Monadikus predikátumlogika, szillogisztika, Boole-algebra

Az előadások a következő témára: "Monadikus predikátumlogika, szillogisztika, Boole-algebra"— Előadás másolata:

1 Monadikus predikátumlogika, szillogisztika, Boole-algebra
De Morgan Formal Logic, 1847 Tárgyalási univerzum (universe of discourse) Motívum: negatív („kontrárius”) terminusok. „[A logikáról írók] meghatározatlan negatív jelleget adtak a kontráriusnak, például Arisztotelész, amikor azt mondta, hogy nem-ember nem neve semminek sem.” Egy terminus kontrárius párja: adott univerzumra vonatkoztatva a komplementer terjedelmű terminus. Jelölés: X kontráriusa x. A szillogisztikát négy, terminusok közötti reláció elméleteként tárgyalja: Minden X, az Y: X)Y = X.y = y)x Némely X nem Y: X:Y = Xy = y:x Egy X sem Y: X.Y = X)y =Y)x Némely X, az Y: XY = X:y = Y:x

2 Jevons Boole algebrájának egy interpretációja: terminus  halmaz
(Másik két interpretáció: kijelentés, esemény.) x + y csak akkor van értelmezve, ha xy = 0. Erre a +-műveletre az a + x = b egyenletnek van egyértelmű megoldása, ha a < b (azaz ab = a, azaz halmazok nyelvén a  b). (Különben nyilvánvalóan nincs megoldás.)

3 W. S. Jevons: Pure logic … (1864)
‘+’: a megengedő ‘vagy’-nak (úniónak) felel meg. (Jevons eredeti interpretációja: nem terjedelmek, hanem tartalmak. [?!]) Van szorzás (egymás mellé írás), összeadás (+), komplementum (not-), ellentmondás (0) Törvények: Kommutativitások, idempotenciák, ellentmondás: Anot-A=0 „dualitás”: A = AB + Anot-B not-(AB) = Anot-B + not-AB + not-Anot-B (= not-A + not-B) not-notA = A stb. Helyettesítési szabályok: pl. A = B  AC = BC További nevezetesség: automatizált érvelés („logikai zongora”)

4 C. S. Peirce 1864, 1870 Megkettőzi a műveleteket: „logikai” és „aritmetikai” összeadás, szorzás, kivonás. Kimondja a „logikai” összeadás és szorzás kettős disztributivitását. Bevezeti a tartalmazási relációt (illetve, kijelentéslogikai interpretációban, a kondicionálist.) E Schröder Der Operationskreis des Logikkalküls (1877) Az osztálylogika (Boole-algebra) axiomatizálása (összeadás, szorzás, komplementum, egység, zérus).

5 A relációk algebrája De Morgan (1860-as évek)
Alapgondolat: általánosítsuk az egyenlőséget. y = f(x) : y az f-je x-nek Tehát „__= f(...)” a reláció kifejezése. Ebből még elhagyhatjuk az egyértékűséget. yRx : y egy R-je x-nek Relációk szorzata (kompozíció): yRSx  z(yRz  zSx) Kiolvasás: y x egy S-jének R-je. Másik két művelet: y(R+’S) x  z(zSxyRz) Azaz y x összes S-ének R-je. y(R+”S)x  z(yRzzSx) y csak x S-einek R-je. Reláció konverze: xR˘y  yRx Összefüggések: (RS)˘ = S˘R˘