Hasonlósági transzformáció ismétlése

Az előadások a következő témára: "Hasonlósági transzformáció ismétlése"— Előadás másolata:

1 Hasonlósági transzformáció ismétlése

2 Középpontos hasonlósági transzformáció
Adott a síkon egy O pont (középpont) és egy k pozitív szám. Rendeljük O-hoz önmagát. A sík bármely más P pontjához rendeljük úgy az OP félegyenes P’ pontját, hogy OP’ = k · OP legyen.

3 Középpontos hasonlósági transzformáció
Pont transzformálása Síkidomok transzformálása

4 A középpontos hasonlóság tulajdonságai
aránytartó, szögtartó, egyenestartó, párhuzamosságtartó, illeszkedés tartó, körüljárási irány tartó, nem távolságtartó (kivéve a |k|=1 esetet). A középpontos hasonlóság fix pontja: a középpont, fix egyenese nincs, invariáns egyenesei a középponton áthaladó egyenesek.

5 Hasonlóság Hasonlóságnak nevezzük azokat a geometriai transzformációkat, amelyek középpontos hasonlóság és egybevágóság véges sokszor történő egymás utáni végrehajtásával keletkeznek. Két síkidomot hasonlónak nevezünk, ha található olyan hasonlóság, amely azokat egymásba viszi. A hasonlóság jele: ~ (például ABC ~ PQR ).

6 Ha egy síkidomot k-szorosára nagyítunk vagy kicsinyítünk, akkor
Az ábrán az ABC háromszöget P pontból nagyítottuk. Megmértük a táblázatban szereplő adatokat és meghatároztuk a megfelelő arányokat. Ezt az arányt nevezzük a hasonlóság arányának (k vagy  : ún arányossági tényező) a=3,1 cm b=3,8 cm K=9,3 cm ma=2,35 cm T=3,6 cm2 a’=6,2 cm b’=7,6 cm K’=18,6 cm ma’=4,7 cm T’=14,4 cm2 = 2 =k = 4 =k2 a’ a b’ b K’ K ma’ ma T’ T Ha egy síkidomot k-szorosára nagyítunk vagy kicsinyítünk, akkor ▪ minden távolságadata k-szorosára változik, ▪ területe k2-szeresére változik.

7 Sokszögek hasonlósága
A definíció szerint két síkidom akkor hasonló, ha van olyan hasonlóság, amely azokat egymásba viszi. Tudjuk, hogy hasonló síkidomok megfelelő szakaszainak aránya egyenlő. A háromszögek esetén ez megfordítható állítás. És a sokszögeknél? Nem!!! Sokszögek hasonlósága Megfelelő oldalak aránya egyenlő Megfelelő szögek egyenlők

8 Hasonló síkidomok területe, hasonló testek térfogata
A sokszögeket mindig felbonthatjuk háromszögekre, így elég vizsgálni, hogy hasonlóság alkalmazásakor a háromszögek területével mi történik. k-szoros hasonlóság esetén a távolságadatok mindegyike, így az oldal és a hozzá tartozó magasság is k-szorosra változik. A háromszög területe k2 - szeresére változik. Ez általában igaz a síkidomokra is. Ha a kocka éleit k-szorosára nagyítjuk vagy kicsinyítjük, térfogata így alakul: Nem csak a kockákra igaz, hanem az összes testre: k-szoros hasonlóság esetén a térfogat k3 - szorosra változik.

9 T ’ = k2 · T T A ’ = k2 · A A V ’ = k3 · V V k-arányú hasonlóság

10 Háromszögek hasonlóságának alapesetei
Tudjuk, hogy hasonló síkidomok megfelelő szakaszainak aránya egyenlő. A háromszögek esetén ez megfordítható állítás: ha a háromszögek megfelelő oldalainak aránya egyenlő, akkor hasonlók. Két háromszög hasonló, ha  megfelelő oldalainak aránya megegyezik;  két-két szögük páronként egyenlő;  két-két oldal aránya és az általuk közbezárt szög megegyezik;  két-két oldal aránya és a hosszabbikkal szemközti szög megegyezik.

11 Mintapélda Egy trapéz két alapja 16 és 10 cm.
Milyen arányban osztják egymást az átlók? Megoldás: Az átlók metszéspontjánál keletkezik két olyan háromszög, amelyeknek egyik oldala a trapéz alapja. Ezek a háromszögek hasonlók, mert szögeik egyenlők (P-nél csúcsszögek, váltószögek): APB ~ CPD A hasonlóság miatt a megfelelő oldalak aránya egyenlő: x és y éppen egy átló két darabja, és az arány mindkét átlóra fennáll. Egyszerűsítve a törtet a keresett arány tehát 8 : 5.

12 Mintapélda Egy kocka minden élét a kétszeresére változtatjuk.
Hogyan változik az alaplapjának területe? Hogyan változik a kocka felszíne? Hogyan változik a kocka térfogata? Megoldás: 1. A nagyított kocka hasonló lesz az eredetihez. A hasonlóság aránya: k=2 Tehát az alaplap területe a k2-szeresére, azaz a négyszeresére változik. 2. A felszín k2-szeresére, azaz a négyszeresére nő. 3. A térfogat a k3-szorosára, azaz a nyolcszorosára nő.

13 Mintapélda Egy kocka élei 3 centiméteresek. Egy nagyobb kocka térfogata 216cm3. Mekkora a hasonlóság aránya? Milyen arány van a kockák felszíne közt? Milyen arány van a kockák tértogata közt? Megoldás: 1. V=33=27 cm3 V’= 216 cm3 A hasonlóság aránya: k = V’/V =216/27 = 8 2. A felszínek aránya: A’/A = k2 = 64 3. A térfogatok aránya: V’/V = k3 = 512

14 Osszál fel egy tetszőleges szakaszt 5 egyenlő részre szerkesztéssel!
Mintapélda Osszál fel egy tetszőleges szakaszt 5 egyenlő részre szerkesztéssel! Megoldás: (a 15.)

15 Mintapélda Határozd meg az ábrán szereplő háromszög BC oldalának hosszát, ha BC párhuzamos ED-vel! Megoldás: (11.)

16 Mintapélda Határozza meg a satírozott ponthalmaz területét, ha tudjuk, hogy k  l.