Zene és matematika – tűz és víz?

Az előadások a következő témára: "Zene és matematika – tűz és víz?"— Előadás másolata:

1 Zene és matematika – tűz és víz?
Szabadka, augusztus 12. Béres Zoltán

2 Előzetes megjegyzések az előadáshoz
tudományos vagy szórakoztató? lehet-e ezt tanítani? nem lesz szó: a XX. század második felében megjelenő zenei irányzatokról az Európán kívüli zenékről nem lesz zenei hangzó anyag

3 Tartalom (1/2) I. Püthagorasz és a többiek II. A pszichológiai oldal
III. A hang IV. Hangsorok V. Hangközök VI. A hangok hossza

4 Tartalom (2/2) VII. Formák – transzformáció és aranymetszés VIII. Az ókori görög paradoxonok feloldása IX. Matematikai szöveg és zene X. A kotta mint függvény XI. Az elemző agy XII. Érzelem vagy értelem

5 I. Püthagorasz és a többiek
matematika zene

6 Püthagorasz (Kr.e. 570 k.–496) arányok:  zene  matematika

7 Anicius Manlius Severinus Boëthius
(480?–524) A tanítványaival (1385) A középkori skolasztika egyik megalapítója Institutio arithmetica (Aritmetikai bevezetés) Institutio musica (Zenei bevezetés)

8 Gottfried Wilhelm Leibniz
(1646–1716) „A zene a lélek matematikai gyakorlata.”

9 Marin Mersenne (1588–1648) „az akusztika atyja”
Traité de l'harmonie universelle (1627)

10 Leonhard Euler (1707–1783) Tentamen novae theoriae musicae (1739)
„A zene több, mint pusztán matematikai gyakorlat. Feltárja és felszabadítja agyunk rejtett nemlineáris dinamikáját.”

11 Joseph-Louis Lagrange
(1736–1813) „…[a zene] elszigetel a környezetemtől; az első három ütem meghallgatása után a negyediknél már semmit sem látok, átengedem magam gondolataimnak, s több nehéz problémát ilyen állapotban sikerült megoldanom.”

12 James Joseph Sylvester
(1814–1897) „A zene az érzelem matematikája, a matematika az értelem zenéje.”

13 Maróthi György (1715–1744) Arithmetica, vagy számvetésnek mestersége (1743)  kb. 200 évig használták Soltároknak a kóták szerént való éneklésének mesterségének rövid summája (1740)  az első magyar nyelvű zeneelméleti munka

14 A két Bolyai Bolyai Farkas (1775–1856)  zeneelmélet Bolyai János
(1802–1860) hegedűjátékos Muzsikatan – dolgozat

15 Rátz László (1863–1930) matematika-fizika szakos tanár, a KÖMAL szerkesztője  a Dal és Zene Egyesület elnöke

16 Fejér Lipót (1880–1959) matematikus, az MTA tagja
 kiváló zongorista volt

17 Bonifert Domonkos (1942–2002) matematika-fizika-ének szakon végzett a Szegedi Tanárképző Főiskolán 1964-ben

18 Darvas Ferenc (1946 –) (színpadi) zeneszerző, zongorakísérő, Erkel-díjas  fejszámolóművész

19 Freud Róbert (1947–) algebra tanár (ELTE)  kiváló zongorista

20 Gyüdi Sándor (1959–) matematika–fizika szakos középiskolai tanár
Ma (2010): a Szegedi Szimfonikus Zenekar vezető karmestere Ma (2015): a Szegedi Nemzeti Színház főigazgatója

21 Harcsa Veronika (1982 –) 2001-ben érettségizett a Fazekas Mihály Gyakorló Gimnázium speciális matematika tagozatán  dzsesszénekes

22 Vajon ez véletlen?

23 II. A pszichológiai oldal
Jobb oldal: -- minták -- formák -- humor -- zene -- tánc -- képzelőerő -- téri képességek Bal oldal: -- nyelv -- logika -- számolás -- fogalom-alkotás

24 A Mozart-hatás (1993) A kísérleti alanyok intelligencia-tesztet (tér–idő feladatokat) töltöttek ki, miközben: Mozart-szonátát, ismétlődő relaxációs zenét hallgattak, illetve nem hallgattak semmit. Eredmény: A Mozartot hallgatók 8-9 ponttal jobb eredményt értek el.

25 Nem létezik a „Mozart-hatás”
A Bécsi Egyetem Pszichológiai Alapkutatások Intézetének szakértő csoportját Jakob Pietschnig vezette. A kutatás során nem tudták bizonyítani a zene hatását a térbeli képzelőerőre. Pietschnig: „Mindenkinek ajánlom Mozart zenéjét, de a kognitív teljesítőképesség javulásához fűzött elvárások nem teljesülnek a komponista művei által” – fogalmazott Pietschnig. (HVG, május 5.)

26 A zenehallgatás hatása
Azok a diákok, akik ütem per perc sebességű klasszikus zenét hallgattak tanulás közben, például Beethoven Für Elise-ét, 12 százalékkal jobban teljesítettek matematikadolgozatnál, tehát egy egész jeggyel jobbat kaptak – állítja Emma Gray klinikai szakpszichológus. ( )

27 A Kodály-módszer Kodály-módszeren alapuló Látható hangok elnevezésű, gyermekek számára kifejlesztett zeneoktatás -> „A zenei képzés hosszú távú hatásai között a kutatók a matematikai készségek és a kreativitás fejlődését is megfigyelték.” (mta.hu, ) Honbolygó Ferenc

28 Gombás Judit és Stachó László: Matematikai és zenei képességek vizsgálata éves gyerekeknél (2006) A matematikai képességek korrelálnak a zenei képességekkel. Különösen a problémamegoldó képesség van szoros kapcsolatban a ritmusérzékkel. Az előzetes zenetanulás évei korrelációban van a matematikai megértéssel kapcsolatos teszt eredményeivel. (

29 III. A hang

30 A zenei hang a hangerő a hangszín a hangmagasság

31 A hangszín trombita fagott hangvilla
A fülünk érzékeli a hanghullám mintáját. Vajon mitől vannak ezek a minták?

32 Felhangok – A húr rezgése
1. felhang (alaphang) 2. felhang (sin 2x+cos 2x) 3. felhang (sin 3x+cos 3x) 4. felhang (sin 4x+cos 4x) 5. felhang (sin 5x+cos 5x) 6. felhang (sin 6x+cos 6x) 7. felhang (sin 7x+cos 7x)

33 Jean Baptiste Joseph Fourier
(1768–1830) A rezgő húr és a hővezetés problémája Fourier-tétel: Minden rezgőmozgás felbontható harmonikus rezgőmozgá-sok összegére. Következmény: Minden hangszín végtelen sok felhangra bontható. A tétel zenei hangokra vonatkozó következménye előbb volt ismert, mint maga a tétel.

34 Mit is jelent ez az előállítás?
p(t) = a0 + a1 cos(wt) + b1 sin(wt) a2cos(2wt) + b2 sin(2wt) + a3 cos(3wt) + b3 sin(3wt) + ... Rajzoltassuk meg egy rajzolóprogrammal a következő függvényeket: y1=1-0,3*cos(x)-0,2*sin(x) y2=1-0,3*cos(x)-0,2*sin(x)+0,7*cos(2x)-0,2*sin(2x) y3=1-0,3*cos(x)-0,2*sin(x)+0,7*cos(2x)-0,1*sin(2x) -0,6*cos(3x)-0,2*sin(3x)

35 Felhangok – egy kis akusztika

36 IV. Hangsorok

37 A szorzási szabály t 5 + t 4 = t 8 pl. c–g és g–c’ = c–c’ t 8 = [2/1]
dó : szó = 2 : 3 => szó = dó · (3/2) szó : dó’ = 3 : 4 => dó’ = szó · (4/3) dó’ = (dó · (3/2)) · (4/3) = dó · ((3/2) · (4/3)) Mit jelentene az arányok osztása?

38 Egy versenyfeladat Matematika Határok Nélkül, 2000/2001, próbaforduló
2. feladat: Aurélie pánsípot szeretne készíteni tíz sípból, melyek a dó-ré-mi-fá-szó-lá-ti-dó’-ré’-mi’ megszólaltatására alkalmasak. A legmélyebb hang megszólaltatására szolgáló síp 16 cm hosszú. Ha egy tetszőleges hosszúságú sípot megfelezünk, egy oktávval magasabban szóló hangot kapunk (pl. dó-dó’). Ha egy tetszőleges hosszúságú síp 2/3-át vesszük, így egy kvinttel magasabban hangzó síphoz jutunk (pl. dó-szó vagy ré-lá). Számítsátok ki a 10 síp hosszát, állítsátok nagyság szerinti sorrendbe, és rajzoljátok le eredeti nagyságban Aurélie pánsípját! Az egyes sípok átmérője 1 cm.

39 A feladat megoldása: d – r – m – f – s – l – t – d’ – r’ – m’ 16 s = 16 · 2/3 = 32/3 r = (32/3) : (3/4) = 32 ·4 : (3 · 3) = 128/9 l = 128/9 · 2/3 = 256/27 m = (256/27) : (3/4) = 256 ·4 : (27 · 3) = 1024/81 t = 1024/81 · 2/3 = 2048/243 De mi lett a szomszédos hangok aránya? f = 16 · 3/4 = 48/4 = 12

40 Püthagoraszi hangsor d – r – m – f – s – l – t – d’
Püthagoraszi limma: m–f, t–d A zenetörténetben megjelentek a funkciók (I,IV,V) és ettől a püthagoraszi hangsor a háttérbe szorult.

41 „Tisztítsuk ki” a fő funkciókat!
d – r – m – f – s – l – t – d’ T: d – m – s Ok S: f – l – d’ Ok D: s – t – r’ Ok Hurrrrrrá! Most már minden rendben van?

42 Énekeljünk nagy szekundot! (dó – ré)
Mekkorát lépjünk? 1. eset szó : dó = 4 : 3 szó : ré = 3 : 2 2. eset lá : dó = 6 : 5 lá : ré = 4 : 3 Más baj is van… Mi a megoldás?

43 A 12-fokú temperált hangsor
dó = C 2C = C · q12 Cisz = C · q 2 = q12 D = Cisz · q = (C · q) · q = C · q2 Disz = ... = C · q3 ... C’ = C · q12

44 Mi változott? 9/8 = 1, nagy szekund 10/9 = 1,111… -- nagy szekund 16/15 = 1,0666… -- kis szekund helyett: kis szekund: nagy szekund:

45 A háromféle nagy szekund
arány az arány tizedes törtben kifejezve 1,111 1,1225 1,125 elnevezés (magyar) kis egész hang temperált egész hang nagy egész hang (latin) tonus minor tonus maior

46 A temperált hangsor – pro és kontra
veszteség lista: az oktávon kívül nincs akusztikailag tiszta hangköz. pl. a kvint 3/2 aránya a temperálással: lesz az 1,5 helyett. nyereség lista: az összes hangnem egyformán alig-hamis, vagyis egyformán elfogadható.

47 Miért éppen 12 fok? ha több lenne: nehezen tudnánk megjegyezni a dallamokat (lásd: indiai zene – 24-fokú) ha kevesebb lenne: nem lenne elég kombinációs lehetőség a dallamok szerzésére (lásd: egészfokú skála) „Az európai kultúra azért tudott közel 2600 év alatt ilyen magaslatokra jutni a zenében, mert Püthagorasz felfedezését, hogy összefüggés van a geometriai méretek és arányok, valamint a hangmagasság között, rendszerré tudta szervezni.” (Pap János)

48 És mi a helyzet az ötfokú hangsorral?
d – r – m – f – s – l – t – d’ d – r – m s – l d’ d – r f – s – l d’ r – m s – l – t r f – s – l – t

49 V. Hangközök

50 Konszonancia és disszonancia
Minél több felhang esik egybe, annál kellemesebb érzetet kelt. c és g c és e c és d

51 Konszonancia Már a püthagóreusok is megfogalmazták azt, hogy a kis (természetes) számokkal leírható hangközök szólnak jól. A t8, t5, t4, n3, k3, n6, k6 (t1) hangközök számítanak konszonánsnak a klasszikus zeneelméletben.

52 Különbségi hangok 1.  orgonaépítés
Az énekkar tiszta intonációjának hatására „olyan hangok szólalnak meg, amelyeket a kórus nem is énekel”. (Kodály)  orgonaépítés

53 Különbségi hangok 2.

54 VI. A hangok hossza

55 Milyen értékű hang hiányzik az ütemből?
A törtek tanítása Ritmus-egyenletek Milyen értékű hang hiányzik az ütemből?

56 Pontozott hangok Egy elméleti kérdés:
Hány pontot kell tennem a félhang után, hogy az értéke legalább egész legyen?

57 Nem csak felezni lehet!

58 VII. A zenei formák

59 Geometriai transzformációk a zenében 1.
Eltolás a zenében: kánon, imitáció, szekvencia Tengelyes tükrözés: tükörkánon, inverzió Középpontos tükrözés: rákkánon Hasonlóság – nyújtás: augmentáció Hasonlóság – zsugorítás: diminúció Transzformációk kompozíciója

60 Kottapéldák jegyzéke 1A. Praetorius 1B. J.S. Bach: A fúga művészete
2. J.S. Bach: Kétszólamú invenció 3. ??? (Darvas Gábor) 4. W.A. Mozart 5. ??? (Darvas Gábor) 6. ??? (Darvas Gábor) 7A. J.S. Bach: A fúga művészete 7B. J.S. Bach: A fúga művészete 7C. J.S.Bach: Zenei áldozat

61 1A. Eltolás a zenében: kánon

62 1B. Eltolás a zenében: imitáció

63 2. Eltolás a zenében: szekvencia

64 3. Tengelyes tükrözés: tükörkánon

65 4. Középpontos tükrözés: rákkánon

66 5. Hasonlóság – nyújtás: augmentáció

67 6. Hasonlóság – zsugorítás: diminúció

68 7A. Transzformációk kompozíciója

69 7B. Transzformációk kompozíciója

70 7C. Transzformá-ciók kompozíciója

71 Tillai Aurél: Kvint-kánon (2008)

72 Melyik téglalap a „legszebb”?
a:b=1:1 sectio aurea a:b=1:2 a:b=1:3 a:b=1:4

73 Az a és b mennyiség arányát aranymetszésnek nevezzük, ha
Az aranymetszés Az a és b mennyiség arányát aranymetszésnek nevezzük, ha a : b = (a + b) : a a b Ha a + b = 1, akkor a piros gombóc pontosan a pontban van.

74 A Fibonacci-sorozat Első két tagja 1. A többi tag az előző kettő összege. 1. tag: tag: = 21 2. tag: tag: = 34 3. tag: = tag: = 55 4. tag: = tag: = 89 5. tag: = 6. tag: = 8 7. tag: = 13

75 Keressük az aranymetszetet!
OOO 0/2=0; 1/2=0,5; 2/2=1. OOOOO 0/4=0; 1/4=0,25; 2/4=0,5; 3/4=0,75; 4/4=1. OOOOOOOO 0/7=0; 1/7=0,14; 2/7=0,29; 3/7=0,34; 4/7=0,57; 5/7=0,71; 6/7=0,86; 7/7=1. OOOOOOOOOOOOO 7/12=0,58 Fibonacci-számok: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 Aranymetszés: kb. 0,618

76 Számoljuk meg a taktusokat!
Jadasson szerint: a 8 ütemes Beethoven dallamok csúcsa rendszerint a 6. ütemre esik, vagyis a dallam szerkezete: = 8. Vajon tudatosan számolt-e Beethoven? (Nem csak Beethovennél figyelhető meg ilyen véletlen(?)!)

77 A Himnusz 2:18 hosszú, 1:31-nél van a csúcspontja: 91/138 = 0,659
(Φ=0,618) (Iharos Csabáné, Szénási Eszter)

78 Az aranymetszés Bartóknál
pozitív aranymetszés 0,618 : 0,382 (a hosszabb rész van elől) negatív aranymetszés 0,382 : 0,618 (a rövidebb rész van elől) A következő példa Bartók 2 zongorás ütős szonátájából való, annak is a kidolgozási részét láthatjuk (134–247. taktus)

79 0,382 0,618 A 177. taktus: (177–133)/(248–133) = 44/115 = 0,383 A 166. taktus: (160–133)/(177–133) = 27/44 = 0,614 A 205. taktus: (205–176)/(248–176) = 29/72 = 0,402 (28/72 = 0,389; 27/72 = 0,375)

80 Véletlen? Bartók: 2 zongorás ütőhangszeres szonáta I. tétele

81 Bartók dallamai Bartók: 2 zongorás ütőhangszeres szonáta I. tétele

82 VIII. Az ókori görög paradoxonok feloldása?
Zénón paradoxonja: Akhilleusz és a teknős Szamosi Géza: A polifon zene és a klasszikus fizika (1990)  „...az idő csak másodlagos, származtatott dimenzió, amelynek a léte a testek mozgásához...van kötve” – gondolták a görögök  Galilei „az időt életünk üteméből dimenzióvá változtatta, vagyis egy absztrakt paraméterré” (Gillespie, 1960)

83 Az idő egészen új szemlélete a fizikában úgy jelent meg, mintha egyszerűen csak egy okos matematikai újítás lenne Rendkívül meglepő, hogy míg Galilei más eszméi szenvedélyes ellenzőkre és támogatókra találtak, addig az idő szerepére vonatkozó forradalmi felismerése egyáltalán semmiféle izgalmat nem váltott ki az idő folyása: a polifon zene – az időütem tartását felváltotta az idő mérése

84 IX. Matematikai szöveg és zene
Egykori matektanárom pl. maga megzenésítette a másodfokú egyenlet megoldóképletét. Zseniális volt, de így sem bírtam megjegyezni. (Bejegyzés egy internetes fórumon)

85 Angol nyelvű példák Hotel Infinity (Hotel Califonia, Eagles)
A végtelen szálló problémájáról Stairway to Seven (Stairway to Heaven, Led Zepelin) A 7-es számról Imaginary (Imagine, John Lennon) A képzetes számokról

86 Magyar nyelvű példák „Az n faktoriális. Mindig aktuális. Az n faktoriális. Sorrendekből a maximális. Álmodban is kombináljad, hogy n darab különböző tárgyat n faktoriális féleképpen rendezhetünk sorba szépen. Elmondom, hogy 6 lánnyal hányféleképpen randevúzz: 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720.” (Bëlg a) a-szor a az a négyzet, kis angyalom, b-szer b az b négyzet, kis angyalom, a kettőnek összege, Pitagorasz tétele, kis angyalom. (ismeretlen szerző)

87 Erősebb idegzetűeknek:. http://www. kockaeder
Erősebb idegzetűeknek: Ha én gyökjel volnék, négyzetgyököt vonnék, Sok-sok valós számhoz másikat rendelnék, Ki nem használ engem, az tovább nem léphet, Hisz gyökvonás nélkül nincs megoldóképlet. Ha én egész volnék, természetes volnék, 3-mal osztható Catalan-szám volnék, Két szomszédom közül prím lenne mindkettő, Például lehetnék én a 42.

88 X. A kotta mint függvény Mit jelenít meg valójában a kotta?
g : h = c : e log (g/h) = log (c/e) log g – log h = log c – log e Tehát azonos rezgésarányú hangok azonos távolságra vannak egymástól. x tengely: idő, y tengely: a hangok frekvenciáinak a logaritmusa

89 XI. Az elemző agy – minták

90 XII. Értelem vagy érzelem?
matematika  értelem zene  érzelem „Az ember csak azt hallja meg, amit megért.” Pap János

91 Ajánlott olvasmányok Darvas Gábor: A zene anatómiája
Zeneműkiadó, Budapest, 1975 Szabó Árpád: A görög matematika kibontakozása Magvető Kiadó, Budapest, 1978 Benkő András: A Bolyaiak zeneelmélete Kriterion Könyvkiadó, Bukarest, 1975 Kardos Pál: Kórusnevelés – kórushangzás Zeneműkiadó, Budapest, 1969 Pap János: Hang – ember – hang Vince Kiadó, Budapest, 2002 Lendvai Ernő: Bartók dramaturgiája Zeneműkiadó, Budapest, 1964

92 https://www.youtube.com/watch?v=ou_Dl0_Bll0 2:38 -- 4:43