A Fizikai összefüggések származtatásának alapjai

Az előadások a következő témára: "A Fizikai összefüggések származtatásának alapjai"— Előadás másolata:

1 A Fizikai összefüggések származtatásának alapjai
dr. Majár János

2 célok, megjegyzések A fizikai összefüggések helyes felírásához szükséges tudások átadása Minta-gyakorlatok kidolgozása, melyek segítségével ezek használata fejleszthető Ezek segítségével a feladatmegoldás során a részeredmények és a formális végeredmény is ellenőrizhető (ellenőrizendő) Az érintett területek rövid, összefoglaló bemutatása Az egyes diák elkészítésénél igyekeztem csak olyan funkciókat használni, amelyek csak az alapprogramra építenek.

3 Tartalom Vektorokkal végzett műveletek (koordinátarendszerben is)
Vektorok, azok felírása derékszögű Descartes-koordinátarendszerben Vektorokkal végzett műveletek (koordinátarendszerben is) Vektorok és skalárok között végzett helyes műveletek kiválasztása Mértékegységek, azok helyes használata a számolások során Prefixumok, mértékegységek átváltása Példaként alapvető fizikai mennyiségek, azok mértékegységei, meghatározásuk a Mechanika területéről Gyakorlatok – ezek tényleg csak mintául szolgálnak, ezek alapján hasonlóak könnyedén kidolgozhatóak, a mennyiségek felírása után más tudományterület esetében is.

4 a Vektor FOGALMA Vektor: Hossz + Irány Félkövér betűvel jelölve Számok (skalárok) dőlt betűvel jelölve Megjegyzés: ezen vektorok mindegyike ugyanaz a vektor, mivel hosszuk és irányuk azonos a Egységvektorok derékszögű Descartes-koordinátarendszerben: y A választott koordinátarendszerben: i: az x tengely irányába mutató egységvektor j: az y tengely irányába mutató egységvektor k: a z tengely irányába mutató egységvektor Megjegyzés: egységvektor: 1 (egységnyi) hosszúságú vektor j i x k z

5 VEKTOROK DERÉKSZÖGŰ DESCARTES-KOORDINÁTA-RENDSZERBEN
Megjegyzés: bár később lesz részletezve, az itt látható számolásokhoz szükségesek a vektorok összeadására és számmal való szorzására vonatkozó ismeretek (lásd később) y a j i x k z Jól láthatóan a=5i+2j+3k, ezzel egyenértékű, hogy a=(5, 2, 3). Általában, ha a=ax i+ay j+az k, akkor ehelyett a koordinátarendszerben úgy írjuk fel, mint a=(ax , ay , az ).

6 Derékszögű Descartes-rendszerben
Vektorok összeadása és kivonása Összeadás: Vektor + Vektor = Vektor Derékszögű Descartes-rendszerben c=a+b=(cx , cy , cz ), ahol cx = ax + bx , cy = ay + by , cz = az + bz . a vagy c=a+b b Kivonás: Vektor - Vektor = Vektor d=a-b=(dx , dy , dz ), ahol dx = ax - bx , dy = ay - by , dz = az - bz . a d=a-b vagy d=a+(-b) b

7 Derékszögű Descartes-rendszerben
Vektor szorzása számmal Derékszögű Descartes-rendszerben Skalár * Vektor = Vektor Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jelét elhagytuk, így c=μa c= μa =(cx , cy , cz ), ahol cx = μ ax , cy = μ ay , cz = μ az . -1 > μ: irány ellentétes hossz nő μ > 1: irány azonos hossz nő a μ = 1: irány azonos hossz azonos μ = -1: irány ellentétes hossz azonos 1 > μ > 0: irány azonos hossz csökken μ = 0: Az eredmény nullvektor c c c c 0 > μ > -1: irány ellentétes hossz csökken c c c μ > 1 μ = 1 1> μ > 0 μ = 0 -1 > μ μ = -1 0 > μ > -1

8 Derékszögű Descartes-rendszerben
Vektor szorzása vektorral – a skaláris szorzás Vektor * Vektor = Skalár Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jele a ‘·’, így a·b = μ = |a||b|cosγ , Derékszögű Descartes-rendszerben μ = a·b = ax bx + ay by + az bz , vagyis így |a|2= a·a= ax2 + ay2 + az2 , a γ b ahol |a| az a vektor hossza, és kiszámolható, mint (b-re hasonló): |a|2= a·a , illetve cosγ = a·b / (|a||b|).

9 Derékszögű Descartes-rendszerben
Vektor szorzása vektorral – a vektoriális szorzás Vektor * Vektor = Vektor Megjegyzés: ennél a szorzásnál a szorzás jele a ‘×’, így a×b = c , ahol - |c| = |a||b|sinγ Derékszögű Descartes-rendszerben c=a×b=(cx , cy , cz ), ahol cx = aybz - azby , cy = azbx - axbz , cz = axby - aybx . - c merőleges a-ra és b-re - a, b és c ebben a sorrendben jobbkéz-szabály a γ c b

10 Derékszögű Descartes-rendszerben
Megjegyzések Derékszögű Descartes-rendszerben Skaláris szorzás szélsőhelyzetei 1. a azonos irányú b-vel: γ = 0 -> a·b = μ = |a||b| 2. a merőleges b-re: γ = 90° -> a·b = μ = 0 3. a ellentétes irányú b-vel: γ = 180° -> a·b = μ = - |a||b| Ha a skaláris szorzat értéke 0, a két vektor merőleges (egyik sem nullvektor). -> Egyszerű feltétel, ha koordinátákkal számolunk. Vektoriális szorzás szélsőhelyzetei 1. a párhuzamos b-vel: γ = 0 -> |c| = 0, c nullvektor 2. a merőleges b-re: γ = 90° -> |c| = |a||b| Ha a vektoriális szorzat vektor mindegyik komponense 0, a két vektor párhuzamos (egyik sem nullvektor). -> Egyszerű feltétel, ha koordinátákkal számolunk. Vektoriális szorzás fordított sorrendben Mivel a, b és c ebben a sorrendben jobbkéz-szabály szerint kell működjön, ha megfordítjuk a sorrendet: a×b = - b×a . Ha a vektoriális szorzatot komponensenként felírjuk, ez a szabály jól láthatóan teljesül a két vektor szerepének felcserélésekor.

11 Approved Műveletek vektorok és skalárok között
Skalár ± Skalár = Vektor Skalár ± Skalár = Skalár Vektor ± Skalár = Bármi Vektor ± Vektor = Vektor Vektor ± Vektor = Skalár Skalár * Skalár = Skalár Skalár * Vektor = Skalár Approved Skalár * Vektor = Vektor Bármi / Vektor = Bármi Vektor · Vektor = Vektor Vektor · Vektor = Skalár Skalár · Vektor = Bármi Vektor × Vektor = Vektor Vektor × Vektor = Skalár Vektor × Skalár = Bármi

12 Jele és vektor/skalár jellemző
Fizikai mennyiségek és mértékegységeik (Mechanika) Mennyiség Jele és vektor/skalár jellemző Mértékegység Elmozdulás r m (méter) Idő t s (másodperc) Sebesség v m/s Gyorsulás a m/s2 Szögelfordulás* φ (kis phi) radián, számolásokban ‘1’ Szögsebesség* ω (kis omega) 1/s Szöggyorsulás* β (kis beta) 1/s2 Tömeg m kg (kilogramm) Lendület (impulzus) I (vagy p) kg m/s Erő F N (Newton) Perdület L kg m2/s Forgatónyomaték M Nm Energia E J (Joule) Munka W J Teljesítmény P W (Watt) Tehetetlenségi nyomaték* Θ (nagy theta) kg m2 Sűrűség ρ (kis rho) kg/m3 Nyomás p Pa (Pascal) * Ezek a mennyiségek bevezethetőek vektorként, illetve tenzorként (tehetetlenségi nyomaték), de jelen anyagban ezeket skalárként kezeljük.

13 Mértékegységek helyes kezelése
A mértékegységek szorzás során összeszorzódnak A mértékegységek osztás során ugyanúgy osztandóak egymással, mint a mennyiségek Differenciálás során a derivált mennyiség mértékegységét osztjuk a változó mértékegységével Integrálás során az integrált mennyiség mértékegységét szorozzuk a változó mértékegységével Csak azonos mértékegységű mennyiségek adhatóak össze, vagy vonhatóak ki egymásból! Egy egyenlet két oldalán azonos mértékegységű mennyiségek állhatnak! Egy-egy mennyiség mértékegysége kikövetkeztethető a meghatározásából. Egy adott fizikai mennyiség mértékegysége jelölhető úgy is, hogy a mennyiség jelét [ ] rázójelek közé írjuk, például a sebesség mértékegysége m/s, vagy [v].

14 Geometriai összefüggések és mértékegységek
Mennyiség Jele, meghatározása Mértékegység Hosszúság, Kerület …, K m Terület, Felszín T, A m2 Térfogat V m3 Kör (r sugár) kerülete 2r π Kör (r sugár) átmérője d = 2r Kör (r sugár) területe r2 π Téglalap (a,b oldalhosszak) kerülete 2(a+b) Téglalap (a,b oldalhosszak) területe ab Háromszög (a oldal, ma magasság) területe ama /2 Téglatest (a, b, c oldalhosszak) felszíne 2(ab + bc + ac) Téglatest (a, b, c oldalhosszak) térfogata abc Henger (r sugár, m magasság) felszíne 2r2 π+m2r π Henger (r sugár, m magasság) térfogata r2 π m Gömb (r sugár) felszíne 4r2 π Gömb (r sugár) térfogata 4r3 π/3

15 Meghatározások és mértékegységek
Mennyiség Meghatározása Mértékegység Sebesség v = dr/dt m/s Gyorsulás a = dv/dt, illetve g a gravitációs gyorsulás m/s2 Szögsebesség ω = dφ/dt 1/s Szöggyorsulás β = dω/dt 1/s2 Lendület (impulzus) I = mv kg m/s Erő F = ma 1N = 1kg m/s2 Perdület L = r × I kg m2/s Forgatónyomaték M = r × F Nm Energia (példaként mozgási energia) E = ½ mv2 1J = 1kg m2/s2 Munka W = ∫Fdr 1J = 1Nm Teljesítmény P = dE/dt 1W = 1J/s = 1kg m2/s3 Tehetetlenségi nyomaték Θ = ∫ρr2dV, egyszerűbben Θ = mr2 kg m2 Sűrűség és tömeg m = ∫ρdV, egyszerűbben m = ρV kg Nyomás p = F / A 1Pa = 1N/m2 Megjegyzés: a fenti meghatározásokban szerepel néhány olyan mennyiség, amely alaphelyzetben vektor, itt mégis skalárként van feltűntetve (például sebesség a mozgási energiában, vagy erő a nyomásban). Ekkor a skalár nem más, mint a vektor hosszát jellemző szám, vagyis ezekben az esetekben csak a vektorok hosszára van szükségünk.

16 Prefixumok, átváltások
Jele Szorzó 10 hatvány deka- d(a) tíz 101 hekto- h száz 102 kilo- k ezer 103 mega- M millió 106 giga- G milliárd 109 tera- T billió 1012 peta- P billiárd 1015 exa- E trillió 1018 Prefixum Jele Szorzó 10 hatvány deci- d tized 10-1 centi- c század 10-2 milli- m ezred 10-3 mikro- μ milliomod 10-6 nano- n milliárdod 10-9 piko- p billiomod 10-12 femto- f billiárdod 10-15 atto- a trilliomod 10-18 Fontos ezeken felül az idő mérték átváltásánál: 1 h (óra) = 60 min (perc) 1 min (perc) = 60 s (másodperc) Illetve a szögek átváltásánál fok és radián között: 1 fok = π/180 radián, vagyis 1° = π/180 1 radián = 180/π fok, vagyis 1 = 180°/π A térfogatmérték átváltásánál: 1 l (liter) = 1 dm3

17 Gyakorlat I. g + k = p g * k = p g × k = a g + k = p d * k = p
Az alábbi vektorösszefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a vektor, illetve skalár tulajdonságok alapján? g + k = p g * k = p g × k = a g + k = p d * k = p g · k = μ g + k = μ g × k = μ g · k = x g · k = μ g × k = p g - k = p g - k = μ

18 Gyakorlat II. 1 kg/l = 1000 g/cm3 1000 kg/m3 = 1 kg/dm3
Az alábbi mértékegység-átváltások közül melyek helyesek, és melyek nem? 1 kg/l = 1000 g/cm3 1000 kg/m3 = 1 kg/dm3 1 kg/dm3 = 1000 kg/cm3 3,6 m/s = 1 km/h 1 kg = 1000 g 1 m/s = 3600 km/h 3,6 m/s = 1000 km/h 1000 kg/m3 = 1 g/cm3 1 μg = 10-9 kg 1 m/s = 3600 m/h 1 kg/m3 = 1 g/cm3

19 Gyakorlat III. [m/V] kg/m3 [ρ] m5 [β] [a] / [r] [ρ] [φ/(2t2)] [ρ V r2]
Mely mértékegységek tartoznak össze? Az összetartozók összekötendők. Megjegyzés: a szögletes zárójelben lévő kifejezéseknek a mértékegységét kell használni, vagyis például [E] helyére J (joule) írandó, vagy [s/t] helyére m/s mértékegység. [m/V] kg/m3 [ρ] m5 [β] [a] / [r] [ρ] [φ/(2t2)] [ρ V r2] [L] [mvr] kgm2/s [Θ ] g/cm3 1/s2 kg[r] 2[ω] kg m2

20 Gyakorlat IV. E = m v2/2 + m/r E = Θ ω2/2 p = ma/A
Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek egyeztetése alapján? E = m v2/2 + m/r E = Θ ω2/2 p = ma/A W = m v2/2 + ρ V g h M = m g2 r2 L = Θ v2 t / A V = a t p = ρ g V M = E β t2 v = m V / (Θt) + at P = W / t2 ω = β t2 + φ t

21 Gyakorlat V. s = β r t2/2 + ω0 r t N*m = kg*m2/s2 = kg*m/s2 *m
Az adott fizikai összefüggéshez tartozik egy vektortulajdonságokat, és egy mértékegységeket egyeztető elem. Ezeket kellene összekötni! s = β r t2/2 + ω0 r t N*m = kg*m2/s2 = kg*m/s2 *m skalár = skalár4 W = m * r · d2r/dt2 kg*m2 = kg/m3*m2*m3 vektor = skalár*vektor × vektor |M| = Θβ W = N*m/s = kg*m2/s3 skalár = skalár2 p = ρVg /A kg*m2/s = kg*m*m/s = [Θ]*[ω] skalár = vektor · vektor P = F · v Pa = N/m2 = kg/m3*m3*m/s2/m2 skalár = skalár3/skalár L = m r × v m = m*1/s2 *s2+1/s *m*s skalár = skalár * vektor · vektor J = kg*m*m*1/s2 = kg*m2/s2 skalár = skalár4 + skalár3 Θ = ∫ρr2dV

22 Gyakorlat VI. F = W / r p = ρ V |g| / A ω = L / Θ p = F / A
Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek és vektor-tulajdonságok egyeztetése alapján? F = W / r p = ρ V |g| / A ω = L / Θ p = F / A E = m v2/2 + ρ |g| h I = m*dr/dt |L| = Θ ω r = g t2/ 2 + v0 t P = W / t I = m · v E = Θ ω2/2

23 Gyakorlat VII. |m r × v| = Θ ω |F| r = ρ r2 V β dF/dt = M × r
Az alábbi összefüggések közül melyek helyesek, és melyek nem a mértékegységek és vektor-tulajdonságok egyeztetése alapján? |m r × v| = Θ ω |F| r = ρ r2 V β dF/dt = M × r ρ g · h = F / A Θ / m = a2/t4 + It/m I2/(2m) = mr2ω2/2 dI/dt = dm/dt v + ma dW/dt = F · v F · r - m |g| h = m v2/2 p1 + ρ1 g h1 = p2 + ρ2 g h2 r / t2 = F/(2m) + I0/(mt)

24 KÖSZÖNÖM A FIGYELMET!