Kvantitatív módszerek Becsléselmélet október 15.

Kvantitatív módszerek Hol járunk? 

Kvantitatív módszerek Statisztika tárgya Sokaság Minta Mintavétel Következtetés  F(x), M(  ), D(  ) …. F n (x), x, s, s* A vizsgálat tárgyát képező egységek összességét, halmazát statisztikai sokaságnak nevezzük. Statisztikai minta valamely változóra vonatkozó véges számú független megfigyelés eredménye.

Mintavétel  Adott sokaság esetén egy meghatározott elemszámú mintát sokféleképpen lehet kiválasztani  minden minta más és más összetételű lehet  A mintajellemzők változók!  Az egyes mintákból számított mutatók értéke mintáról mintára változik.  A mintákból számított mutatók a sokasági mutató körül szóródnak.  Ez a szóródás nagyobb minták esetében kisebb, vagyis jobban közelítik a sokasági értéket. Kvantitatív módszerek

Mintavétel – A becslés elmélete  Minta-2 Minta-1 Minta-3 mintáról mintára változik maga is valósz. változó adott elméleti eloszlással, szórással stb. jellemezhető

Kvantitatív módszerek Következtetés hibái Mintából következtetünk !!! Elsőfajú hiba (  ) Másodfajú hiba (  ) Minta-2 Minta-1 Minta-3 Hibát követhetünk el !!! Sokaság A minta minősítése a sokaságról „jó” „rossz” „jó” „rossz” Nincs hiba  e Elsőfajú hiba  Másodfajú hiba 

Alapfogalmak  Statisztika: a mintaelemek egy tetszőleges, de ismeretlen paramétert nem tartalmazó függvénye  Becslőfüggvény: olyan statisztika, ami valamely sokasági jellemző mintából történő meghatározására szolgál.  A becsülni kívánt sokasági jellemző:  Becslőfüggvénye egy mintából:  Egy sokasági jellemzőre ált. több becslőfüggvény is készíthető. Kvantitatív módszerek

Becslés elmélete Minta-2 Minta-1 Minta-3 M(  ) = ?, Me Pontbecslés Minta statisztika Mintavételi eloszlás f(x) 

Becslési kritériumok - torzítatlanság  Torzítatlan a becslőfüggvény, ha annak várható értéke megegyezik a becsülni kívánt sokasági jellemzővel:  Két torzított becslőfüggvény közül azt tekintjük jobbnak, amelyiknél kisebb a torzítás abszolút értéke.  Nincs szisztematikus, egyirányú eltérés a becslés és a becsült paraméter között. Kvantitatív módszerek f(x) torzítatlan torzított

Kvantitatív módszerek Példa - Torzítatlan becslés  F(x), f(x), M(  ), D(  ) …., S 1 *, S 2 *, S 3 *, S 1, S 2, S 3 

Becslési kritériumok - konzisztencia  Konzisztens a becslőfüggvény, ha ingadozása a becsült paraméter körül a minta elemszámának növelésével egyre csökken.  A becslőfüggvény értékei nagy minta esetén jól közelítsék a megfelelő sokasági jellemzőt. Kvantitatív módszerek f(x)

Becslési kritériumok - Hatásosság  Két becslés közül a kevésbé ingadozót tekintjük hatásosabbnak. Kvantitatív módszerek f(x)

Kvantitatív módszerek Hatásos becslés  (Normális el.) F(x), f(x), M(  )= , D(  )=  Me 1 Me 2 Me 3 torzítatlan konzisztens elégséges Me

Becslési kritériumok - elégségesség  A becslés elégséges, ha minden információt tartalmaz a paraméterre vonatkozóan. Nincs más olyan becslés, amely a paraméterről több információt szolgáltatna, mint az elégséges becslés. Kvantitatív módszerek

Pontbecslés  Analógia elve: a mintából a becsülni kívánt jellemzővel megegyező tartalmú mutatót számítunk  Mi történik, ha az analógia nem működik?  Becslőfüggvények alkalmazása: a becslőfüggvénybe helyettesítjük a minta konkrét értékeit  pontbecslés  Pontbecslés módszerei:  Maximum-likelihood módszer  Legkisebb négyzetek módszere  Momentumok módszere  Grafikus paraméterbecslés Kvantitatív módszerek

Legkisebb négyzetek módszere  Nem feltételezi a sokaság eloszlásának ismeretét, de azt igen, hogy van egy törvényszerűség, amely feltételezésünk szerint megfigyelési adatainkat előállította  modell  A LN módszere úgy határozza meg e modell paramétereit, hogy a tényleges és becsült paraméterrel illesztett modellek eltéréseinek négyzetösszege minimális legyen.  A LN módszer a tényleges megfigyelések és a minta alapján becsült modell négyzetes távolságát minimálja. Eszköze a szélsőérték-számítás.  Nem szolgáltat eleve bizonyítottan jó becsléseket.  Alkalmazási lehetőségei nagyok, mivel az eloszlás típusától függetlenül alkalmazható.  Regressziós modellek, trendek paramétereinek becslésére használják. Kvantitatív módszerek

Példa  Egy közúti ellenőrzés során a közlekedésrendészet úgy találta, hogy 20 véletlenszerűen kiválasztott gépkocsi közül 6 volt műszaki hibás (hibás 1-es, hibátlan 0-s):  Feltételezve, hogy ez egy FAE minta, becsüljük a hibás járművek arányát az egész gépkocsiállományon belül!  Modellünk most az, hogy az egyes mintaelemek várható értéke P:  Keressük azt a -t, amelyhez a mintaelemek a legközelebb esnek. Kvantitatív módszerek

Momentumok módszere  Momentum: a különféle átlagok és a szórásnégyzet általánosításának tekinthető, mert az Y i ismérvértékek vagy a d i eltérések helyett a alakú eltérések hatványait átlagolják, ahol „A” tetszőleges állandó. Jelölése:  Eloszlások paramétereinek becslésére szolgál.  Kiindulópontja: ismert típusú sokasági eloszlás paraméterei és momentumai kapcsolatba hozhatók egymással.  A tapasztalati momentumokat a mintából kiszámítjuk, egyenlővé tesszük a paraméterekkel kifejezett sokasági momentumokkal, és következtetünk a sokasági paraméterekre.  Másképpen: olyan sokasági momentumokat keres, amely mellett a sokaság és a minta megfelelő momentumai megegyeznek.  Konzisztens becslőfüggvényeket eredményez. Kvantitatív módszerek

Maximum likelihood módszer (ML)  Ismert sokasági eloszlást tételez fel, és e sokasági eloszlás ismeretlen paraméterét becsüli.  Jó tulajdonságú becslőfüggvényeket eredményez.  Az LF mutatja meg, hogy adott (ismert) eloszlás és különböző paraméterértékek esetében mennyire valószínű, hogy éppen a szóban forgó minta adódik a mintavétel eredményeképpen.  Ez a valószerűség az ismeretlen paraméter(ek) függvénye: likelihood függvény (LF).  LF ismeretében a feladat, olyan ismeretlen paraméter(eke)t keresni, amely(ek) mellett ez a függvény a maximumát veszi fel.  Eloszlásfüggő, konzisztens és hatásos, nem mindig létezik az LF- nek maximuma. Kvantitatív módszerek

Példa  Egy közúti ellenőrzés során a közlekedésrendészet úgy találta, hogy 20 véletlenszerűen kiválasztott gépkocsi közül 6 volt műszaki hibás (hibás 1-es, hibátlan 0-s):  Binomális eloszlású! Két paramétere van: n (rögzített) és P (becsülni kívánt)  Mi a valószínűsége annak, hogy az első mintaelem 1 lesz!  Tegyük fel, hogy ismerjük a becsülni kívánt P értéket, legyen:  A keresett feltételes valószínűség: hiszen y 1 egy paraméterű binomiális eloszlásból származó változó, így annak a valószínűsége, hogy 1-et vesz fel, éppen  Annak valószínűsége, hogy a második elem 0: Kvantitatív módszerek

Példa  Annak a valószínűsége, hogy egy paraméterű binomiális eloszlásból éppen ez a minta adódjék:  A likelihood függvény:  Mikor lesz maximális?  Adjunk a -nek (sokasági paraméternek) néhány feltételezett értéket! Kvantitatív módszerek 0,00,0000 0,10,0089 0,20,1091 0,30,1916 0,40,1244 0,50,0370

Grafikus paraméterbecslés Kvantitatív módszerek -ln[R(t)] t  Alapelve: az eloszlásfüggvény „kiegyenesítése”

Kvantitatív módszerek Intervallumbecslés Minta-2 Minta-1 Minta-3 mintáról mintára változik maga is valósz. változó adott elméleti eloszlással, szórással stb. jellemezhető Emlékeztető

Intervallumbecslés  Pontbecslés: az ismeretlen sokasági jellemző értékére egy mintából egyetlen pontot határoztunk meg, amely eleget tett valamilyen követelménynek.  Intervallumbecslés: a minta alapján olyan intervallumot határozunk meg, amely előre megadott (nagy) valószínűséggel tartalmazza a becsülni kívánt jellemzőt. Kvantitatív módszerek Ismerjük pontbecslésünk valószínűségi tulajdonságait, és ezek segítségével egy adott megbízhatóságú intervallumot adunk meg a sokasági paraméterre.

Kvantitatív módszerek Intervallum becslés – várható érték  Normális el. M(  )= , D(  )=  0 ismert n elemű FAE mintából számított számtani átlaggal becsüljük Normális eloszlás  (Mintavételi eloszlás)

Kvantitatív módszerek Várható érték (  ) becslése 2  -ás szabály f(x) 95,44%  -2  0 /  n  +2  0 / n 

Kvantitatív módszerek Várható érték (  ) becslése  

 Ha a sokaság elméleti szórása (σ 0 ) ismert, akkor az átlag mintavételi eloszlása alapján tetszőlegesen kicsiny α>0 számhoz meghatározható olyan z α/2 mennyiség, hogy  Minél nagyobb az 1-α=ε megbízhatósági szint, annál szélesebb intervallumot kapunk.  Az intervallum hossza függ a mintanagyságtól és a sokasági szórástól. Kvantitatív módszerek

Intervallum szélessége Sokasági szórás Mintaszám Megbízhatósági szint 

Várható érték becslése - szigma nem ismert  Feltétel: a sokaság normális eloszlású, de nem ismerjük sem a várható értéket (μ-t), sem a sokasági szórást (σ 0 -t).  Cél: becslést készíteni a várható értékre.  Az átlag továbbra is normális eloszlású  Az ismeretlen alapsokasági szórás (σ) becslésére a korrigált tapasztalati szórást használjuk fel (torzítatlan becslés.)  helyett Student eloszlású valószínűségi változó ν=n-1 szabadsági fokkal. Kvantitatív módszerek

Várható érték becslése - szigma nem ismert t-eloszlás:  Szimmetrikus DF  paramétere a szabadságfok (DF)  DF = n-1  nagy minták esetén közelít a standard normális eloszláshoz t-eloszlás:  Szimmetrikus DF  paramétere a szabadságfok (DF)  DF = n-1  nagy minták esetén közelít a standard normális eloszláshoz

Kvantitatív módszerek Példa n = 10 s* = 5,9 év  = 95%  = 5% kétoldali becslés  /2 = 2,5% t  /2 = 2,26 DF = n-1=9 Adjunk becslést az MBA-re járó női középvezetők életkorára!

Példa Kvantitatív módszerek Adjunk becslést a kávé tömegének várható értékére! (Omniás példa). 1. nap n = 50  = 95%  = 5%  /2 = 2,5% DF = n-1=49 t  /2 = 2,009

Példa Kvantitatív módszerek Adjunk becslést a kávé tömegének várható értékére! (Omniás példa). 2. nap n = 50  = 95%  = 5%  /2 = 2,5% DF = n-1=49 t  /2 = 2,009

Sokasági arány becslése  A sokaságon belül egyetlen (mennyiségi vagy minőségi) ismérv szerint 2 csoportba soroljuk a sokasági elemeket.  A sokasági arány: P  Torzítatlan becslőfüggvénye: Kvantitatív módszerek p = k/n Binomiális eloszlás M(p) = PD 2 (p) = P(1-P)/n Közelítjük normális eloszlással

Kvantitatív módszerek Példa n = 50 p = 8/50= 0,16  = 95%  = 5% kétoldali becslés  /2 = 2,5% z  /2 = 1,96  Adjunk becslést a 102g feletti töltések arányára! (Omniás példa) – 1. nap

Kvantitatív módszerek Példa n = 100 p = 10/100= = 0,1  = 95%  = 5% kétoldali becslés  /2 = 2,5% z  /2 = 1,96 Adjunk becslést az MBA-re járó női középvezetők arányára!

Sokasági variancia becslése  σ 2 torzítatlan becslése: korrigált tapasztalati szórás  Ekkor: változó n-1 szabadsági fokú chínégyzet-eloszlást követ.  A chínégyzet-eloszlás: független standard normális eloszlású változók négyzetei összegének eloszlása.  Egy paramétere van: ν, amely az összegezendő egymástól független valószínűségi változók számát jelenti.  Csak pozitív értékeken értelmezzük, balra aszimmetrikus, a szabadságfok növelésével közelít a normális eloszláshoz.  Következmény: a konfidencia intervallum nem lesz szimmetrikus a pontbecslésre! Kvantitatív módszerek

Sokasági variancia becslése Kvantitatív módszerek Normális el.  Normális el. M(  )= , D 2 (  )=  2 mintából becsüljük, s 2 s* 2 s 2 vagy s* 2 mintából becsüljük, s 2 s* 2 s 2 vagy s* 2  2 -eloszlású (Mintavételi eloszlás)  !! - csak pozitív értékekre értelmezett - nem szimmetrikus !! - csak pozitív értékekre értelmezett - nem szimmetrikus !!

Példa Kvantitatív módszerek kétoldali becslés Adjunk becslést a töltési tömeg szórására! (Omniás példa) – 1. nap n = 50  = 95% s* = 0,7183g DF = 50-1=49  = 5%  /2 = 2,5% 1-  /2 = 97,5%  2  /2 = 71,42  2 1-  /2 = 32,357

Példa Kvantitatív módszerek kétoldali becslés Adjunk becslést a töltési tömeg szórására! (Omniás példa) – 2. nap n = 50  = 95% s* = 0,841g DF = 50-1=49  = 5%  /2 = 2,5% 1-  /2 = 97,5%  2  /2 = 71,42  2 1-  /2 = 32,357

Kvantitatív módszerek Példa n = 10 s* = 5,9 év  = 95%  = 5% kétoldali becslés  /2 = 2,5%  2  /2 = 19,0 1-  /2 = 97,5% DF = n-1=9  2 1-  /2 = 2,7 Adjunk becslést a női középvezetők életkorának szórására!

Két várható érték különbségének becslése  Két sokasági jellemzőt hasonlítunk össze úgy, hogy két minta áll rendelkezésünkre, és e két mintából következtetünk a két sokasági várható érték különbségére.  Feltétel: a két sokaság független.  független minták  Mintanagyságok: n 1 és n 2  A két várható érték: μ 1 és μ 2  Feladat: a két várható érték különbségének becslése.  Két eset:  Ismertek a sokasági varianciák (σ 1 2 és σ 2 2 )  A sokasági varianciákat a mintákból kell becsülni. Kvantitatív módszerek

Két várható érték különbsége Kvantitatív módszerek Feltételezzük, hogy az alapsokaságok normális eloszlásúak, így a várható értékek különbsége is normális eloszlású. Ismertek a sokasági varianciák (σ 1 2 és σ 2 2 ) torzítatlan becslést ad

Kvantitatív módszerek Két várható érték különbsége Nem ismertek a sokasági varianciák Feltételezzük, hogy az alapsokaságok normális eloszlásúak, és a két szórásnégyzet megegyezik. Így kombinált becslést készítünk a közös szórásnégyzetre: Az ismeretlen sokasági szórásnégyzet torzítatlan becslőfüggvénye

Példa Kvantitatív módszerek Adjunk 95%-os becslést a töltési tömegek várható értéke közötti különbségre! (Omniás példa) – 1. és 2. nap n = 50 s* = 0,7183 g 1. nap 2. nap n = 50 s* = 0,841g

Kvantitatív módszerek Példa n = 10 s* = 5,9 év nők férfiak n = 22 s* = 6,7 év Adjunk 95%-os becslést az MBA-re járó női és férfi középvezetők átlagéletkorának különbségére!

Két sokasági arány különbsége Kvantitatív módszerek A minta akkor elég nagy, ha a intervallumok nem tartalmazzák sem a 0-t sem az 1-et Két sokaságban egy adott tulajdonsággal rendelkező egyedek arányát kívánjuk összehasonlítani. Elég nagy minták esetén a mintabeli arányok különbsége (p 1 -p 2 ) normális eloszlású

Példa Kvantitatív módszerek Adjunk 95%-os becslést a 101 g feletti töltési tömegek arányának különbségre! (Omniás példa) – 1. és 2. nap 1. nap n 1 = 50 k 1 = 35 p 1 = 35/50=0,7 n 2 = nap k 2 = 6 p 2 = 6/50=0,12

Kvantitatív módszerek Példa n 2 = 41 nők férfiak n 1 = 59 k 1 = 22 p 1 = 22/59=0,373 k 2 = 10 p 2 = 10/41=0,244 Adjunk 95%-os becslést az MBA-re járó női és férfi középvezetők arányának a különbségére!

Mintaszám meghatározása  Eddig feltételeztük, hogy rendelkezésünkre áll egy adott elemszámú minta  a minta alapján kiszámoltuk az elméleti paramétert adott valószínűséggel tartalmazó intervallum határait.  Az intervallum függ: minta elemszáma, megbízhatósági szint, sokasági szórás  Fordítva is eljárhatunk: mekkora mintára van szükség, hogy egy adott pontosságot (Δ-t) elérjünk.  Adott Δ mellett megadható az az n érték, melynél teljesül a megadott érték: Kvantitatív módszerek Δ

Mintaszám meghatározása Sokasági arány becslésénél: Két várható érték különbsége: Két sokasági arány különbsége:

Kvantitatív módszerek Példa Mekkora mintát kell vennünk, hogy az MBA hallgatók között 10% eltéréssel tudjuk kimutatni a középvezető nők és férfiak arányának különbségét? n 2 = 41 nők férfiak n 1 = 59 k 1 = 22 p 1 = 22/59=0,373 k 2 = 10 p 2 = 10/41=0,244 Mintanagyság:

Gyakorló példa Egy fogyasztási cikket árusító bolt valamely cikkre vonatkozó naponkénti értékesítési forgalmát 15 véletlenszerűen kiválasztott napon a következő számok mutatják darabban: 125, 142, 153, 130, 140, 170, 152, 125, 137, 152, 166, 172, 145, 131, 147 Tegyük fel, hogy ez a minta egy normális eloszlásból vett FAE mintának tekinthető, sőt korábbi tapasztalatok alapján azt is tudjuk, hogy a változó szórása 15,3. Adjunk 95%-os megbízhatósággal intervallumbecslést az ismeretlen sokasági várható értékre! Kvantitatív módszerek

Gyakorló példa A félliteres zacskós tejet automata csomagolja, és becsülni kívánjuk az automatán beállított átlagos töltési mennyiséget. Mintánk (FAE) mérési eredményei milliliterben: 495, 501, 503, 480, 485, 499, 510, 502, 492, 503 Feltételezzük a töltőmennyiség normális eloszlását, továbbá azt, hogy a töltőgép teljesítményének szórása korábbi tapasztalatok alapján 9 milliliter. Készítsünk 90%-os megbízhatósággal intervallumbecslést a beállított átlagos töltési mennyiségre! Kvantitatív módszerek

Gyakorló példa Oldjuk meg az előző példát úgy, hogy nem ismerjük a sokasági szórást! Készítsünk intervallumbecslést ugyancsak a várható értékre 90%-os megbízhatósággal! Kvantitatív módszerek

Gyakorló példa Egy laboratóriumban valamely hatéves korban beadandó védőoltás dózisának összeállításához 100 FAE módon kiválasztott gyermek testsúlyát mérte meg. A testsúly normális eloszlású valószínűségi változónak tekinthető. A mintából számított áltag: 20 kg, szórás: 1,78kg. Becsülje meg 95%-os megbízhatósági szinten: a 6 éves gyermekek átlagos testsúlyát a 21kg-nál súlyosabb gyermekek arányát Mekkora mintára van szükség, ha az átlagbecslés hibáját a felére akarjuk csökkenteni? Mekkora mintára van szükség, ha az átlagbecslés pontosságát 99%-os megbízhatósági szinten kívánjuk biztosítani? Kvantitatív módszerek Testsúly (kg)Gyermekek száma (fő) 15, , , , ,1-257 összesen100

Gyakorló példa  A népszavazási kezdeményezéseket aláírás alapján tekintik érvényesnek. Az aláírások hitelességét mintavételes technikával ellenőrzik. Egy alkalommal egy kérdésben aláírást gyűjtöttek össze. Egy 3000 elemű FAE minta alapján a hiteles aránya 70%- Az számít hitelesnek, aki csak egyszer szerepel a mintában és létezik, illetve az adott névhez tartozik a megadott személyi azonosító és lakcím.  Tekinthető-e érvényesnek 99%-os megbízhatósággal a kezdeményezés?  Hány hiteles aláírásnak kell lennie a mintában, hogy 99%-os megbízhatósággal egyértelműen hitelesnek nyilvánítható legyen a kezdeményezés? Kvantitatív módszerek

Gyakorló példa  Egy 400 g-ra beállított mosópor-csomagoló automatának kívánjuk a pontosságát ellenőrizni. Előző adatfelvételek alapján feltételezhető, hogy a gép által töltött súly normális eloszlású valószínűségi változó, 10g szórással.  Mekkora minta szükséges az átlagos töltőmennyiségi becsléséhez ±5g pontossági követelmény és 95%-os, illetve 98%-os megbízhatóság mellett?  ±10g pontosság és 95%-os megbízhatóság mellett? Kvantitatív módszerek

Gyakorló példa A légi közlekedésben mintavételes technikával ellenőrzik az utasok átlagos testsúlyát (feltételezzük annak normális eloszlását). Egy 100 elemű minta eredménye: Átlag=78,6 kg Szórás=12,187 kg Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal az utasok testsúlyának átlagát és szórását! Becsülje meg 95%-os megbízhatósággal a 80 kg feletti utasok arányát! Mekkora mintára lenne szükség az átlag- és aránybecslésnél, hogy a hibát a felére csökkentsük? Kvantitatív módszerek Testsúly (kg)Utasok száma (fő)

Gyakorló példa  Különböző gyártmányú tehergépkocsikat működtetők közül függetlenül, véletlen mintát vettek az átlagéletkor különbségének a becsléséhez:  Adjunk becslést 99%-os megbízhatósággal az átlagéletkor különbségére!  Mekkora mintára lenne szükség, ha a becslés hibáját a harmadára kívánjuk csökkenteni? Kvantitatív módszerek GyártmányElemszámÁtlag életkor Életkor szórása A70124,5 B708,74,2