 3 =562,5 kN m 𝐊= 562,5 −562,5 −562,5 1125 t

3. Mintapélda Keretszerkezet A sajátértékek: 𝐊− 𝜔 0 2 𝐌 = 562,5−10 𝜔 0 2 −562,5 −562,5 1125−10 𝜔 0 2 =0 562,5−10 𝜔 0 2 1125−10 𝜔 0 2 − 562,5 2 =0 100 𝜔 0 4 −16875 𝜔 0 2 +316406,25=0 𝜔 01,2 2 = 16875± 16875 2 −4∙100∙316406,25 2∙100 𝜔 01 =4,635 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝜔 02 =12,135 𝑟𝑎𝑑 𝑠 𝜔 01 2 =21,49 𝜔 02 2 =147,26

3. Mintapélda Keretszerkezet A sajátvektorok: 562,5−10∙21,49 −562,5 −562,5 1125−10∙21,49 1 𝑣 12 = 0 0 562,5−10∙21,49 ∙1−562,5 𝑣 12 =0 −562,5∙1+ 1125−10∙21,49 ∙ 𝑣 12 =0 𝐯 1 = 1 0,618 𝑣 12 =0,618 562,5−10∙147,26 −562,5 −562,5 1125−10∙147,26 1 𝑣 22 = 0 0 562,5−10∙147,26 ∙1−562,5 𝑣 22 =0 −562,5∙1+ 1125−10∙147,26 ∙ 𝑣 22 =0 𝐯 2 = 1 −1,618 𝑣 22 =−1,618

3. Mintapélda Keretszerkezet Normálás a tömegmátrixra: 𝛼 1 2 1 0,618 10 0 0 10 1 0,618 = 13,82𝛼 1 2 =1 𝛼 1 = 1 13,82 =3,717 𝐯 1 = 0,269 0,1662 𝛼 2 2 1 −1,618 10 0 0 10 1 −1,618 = 36,18𝛼 2 2 =1 𝛼 2 = 1 36,18 =6,015 𝐯 2 = 0,1663 −0,269