Dr. Bánkuti Gyöngyi Klingné Takács Anna

Az előadások a következő témára: "Dr. Bánkuti Gyöngyi Klingné Takács Anna"— Előadás másolata:

1 Dr. Bánkuti Gyöngyi Klingné Takács Anna
OPERÁCIÓKUTATÁS Dr. Bánkuti Gyöngyi Klingné Takács Anna

2 Az operációkutatás tárgya
Adott feltételek között optimális döntések meghatározását vizsgáló tudományág. Az ipari termelés optimális szerkezetének kialakításában jelentős szerepet kap. Eszközei: a lineáris programozás, a dinamikus programozás, a játékelmélet.

3 Az operációkutatás név eredete
NEM SZAKMAI MATEMATIKAI TERÜLET NEVE HANEM: A II. világháborúban az USA-ban a katonai műveleteket (operációkat) segítő csoportokban dolgoztak matematikusok A háború után a ezen kutatók az iparban helyezkedtek el de az elnevezés megmaradt

4 A gazdasági folyamatok modellezésének lépései

5 Példa probléma Egy mezőgazdasági kistermelő 40 ha földön gazdálkodik. Úgy döntött, hogy repcét és kukoricát akar termelni, de repcét legfeljebb csak 30 hektáron Ft-ja van vetőmagra. A repcemag Ft-ba, a vetőkukorica Ft-ba kerül hektáronként. Repcén kukoricán Ft/ha a várható haszon. Hogyan vesse be a földjét, hogy a legmagasabb hasznot érje el?

6 A probléma modellje: korlátozó feltételek: célfüggvény
A változók jelentése: x repcevetési terület hektárban x kukoricavetési terület hektárban korlátozó feltételek: célfüggvény

7 Lineáris programozás A lineáris programozás alapfeladata (normálfeladat) Invariáns alak: Kanonikus alak: Elnevezések: x komponensei: xi – döntési változók xi -  0 előjel korlát A . x  b - korlátozó (kényszer) feltételek, feltételi egyenletrendszer z célfüggvény

8 Lineáris programozás Invariáns alak: Kanonikus alak: A kanonikus alakra hozás célja, hogy a lineáris algebrában tanult egyenlet-megoldási módszerrel (Szimplex algoritmus) megoldható alakra hozzuk a problémát

9 A probléma megoldásához válasszuk a normál szimplex módszert!
Megengedhető (lehetséges, megvalósítható) megoldás:= olyan pozitív x melynek komponenseit a feltételi egyenletekbe helyettesítve azok mindegyike teljesül: L – Megengedhető megoldások halmaza L – konvex halmaz Triviális megengedhető megoldás: [x1,x2,x3] = [0,0,0]

10 Lineáris programozás Invariáns alak: Kanonikus alak:
Kanonikus alak Szimplex táblája (induló tábla):

11 Lineáris programozás Induló tábla:
Az egység mátrix rész elhagyható mert ezen vektorok megegyeznek az ei egységvektorokkal melyek már induláskor benne vannak a bázisban. A -z oszlopa azonos okból elhagyható mert em+1 = - z . (Ráadásul célfüggvény sorától eltekintve minden elem nulla – azaz transzformációkor sosem fog változni ez az oszlop) Induló tábla:

12 Lineáris programozás Induló tábla:
Ezért a csökkentett méretű szimplex táblával dolgozunk a továbbiakban. A szokásos jelöléseknek megfelelően ei helyett ui-t írva. Induló tábla:

13 Módosított „normál szimplex” módszer
Mivel b-ben minden táblában csak pozitív szám állhat és a célfüggvényt növelni kívánjuk. Csak „megengedhető bázistranszformáció” hajtható végre: generáló elem csak pozitív szám lehet (b + miatt) pozitív (maximális) célfüggvény együttható felett (z max miatt) a „legszűkebb” keresztmetszetnél (b + miatt)  + Min.! 

14 Szimplex módszer menete:
Kiválasztjuk a célfüggvény sorából valamely (maximális) együtthatót és ennek oszlopában a „legszűkebb keresztmetszetnél választjuk a generáló elemet („pivot elem”) + Min.! 

15 A bázis csere végrehajtása
A megfelelő ui-k és xi-k cserélődnek - generáló elem helyére a reciproka kerül - sorában osztunk a generáló elemmel - oszlopában a generáló elem (-1) szeresével osztunk - új elem = régi elem – (sorelem x oszlopelem) generáló elem - a következő bázis cserénél a célfüggvény sorában pozitív elemet kell keresni és a fölött kell a generáló elemet választani - az eljárás addig tart, amíg van pozitív elem a célfüggvény sorában

16 Grafikus megoldás:

17 Szimplex táblázattal:
Induló tábl. x1 x2 u1 u2 u3 b 1 40 30 4 120 -z 100 Egységmátrix megjelenése ( később nem fogjuk kiírni) Generáló elem

18 A további szimplex táblázatok
III. u1 u3 b x1 u2 x2 -z -20 -3200 II. x1 u3 b u1 10 u2 1 30 x2 -z 15 -3000 1/4 1/4

19 A kapott eredmények értelmezése
A táblázatból kiolvasható bázis megoldás: III. u1 u3 b x1 u2 x2 -z -20 -3200 -1/3 Azt jelenti, hogy a kistermelő a területének 1/3 részét repcével, 2/3részét kukoricával kell bevetnie, a maximális haszna ekkor z = 3200 Ft. (Mj.: –z = Z = ) 1/3 1/3

20

21 A további szimplex táblázatok
II. x1 u3 b u1 10 u2 1 30 x2 -z 15 -25 -3000 III. u1 u3 b x1 u2 x2 -z -20 -3200 1/4 -1/3 1/3 1/4 1/4 1/3