Az inverzió Adott egy O középpontú, r sugarú kör, ez az inverzió alapköre Az O pont az inverzió pólusa Az r2 érték az inverzió hatványa Az O ponthoz.

Az előadások a következő témára: "Az inverzió Adott egy O középpontú, r sugarú kör, ez az inverzió alapköre Az O pont az inverzió pólusa Az r2 érték az inverzió hatványa Az O ponthoz."— Előadás másolata:

1 Az inverzió Adott egy O középpontú, r sugarú kör, ez az inverzió alapköre Az O pont az inverzió pólusa Az r2 érték az inverzió hatványa Az O ponthoz nem lehet inverz pontot rendelni A P (O-tól különböző) ponthoz hozzárendeljük az OP félegyenesnek azt a P’ pontját, amelyre OP · OP’ = r2

2 Az inverzió Ha P inverze P’, akkor P’ inverze P.
Az alapkör pontjai önmaguk inverzei. Ha egy pont az alapkörön belül van, akkor az inverze kívül lesz; ha kívül, akkor az inverze belül lesz. A póluson nem átmenő egyenes inverze póluson átmenő kör. A póluson átmenő egyenes inverze ugyanaz az egyenes. A póluson nem átmenő kör inverze póluson nem átmenő kör. A póluson átmenő kör inverze póluson nem átmenő egyenes.

3 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel
Adott egy kör (az inverzió alapköre) O középponttal és r sugárral Adott P (O-tól különböző) pont, aminek meg kell szerkeszeni az inverz pontját

4 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel
Rajzoljuk meg a P középpontú, OP sugarú kört. A 2 körvonal metszéspontjai: M1, M2 Ha OP ≤ r/2, akkor viszont nem pontosan 2 metszéspont adódik, tehát ez esetben meg kell szerkeszteni a 2 · OP hosszú, OP-vel párhuzamos, O kezdetű szakaszt (aminek végpontját nevezzük Q- nak, tehát 2 · OP = OQ lesz)

5 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel
Először nézzük azt az esetet, hogy két metszéspont van. Ezekből r sugarú köröket rajzolva, a metszéspontjuk megadja a P pont inverzét.

6 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel
Kétszeres hosszúságú szakasz szerkesztése: Ha r/4 < OP ≤ r/2, akkor meg kell szerkeszteni a már korrában leírt OQ szakaszt. Ehhez két körvonalat kell megrajzolni: O középpontú OP sugarút és P középpontú OP sugarút. A 2 körvonal metszéspontjai: N1, N2

7 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel
N2 középpontú N1N2 sugarú kör és a P középpontú előzőleg megrajzolt körvonal (N1-től különböző) metszéspontja a keresett Q pont. Mivel r/4 < OP ≤ r/2 és OQ = 2 · OP, ezért r/2 < OQ, és így megszerkeszthető Q inverze. De nekünk P inverze kell!

8 Pont inverzének szerkesztése csak körzővel
Az inverzió definícióját felhasználva: r2 = OP · OP’ = OQ · OQ’ OP · OP’ = 2 · OP · OQ’ OP’ = 2 · OQ’ Ez azt jelenti, hogy a Q inverz pontja (Q’) és az O által alkotott szakaszt kell megkétszerezni (O marad a kezdőpont) úgy, mint az OQ szerkesztésénél, és az új szakasz végpontja lesz a P pont inverze. Tehát most már meg tudjuk r/4 < OP esetén P inverzét szerkeszteni. Kisebb OP távolság esetén ezen szerkesztési lépések ismétlésével megszerkeszthető P inverze, ha r/8 < OP, r/16 < OP, r/32 < OP, és így tovább (mindig felezve a távolságot).

9 Kör inverzének megszerkesztése
Egy kör inverzének megszerkesztéséhez elegendő 3 különböző pontjának inverzét megszerkeszteni, amik meghatározzák majd a kör inverzét, ami vagy kör vagy egyenes. Ha a kör metszi az alapkört, akkor a metszéspontokat is felhasználva abban az esetben kevesebbet kell szerkeszteni, mivel az ha egy pont az alapkörön van, akkor inverze önmaga. Ellenkező esetben két lehetőség van: a pont az alapkörön belül, vagy azon kívül van. Szerkeszthetünk a néhány diával ezelőtt bemutatott körzős módszerrel is. De itt egy rövidebb, vonalzót is igénylő módszert közlök.

10 Kör inverzének megszerkesztése – ha a pont az alapkörön belül van
Adott az alapkör O középponttal és a P pont Húzzunk egyenes O-n és P-n keresztül Erre az egyenesre állítsunk merőlegest P-ben Ez a körvonalat két pontban: A-ban és B-ben metszi Húzzuk meg az OA, OB szakaszt Állítsunk ezekre merőlegest Ezek metszéspontja a P inverze

11 Kör inverzének megszerkesztése – ha a pont az alapkörön kívül van
Adott az alapkör O középponttal és a P pont Rajzoljuk meg az OP szakaszt Szerkesszük meg OP felezőpontját Rajzoljunk M középpontú, OM sugarú kört Ez az alapkört két pontban: A-ban és B-ben metszi Rajzoljuk meg az AB szakaszt. Az AB és az OP metszéspontja a P pont inverze

12 Kör inverzének megszerkesztése - példa
Zöld kör: alapkör Lila kör: az eredeti kör Piros: a kör inverze Az ábrán látható 1 alapkörön belüli és egy azon kívüli pont inverzének megszer- kesztése

13 Egy egyszerű feladat Adott egy kör és középpontja, illetve egy egyenes, ami érinti ezt a kört. Feladat: szerkesszünk olyan kört, aminek az átmérője a megadot kör középpontja és az érintési pont által meghatározott szakasz.

14 Euklidészi szerkesztés (csak körzővel)
Inverzió Euklidészi szerkesztés (csak körzővel)

15 I. 324. Fényes Balázs 10. o. t. Budapest, Szerb A. Gimn.