Differenciálszámítás

Az előadások a következő témára: "Differenciálszámítás"— Előadás másolata:

1 Differenciálszámítás
2. MATEMATIKA ELŐADÁS Differenciálszámítás

2 Miért hasznos a differenciálszámítás?
Példa: Sebesség = út/idő Átlagsebesség Pillanatnyi sebesség

3 Út-idő mérése diszkrét pontokban
Mekkora az átlagsebesség a 3-4. s között? Mekkora az átlagsebesség a 3-5. s között? s=16m s=7m Geometriai jelentés α t=1s t=2s A sebesség a vízszintessel bezárt szög tangensét, a meredekséget mutatja meg. t

4 Az út és idő között ismert a függvénykapcsolat
példa: s A sebesség még mindig átlagsebesség (a szelő meredeksége), a kifejezés a differenciahányados. f(x2) Ha x2 nagyon megközelíti x1-et f(x1) a differenciahányados határértéke a differenciálhányados, a derivált, amely megmutatja a pillanatnyi sebességet (az érintő meredekségét) x1-ben. t x1 x2

5 A differenciálás alkalmazása
Határozzuk meg az y=x2 függvény grafikonjának meredekségét x=3 pontban f(x)=x2 Képezzük a függvény deriváltfüggvényét vagy deriváltját f(x)=x2 f’(x)=2x Helyettesítsük be az érintési pont x koordinátáját f’(x=3)=2•3=6 Az f(x)=x2 függvény grafikonjának meredeksége az x=3 helyen 6. tgα=6

6 Deriválási szabályok

7 Példák f:4x5-3x4+7x3-2x+1 g:log25x h: sinx-3cosx i: 3x2sinx

8 Alkalmazás Példa: Mekkora az f(x) függvény meredeksége az x=3 helyen?
f:4x5-3x4+7x3-2x+1 f’:20x4-12x3+21x2-2 f’:20(3)4-12(3)3+21(3)2-2 f’(x=3)=1483 tgα=1483

9 Összetett függvény f(g(x)) f=sin(x) g=3x2 f(g(x))=sin(3x2)
Összetett függvény deriválása (f(g(x)))’=f’(g(x))•g’(x) Példa : (sin(3x2))’=cos(3x2)•6x

10 Második derivált Példa: f(x)=5x3 f’(x)=5·3x2=15x2 f’’(x)=15·2x=30x
Alkalmazás (pl): s(t)=5x3 v(t)=15x2 a(t)=30x F=m·a F kiszámítható

11 Szélsőérték meghatározása
Példa: f(x)=2x3-21x2+60x+3 Hol van az f(x) fv. szélsőértéke? f(x) függvény szélsőértéke ott található, ahol f’(x)=0 f’(x)=6x2-42x+60 6x2-42x+60=0 x1=5, x2=2 Minimum vagy maximum? f’(x)=6x2-42x+60 f’’(x)=12x-42 f”(5)=18 Minimum! f”(2)=-18 Maximum!

12 f(x)=2x3-21x2+60x+3

13 Gyakorló feladatok Hol vannak a szélsőértékei az f:2x3-3x2-24x függvénynek? Határozzuk meg az f:ln(3x) és a g:sin(x2) függvényekhez húzott érintő meredekségét az x=4 helyen Mi lesz a második deriváltja a x3sinx függvénynek?

14 Teljes függvényvizsgálat
Kérdések: Hol vannak a függvény szélsőértékei? Ezek minimumok vagy maximumok? Milyen tendenciát jelenít meg a függvény? Hol szigorúan monoton a függvény? Hol konvex-konkáv a függvény? Hol van a függvény inflexiós pontja?

15 Alapkijelentések Ha f’ pozitív, a függvény szigorúan monoton növő
Ha f’ negatív, a függvény szigorúan monoton csökkenő Ha f’=0 a függvénynek szélsőértéke van Ha ebben a pontban f” pozitív Ha ebben a pontban f” negatív lokális minimum lokális maximum Ha f” pozitív, a függvény konvex Ha f” negatív, a függvény konkáv Ha f”=0 a függvénynek inflexiós pontja van (és f”=0 környezetében a fv előjelet vált) Ezen a helyen a legnagyobb-legkisebb a függvény meredeksége

16 Példa:

17

18 Apáczai Kiadó MATEMATIKA a középiskolák 11. évfolyama számára Emelt szintű, kiegészítő tananyag Alkotószerkesztő: Csatár Katalin

19 Illesztés pontokra - regresszió