Előadást letölteni
Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon
1
T.5. tétel (minimálpolinom egyértelmű létezése)
Tetszőleges F[x] test feletti polinomgyűrűben minden J 0 ideálhoz egyértelműen létezik olyan g F[x] főpolinom, amire J = g . Bizonyítás. 1. Egzisztencia. Legyen h minimális fokszámú polinom J –ben, h főegyütthatója b, ekkor belátható, hogy a g = b-1h főpolinom jó választás lesz. Maradékos osztás tetszőleges f J –re : f = gq + r és deg(r) < deg(g) = deg(h) - 1-
2
Kaptuk: tetszőleges f J g –nek többszöröse
J ideál r = f –gq J deg(h) minimális r = 0 . Kaptuk: tetszőleges f J g –nek többszöröse J = g . 2. Unicitás. Tfh g’ F[x] : J = g’ . c, c’ F[x] : g = c’g’ és g’ = cg . g = c’cg c’c az egységelem c, c’ konstans és g, g’ főpolinom g = g’ - 2-
3
J = { f(x) K[x] f(α) = 0 } = g ,
Definíció. Legyen F tetszőleges test és K egy részteste F –nek. Ha α F algebrai elem K felett, akkor az az egyértelműen meghatározott g K[x] főpolinom, amelyre J = { f(x) K[x] f(α) = 0 } = g , azaz, g generálja a J K[x] –beli ideált, az α K feletti minimálpolinomja. α K feletti fokszámán deg(g) –t értjük -3-
4
T.6. tétel (minimálpolinom tulajdonságai)
Legyen F tetszőleges test és K egy részteste F –nek, továbbá α F K felett algebrai elem. Ha α K feletti minimálpolinomja g , akkor (1) g irreducibilis K[x]-ben. (2) f K[x] –re f(α) = 0 g osztója f –nek. (3) g a legalacsonyabb fokszámú főpolinom K[x]-ben, amelynek α gyöke. -4-
5
Bizonyítás. (1) indirekte tfh g nem irreducibilis. h1, h2 K[x] : deg(g) > 0, hiszen van gyöke g = h1h2 és 1 deg(hi) < deg(g) i = 1, 2 . 0 = g(α) = h1(α)h2(α) h1 vagy h2 J –beli és g h1 vagy g h2 -5-
6
(2) a definícióból következik.
(3) Legyen f K[x] –re f(α) = 0 f J , azaz f a g többszöröse. g főpolinom f = g vagy deg(f) > deg(g) . Definíció. F : K esetén, ha F mint K feletti vektortér nem véges dimenziós akkor a bővítés végtelen, egyébként véges bővítésről beszélünk. Az F : K testbővítés foka az F K feletti vektortér dimenziója, jelben [F:K] . -6-
7
T.7. tétel (testbővítések foka)
Legyen M : L és L : K véges testbővítés. Ekkor M : K véges bővítés és [M : K] = [M : L][L : K] . Bizonyítás. Legyen [M : L] = m, [L : K] = n bázisok: M : L {a1, …, am} , L : K {b1, …, bn} ahol rij K, ci L . -7-
8
bjai elemből mn db van elég látni, hogy lineárisan függetlenek. Tehát legyen valamely sij K együtthatókkal : ai –k függetlenek L felett bj –k függetlenek K felett -8-
9
T.8. tétel (véges bővítés algebrai)
Tetszőleges K test véges bővítése algebrai K felett. Bizonyítás. Legyen [L : K] = n az n+1 db 1, a, a2, …, an elem lineárisan összefüggő K felett. valamely ci K –beli, nem csupa nulla elemekre : c0 + c1a cnan = 0 Pontosan azt jelenti, hogy a algebrai K felett. -9-
10
T.9. tétel (faktorgyűrű és felbonthatatlan elem)
Legyen R tetszőleges főideálgyűrű. R/a test a felbonthatatlan R –ben. Bizonyítás. 1. eset Ha a egység R/a egyelemű nem test . 2. eset Ha a felbontható b, c R nem nulla nem egység elemek : a = bc . Kérdés : b a ? Ha igen, akkor b a többszöröse, azaz b = ad = bcd b(1 –cd) = 0 cd = 1 : c és d egység b a -10-
11
a maximális ideál R –ben R/ a test
Mivel viszont a többszöröse b –nek : a b R a nem maximális ideál R –ben R/a nem test. 3. eset Ha a felbonthatatlan, akkor nem egység, tehát a R Vizsgáljuk a tetszőleges J R –beli ideált, amire a J = b R a J b a vagy b egység, vagy b ~ a J = a J = R a maximális ideál R –ben R/ a test -11-
12
T.10. tétel (egyszerű bővítés izomorfiája)
F : K esetén legyen α F K felett n –edfokú algebrai elem g K feletti minimálpolinommal. Ekkor K(α) izomorf K[x] / g –vel . Bizonyítás. : K[x] K(α) : (f) = f(α) gyűrűhomomorfizmus. g = ker = { f K[x] f(α) = 0 } Legyen S = (K[x]) Homomorfizmus-tétel S izomorf K[x] / g –vel . -12-
13
K[x] test feletti polinomgyűrű
K[x] főideálgyűrű + minimálpolinom irreducibilis T.9. tétel K[x] / g test S test Kérdés: S = K(α) ? S definíciója S K(α) Konstans polinom melletti képe önmaga K S K(α) és α S K(α) a legszűkebb test, ami tartalmazza K –t és α –t S = K(α) -13-
14
T.11. tétel (egyszerű bővítés bázisa)
F : K esetén legyen α F K felett n –edfokú algebrai elem g K feletti minimálpolinommal. Ekkor [K(α) : K] = n és K(α) K feletti bázisa 1, α , ..., α n-1 . Bizonyítás. S = K(α) c K(α) felírható f(α) alakban, ahol f K(α). Maradékos osztás g –vel : c = f(α) = q(α)g(α) + r(α), ahol deg(r) < deg(g) = n és g(α) = 0 c = f(α) = r(α) = b0 + b1α bn-1αn-1 , valamely bi K együtthatókkal. -14-
15
Tehát K(α) –beli elem felírható 1, α ,
Tehát K(α) –beli elem felírható 1, α , ..., α n-1 -beli elemek K feletti lineáris kombinációjaként . 1, α , ..., α n-1 bázis, ha elemei lineárisan függetlenek. Tehát tfh valamely bi K együtthatókkal b0 + b1α bn-1αn-1 = 0 Ez pontosan azt jelenti, hogy a h(x) = b0 + b1x bn-1xn-1 polinomnak α gyöke, T.6/2 tétel g h deg(h) < n = deg(g) h = 0 bi = 0 -15-
16
Következmény. Ha K(α) tetszőleges egyszerű testbővítése K –nak , akkor minden c K(α) elem c = b0 + b1α bn-1αn-1 alakban írható, valamely bi K együtthatókkal, azaz c előáll egy legfeljebb n – 1 –edfokú K feletti polinom α helyen vett helyettesítési értékeként. -16-
17
T.12. tétel (egyszerű bővítés elemeinek fokszáma)
F : K esetén legyen α F K felett n –edfokú algebrai elem g K feletti minimálpolinommal. Ekkor c K(α) elem algebrai K felett és c K feletti fokszáma osztója n –nek . Bizonyítás. T.11. tétel K(α) véges bővítés K felett. T.8. tétel K(α) algebrai bővítés K felett. K résztest K(c) –ben . K(c) résztest K(α) –ban . c K feletti fokszáma [K(c) : K] T.7. tétel n = [K(α) : K] = [K(α) : K(c) ][K(c) : K] -17-
18
Példa. Legyen K = Q, továbbá -18-
19
-19-
20
Tehát: -20-
Hasonló előadás
© 2024 SlidePlayer.hu Inc.
All rights reserved.