A folytonosság Digitális tananyag.

Az előadások a következő témára: "A folytonosság Digitális tananyag."— Előadás másolata:

1 A folytonosság Digitális tananyag

2 Folytonosság Az f függvény folytonos az x=a pontban, ha igazak a következő állítások: a f(a) f értelmezett az x=a pontban létezik a határérték Tóth István – Műszaki Iskola Ada

3 Példák Mindenütt értelmezett
A függvény tehát minden x=a pontban folytonos. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

4 Példák Az x=3 pontban nem értelmezett, tehát ebben a pontban nem folytonos. Az értelmezési tartományának minden pontjában folytonos. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

5 Példák Vizsgáljuk ki a töréspontban. Az x=-1 pontban értelmezett
Mivel a bal és jobb oldali határértékek különböznek, a -1 pontban a függvénynek nincs határértéke A függvény nem folytonos az x=-1 pontban. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

6 Példák Vizsgáljuk ki a töréspontban. Az x=2 pontban értelmezett
A függvény értéke és a határértéke az x=2 pontban nem egyenlő – a függvény nem folytonos ebben a pontban. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

7 Folytonos függvények Az f függvény folytonos az A halmazon, ha folytonos az adott halmaz minden pontjában. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

8 Folytonossági tételek
Ha f és g folytonos függvények, akkor folytonos az összegük, különbségük, szorzatuk és (g≠0) esetén hányadosuk is. A P(x) polinom folytonos a valós számok halmazán. A racionális törtfüggvény folytonos az értelmezési tartományán. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

9 Zárt intervallumon folytonos függvény
Ha f folytonos az [a,b] zárt intervallumon, és F egy tetszőleges szám f(a) és f(b) között, akkor létezik az [a,b] intervallumnak legalább egy olyan c eleme, hogy f(c)=F legyen. a b f (a) f (b) F c f (c) = Tóth István – Műszaki Iskola Ada

10 Példa Igazoljuk hogy az alábbi egyenletnek van legalább egy megoldása az [1,2] intervallumon! Mivel f(2)<0<f(1), és a függvény folytonos az [1,2] intervallumon, ezért található legalább egy olyan c pontja az [1,2] intervallumnak, amelyre f(c)=0. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

11 Befejezés A folytonos függvények a függvények egy fontos osztályát alkotják. Külön szerepük van a differenciál- és integrálszámításban A legtöbb általunk használt függvény folytonos az értelmezési tartományában. Tóth István – Műszaki Iskola Ada