Operációkutatás 6. szeminárium.

Az előadások a következő témára: "Operációkutatás 6. szeminárium."— Előadás másolata:

1 Operációkutatás 6. szeminárium

2 Szállítási feladatok

3 Feladat – Winston 6.1 A Powercónak három elektromos erőműtelepe van, ezek négy város szükségletét látják el. Az egyes erőművek kapacitása, és az egyes városok csúcsfogyasztási igénye a táblázatban szerepel. Fogalmazzunk meg egy LP-t, amely minimalizálja annak a költségét, hogy mindegyik város csúcsfogyasztási igénye ki legyen elégítve!

4 Feladat – Winston 6.1 Honnan Hová Szolgáltatás 1. város 2. város
(millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 45 20 30

5 A szállítási feladat adatai
Az m kínálati pontból álló halmaz, mely pontokból a szállítás történik. Az i-edik kínálati hely legfeljebb si egységet képes szállítani. Az n keresleti (felvevő) pontból álló halmaz, mely pontokba a szállítás történik. A j-edik felvevőhelynek legalább dj egységnyire van szüksége a szállított áruból.

6 A szállítási feladat adatai
Minden olyan egység, amelyet az i-edik kínálati helyen állítanak elő és a j-edik felvevőhelyre szállítanak, cij változó költséggel jár. xij az i-edik kínálati helyről a j-edik felvevőhelyre szállított egységek száma

7 A szállítási feladat adatai
Az m kínálati pontból álló halmaz, mely pontokból a szállítás történik. Az i-edik kínálati hely legfeljebb si egységet képes szállítani. Az n keresleti (felvevő) pontból álló halmaz, mely pontokba a szállítás történik. A j-edik felvevőhelynek legalább dj egységnyire van szüksége a szállított áruból.

8 Feladat – Winston 6.1 s1= 35 s2= 50 m=3 s3= 40 Honnan Hová
Szolgáltatás 1. város 2. város 3. város 4. város (millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 45 20 30 s1= 35 s2= 50 s3= 40 m=3

9 A szállítási feladat adatai
Az m kínálati pontból álló halmaz, mely pontokból a szállítás történik. Az i-edik kínálati hely legfeljebb si egységet képes szállítani. Az n keresleti (felvevő) pontból álló halmaz, mely pontokba a szállítás történik. A j-edik felvevőhelynek legalább dj egységnyire van szüksége a szállított áruból.

10 Feladat – Winston 6.1 n=4 d1= 45 d2= 20 d3= 30 d4= 30 Honnan Hová
Szolgáltatás 1. város 2. város 3. város 4. város (millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 45 20 30 d1= 45 d2= 20 d3= 30 d4= 30

11 A szállítási feladat adatai
Minden olyan egység, amelyet az i-edik kínálati helyen állítanak elő és a j-edik felvevőhelyre szállítanak, cij változó költségel jár. xij az i-edik kínálati helyről a j-edik felvevőhelyre szállított egységek száma

12 Feladat – Winston 6.1 c11= 8 c23= 13 c31= 14 stb. Honnan Hová
Szolgáltatás 1. város 2. város 3. város 4. város (millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 45 20 30

13 A szállítási feladat adatai
Minden olyan egység, amelyet az i-edik kínálati helyen állítanak elő és a j-edik felvevőhelyre szállítanak, cij változó költségel jár. xij az i-edik kínálati helyről a j-edik felvevőhelyre szállított egységek száma Feladat: ennek meghatározása!

14 Kiegyensúlyozott és kiegyensúlyozatlan szállítási feladat
Kiegyensúlyozott szállítási feladat: ∑si = ∑dj (Vagyis az összkínálat egyenlő az összkereslettel.) Kiegyensúlyozatlan szállítási feladat: ∑si > ∑dj vagy ∑si < ∑dj

15 Kiegyensúlyozott feladat
Feladat – Winston 6.1 Honnan Hová Szolgáltatás 1. város 2. város 3. város 4. város (millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 45 20 30 125 Kiegyensúlyozott feladat

16 A szállítási feladat kiegyensúlyozása
A kiegyensúlyozatlan szállítási feladat: ∑si > ∑dj (Vagyis az összkínálat nagyobb az összkeresletnél.) A szállítási feladatot úgy tudjuk kiegyensúlyozni, hogy egy olyan fiktív keresleti pontot konstruálunk, amelynek az igénye éppen a felesleges kínálati mennyiséggel egyenlő, a szállítási költségek pedig mindenütt 0-k.

17 Feladat – Winston 6.1 módosítva
Honnan Hová Szolgáltatás 1. város 2. város 3. város 4. város (millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 20 30 ∑si > ∑dj (125 > 120)

18 Feladat – Winston 6.1 módosítva
Honnan Hová Szolgál-tatás 1. város 2. város 3. város 4. város Fiktív keresleti pont (millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 20 30

19 Feladat – Winston 6.1 módosítva
Honnan Hová Szolgál-tatás 1. város 2. város 3. város 4. város Fiktív keresleti pont (millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 20 30 125 Kiegyensúlyozott feladat

20 A szállítási feladat kiegyensúlyozása
A kiegyensúlyozatlan szállítási feladat: ∑si < ∑dj (Vagyis az összkínálat kisebb az összkeresletnél.) Ebben az esetben a feladatnak nincsen lehetséges megoldása. Megoldás lehet: fiktív kínálati pont felvétele, kielégítetlen keresletre büntetőköltség bevezetése.

21 A szállítási feladat felírása
Célfüggvény: min ∑∑ cijxij Korlátozó feltételek: ∑xij ≤ si (kínálati feltételek) ∑xij ≥ dj (keresleti feltételek) xij ≥ 0

22 A szállítási feladat felírása
Célfüggvény: min ∑∑ cijxij Korlátozó feltételek: ∑xij ≤ si (kínálati feltételek) ∑xij ≥ dj (keresleti feltételek) xij ≥ 0

23 Feladat – Winston 6.1 Honnan Hová Szolgáltatás 1. város 2. város
(millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 45 20 30

24 A szállítási feladat felírása
Célfüggvény: min 8x11 + 6x x13 + 9x14 + 9x x x23 + 7x x31 + 9x x33 + 5x34 +

25 A szállítási feladat felírása
Célfüggvény: min ∑∑ cijxij Korlátozó feltételek: ∑xij ≤ si (kínálati feltételek) ∑xij ≥ dj (keresleti feltételek) xij ≥ 0

26 Feladat – Winston 6.1 Honnan Hová Szolgáltatás 1. város 2. város
(millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 45 20 30

27 A szállítási feladat felírása
Kínálati feltételek: x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 35 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40

28 A szállítási feladat felírása
Célfüggvény: min ∑∑ cijxij Korlátozó feltételek: ∑xij ≤ si (kínálati feltételek) ∑xij ≥ dj (keresleti feltételek) xij ≥ 0

29 Feladat – Winston 6.1 Honnan Hová Szolgáltatás 1. város 2. város
(millió kWh) 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Igény (millió kWh) 45 20 30

30 A szállítási feladat felírása
Keresleti feltételek: x11 + x21 + x31 ≥ 45 x12 + x22 + x32 ≥ 20 x13 + x23 + x33 ≥ 30 x14 + x24 + x34 ≥ 30

31 A szállítási feladat felírása
Célfüggvény: min ∑∑ cijxij Korlátozó feltételek: ∑xij ≤ si (kínálati feltételek) ∑xij ≥ dj (keresleti feltételek) xij ≥ 0

32 A szállítási feladat felírása
min 8x11 + 6x x13 + 9x14 + 9x x x23 + 7x x31 + 9x x33 + 5x34 + x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 35 x21 + x22 + x23 + x24 ≤ 50 x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 40 x11 + x21 + x31 ≥ 45 x12 + x22 + x32 ≥ 20 x13 + x23 + x33 ≥ 30 x14 + x24 + x34 ≥ 30 xij ≥ 0 Kínálati feltételek Keresleti feltételek Lehetséges bázismegoldás???

33 A szállítási táblázat 1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat
1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 45 20 30

34 A szállítási táblázat Költségek 1. város 2. város 3. város 4. város
Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 45 20 30

35 Szállított mennyiségek
A szállítási táblázat Szállított mennyiségek 1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 45 20 30

36 Lehetséges bázismegoldás előállítása: módszerek
Északnyugati sarokmódszer Minimális költség módszere Vogel módszere

37 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Az Északnyugati sarok módszer
Kiválasztjuk a „legészaknyugatibb” cellát, és beírjuk a maximálisan szállítható mennyiséget: min {si;dj} Módosítjuk a kínálati oszlopot és a keresleti sort. (Csökkentjük mindkettőt min {si;dj}-vel) Azt az sort/oszlopot, ahol 0 marad töröljük. (Ha mindkettő 0, akkor választunk.)

38 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Az Északnyugati sarok módszer
Kiválasztjuk a „legészaknyugatibb” cellát, és beírjuk a maximálisan szállítható mennyiséget: min {si;dj} Módosítjuk a kínálati oszlopot és a keresleti sort. (Csökkentjük mindkettőt min {si;dj}-vel) Azt az sort/oszlopot, ahol 0 marad töröljük. (Ha mindkettő 0, akkor választunk.)

39 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Az Északnyugati sarok módszer
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 45 20 30

40 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Az Északnyugati sarok módszer
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 45 20 30

41 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Az Északnyugati sarok módszer
Kiválasztjuk a „legészaknyugatibb” cellát, és beírjuk a maximálisan szállítható mennyiséget: min {si;dj} Módosítjuk a kínálati oszlopot és a keresleti sort. (Csökkentjük mindkettőt min {si;dj}-vel) Azt az sort/oszlopot, ahol 0 marad töröljük. (Ha mindkettő 0, akkor választunk.)

42 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Az Északnyugati sarok módszer
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 20 30

43 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Az Északnyugati sarok módszer
Kiválasztjuk a „legészaknyugatibb” cellát, és beírjuk a maximálisan szállítható mennyiséget: min {si;dj} Módosítjuk a kínálati oszlopot és a keresleti sort. (Csökkentjük mindkettőt min {si;dj}-vel) Azt az sort/oszlopot, ahol 0 marad töröljük. (Ha mindkettő 0, akkor választunk.)

44 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Az Északnyugati sarok módszer
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 20 30

45 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Az Északnyugati sarok módszer
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 40 3. erőmű 14 16 5 Kereslet 20 30

46 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Az Északnyugati sarok módszer
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 30

47 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Az Északnyugati sarok módszer
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 30

48 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Az Északnyugati sarok módszer
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet

49 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Az Északnyugati sarok módszer
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet

50 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Minimális költség módszere
Kiválasztjuk a legkisebb költségű cellát, és beírjuk a maximálisan szállítható mennyiséget: min {si;dj} Módosítjuk a kínálati oszlopot és a keresleti sort. (Csökkentjük mindkettőt min {si;dj}-vel) Azt az sort/oszlopot, ahol 0 marad töröljük. (Ha mindkettő 0, akkor választunk.)

51 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Minimális költség módszere
Kiválasztjuk a legkisebb költségű cellát, és beírjuk a maximálisan szállítható mennyiséget: min {si;dj} Módosítjuk a kínálati oszlopot és a keresleti sort. (Csökkentjük mindkettőt min {si;dj}-vel) Azt az sort/oszlopot, ahol 0 marad töröljük. (Ha mindkettő 0, akkor választunk.)

52 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Minimális költség módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 Kereslet 45 20 30

53 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Minimális költség módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 40 30 Kereslet 45 20

54 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Minimális költség módszere
Kiválasztjuk a legkisebb költségű cellát, és beírjuk a maximálisan szállítható mennyiséget: min {si;dj} Módosítjuk a kínálati oszlopot és a keresleti sort. (Csökkentjük mindkettőt min {si;dj}-vel) Azt az sort/oszlopot, ahol 0 marad töröljük. (Ha mindkettő 0, akkor választunk.)

55 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Minimális költség módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet 45 20

56 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Minimális költség módszere
Kiválasztjuk a legkisebb költségű cellát, és beírjuk a maximálisan szállítható mennyiséget: min {si;dj} Módosítjuk a kínálati oszlopot és a keresleti sort. (Csökkentjük mindkettőt min {si;dj}-vel) Azt az sort/oszlopot, ahol 0 marad töröljük. (Ha mindkettő 0, akkor választunk.)

57 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Minimális költség módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet 45 20

58 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Minimális költség módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 15 20 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet 45

59 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Minimális költség módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 15 20 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet

60 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Minimális költség módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 15 20 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5 Kereslet

61 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Minimális költség módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 15 20 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5 Kereslet

62 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Minimális költség módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 15 20 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5 Kereslet

63 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
Minden sorban és oszlopban kiszámítunk „büntetéseket”: a két legkisebb költség különbségét. A legnagyobb büntetés sorához/oszlopához tartozó legkisebb szállítási költséggel rendelkező cellát választjuk, és beírjuk a maximálisan szállítható mennyiséget: min {si;dj}

64 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
Módosítjuk a kínálati oszlopot és a keresleti sort. (Csökkentjük mindkettőt min {si;dj}-vel) Azt az sort/oszlopot, ahol 0 marad töröljük. (Ha mindkettő 0, akkor választunk.)

65 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
Minden sorban és oszlopban kiszámítunk „büntetéseket”: a két legkisebb költség különbségét. A legnagyobb büntetés sorához/oszlopához tartozó legkisebb szállítási költséggel rendelkező cellát választjuk, és beírjuk a maximálisan szállítható mennyiséget: min {si;dj}

66 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat Büntetés 1. erőmű 8 6 10 9 35 8-6=2 2. erőmű 12 13 7 50 9-7=2 3. erőmű 14 16 5 40 9-5=4 Kereslet 45 20 30 9-8=1 9-6=3 13-10=3 7-5=2

67 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat Büntetés 1. erőmű 8 6 10 9 35 8-6=2 2. erőmű 12 13 7 50 9-7=2 3. erőmű 14 16 5 40 9-5=4 Kereslet 45 20 30 9-8=1 9-6=3 13-10=3 7-5=2

68 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat Büntetés 1. erőmű 8 6 10 9 35 8-6=2 2. erőmű 12 13 7 50 9-7=2 3. erőmű 14 16 5 40 9-5=4 Kereslet 45 20 30 9-8=1 9-6=3 13-10=3 7-5=2

69 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat Büntetés 1. erőmű 8 6 10 9 35 8-6=2 2. erőmű 12 13 7 50 9-7=2 3. erőmű 14 16 5 40 9-5=4 30 Kereslet 45 20 9-8=1 9-6=3 13-10=3 7-5=2

70 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
Módosítjuk a kínálati oszlopot és a keresleti sort. (Csökkentjük mindkettőt min {si;dj}-vel) Azt az sort/oszlopot, ahol 0 marad töröljük. (Ha mindkettő 0, akkor választunk.)

71 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet 45 20

72 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
Módosítjuk a kínálati oszlopot és a keresleti sort. (Csökkentjük mindkettőt min {si;dj}-vel) Azt az sort/oszlopot, ahol 0 marad töröljük. (Ha mindkettő 0, akkor választunk.)

73 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 50 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet 45 20

74 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat Büntetés 1. erőmű 8 6 10 9 35 8-6=2 2. erőmű 12 13 7 50 12-9=3 3. erőmű 14 16 5 14-9=5 30 Kereslet 45 20 9-8=1 9-6=3 13-10=3

75 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat Büntetés 1. erőmű 8 6 10 9 35 8-6=2 2. erőmű 12 13 7 50 12-9=3 3. erőmű 14 16 5 14-9=5 30 Kereslet 45 9-8=1 9-6=3 13-10=3

76 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat Büntetés 1. erőmű 8 6 10 9 25 8-6=2 2. erőmű 12 13 7 50 12-9=3 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet 45 9-8=1 12-6=6 13-10=3

77 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat Büntetés 1. erőmű 8 6 10 9 25 10-8=2 2. erőmű 12 13 7 5 13-9=4 45 3. erőmű 14 16 30 Kereslet 9-8=1 13-10=3

78 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 45 5 3. erőmű 14 16 30 Kereslet

79 Lehetséges bázismegoldás előállítása: Vogel módszere
1. város 2. város 3. város 4. Város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 45 5 3. erőmű 14 16 30 Kereslet

80 Fontos észrevételek Ha az xij értékek halmaza egy kivételével kielégíti a kiegyensúlyozott szállítási feladat feltételeit (m+n-1 db ilyen van), akkor az xij értékek automatikusan kiegyenlítik azt az egy feltételt is. Következmény: egy feltétel figyelmen kívül hagyható a megoldás során. De nem minden m+n-1 változóból álló halmaz bázismegoldása a szállítási feladatnak! (Feltétel: nincs benne hurok.)

81 Hurok definíciója Huroknak nevezünk egy legalább négy különböző cellából álló rendezett sorozatot, ha Bármely két egymásután következő cella vagy ugyanabban a sorban, vagy ugyanabban az oszlopban fekszik. Három egymásután következő cella nem fekszik ugyanabban a sorban vagy oszlopban. A sorozat utolsó cellája a sorozat első cellájával vagy közös sorban, vagy közös oszlopban fekszik.

82 Példák hurokra

83 Példák hurokra Nincs benne hurok ↔ Bázismegoldást ad

84 A szállítási szimplex módszer
Ha a feladat kiegyensúlyozatlan, akkor egyensúlyozzuk ki. Keressünk egy lehetséges megoldást a korábbi módszerek segítségével. Alkalmazzuk a következőt: u1=0 és ui+vj=cij minden bázisváltozóra.

85 A szállítási szimplex módszer
Ha minden nembázis változóra ui+vj-cij ≤ 0 (maximum feladat esetén ui+vj-cij ≥ 0), akkor az aktuális LBM optimális. Ha nem teljesül, akkor a legnagyobb ui+vj-cij értékkel rendelkező NBV-t léptetjük be a bázisba.

86 A szállítási szimplex módszer
Keressük meg azt a hurkot, amelyik tartalmazza a bázisba belépő változót, és a többi bázisváltozók közül néhányat. Csak a hurokban lévő cellákat számolva jelöljük meg páros (páratlan) cellaként az előző lépésben kapott olyan cellákat, amelyek a beléptetendő változótól páros (páratlan) számú cellányira vannak.

87 A szállítási szimplex módszer
Keressük meg azt a páratlan cellát, amelyikhez tartozó változó a legkisebb értéket képviseli. Ezt az értéket Θ-nak nevezzük. Az a változó fog kilépni a bázisból, amelyik ehhez a legkisebb értékű páratlan cellához tartozik. A bázisváltozók cseréjét úgy hajtjuk végre, hogy minden páratlan cella értékét csökkentjük Θ-val, és minden páros cella értékét növeljük Θ- val. (A hurokban nem szereplő változók értékei változatlanok maradnak.)

88 A szállítási szimplex módszer
Ha a feladat kiegyensúlyozatlan, akkor egyensúlyozzuk ki. Keressünk egy lehetséges megoldást a korábbi módszerek segítségével. Alkalmazzuk a következőt: u1=0 és ui+vj=cij minden bázisváltozóra.

89 A szimplex szállítási módszer (LBM: Északnyugati sarokmódszer)
1. város 2. város 3. város 4. város Kínálat 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30 Kereslet

90 A szállítási szimplex módszer
Ha a feladat kiegyensúlyozatlan, akkor egyensúlyozzuk ki. Keressünk egy lehetséges megoldást a korábbi módszerek segítségével. Alkalmazzuk a következőt: u1=0 és ui+vj=cij minden bázisváltozóra.

91 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30 vj

92 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30 vj

93 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30 vj

94 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 20 3. erőmű 14 16 5 30 vj

95 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 20 3. erőmű 14 16 5 30 vj 11

96 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 20 3. erőmű 14 16 5 30 vj 11

97 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 20 3. erőmű 14 16 5 4 30 vj 11

98 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 20 3. erőmű 14 16 5 4 30 vj 11

99 A szállítási szimplex módszer
Ha minden nembázis változóra ui+vj-cij ≤ 0 (maximum feladat esetén ui+vj-cij ≥ 0), akkor az aktuális LBM optimális. Ha nem teljesül, akkor a legnagyobb ui+vj-cij értékkel rendelkező NBV-t léptetjük be a bázisba.

100 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 20 3. erőmű 14 16 5 4 30 vj 11 5 5 2 5 -8 -5 -2 6

101 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 20 3. erőmű 14 16 5 4 30 vj 11 5 5 2 5 -8 -5 -2 6

102 A szállítási szimplex módszer
Keressük meg azt a hurkot, amelyik tartalmazza a bázisba belépő változót, és a többi bázisváltozók közül néhányat. Csak a hurokban lévő cellákat számolva jelöljük meg páros (páratlan) cellaként az előző lépésben kapott olyan cellákat, amelyek a beléptetendő változótól páros (páratlan) számú cellányira vannak.

103 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30

104 A szállítási szimplex módszer
Keressük meg azt a hurkot, amelyik tartalmazza a bázisba belépő változót, és a többi bázisváltozók közül néhányat. Csak a hurokban lévő cellákat számolva jelöljük meg páros (páratlan) cellaként az előző lépésben kapott olyan cellákat, amelyek a beléptetendő változótól páros (páratlan) számú cellányira vannak.

105 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30 ps ptl ps ptl

106 A szállítási szimplex módszer
Keressük meg azt a páratlan cellát, amelyikhez tartozó változó a legkisebb értéket képviseli. Ezt az értéket Θ-nak nevezzük. Az a változó fog kilépni a bázisból, amelyik ehhez a legkisebb értékű páratlan cellához tartozik. A bázisváltozók cseréjét úgy hajtjuk végre, hogy minden páratlan cella értékét csökkentjük Θ-val, és minden páros cella értékét növeljük Θ- val. (A hurokban nem szereplő változók értékei változatlanok maradnak.)

107 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30 ps ptl ps ptl

108 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 20 3. erőmű 14 16 5 30 ps ptl ps ptl

109 A szállítási szimplex módszer
Keressük meg azt a páratlan cellát, amelyikhez tartozó változó a legkisebb értéket képviseli. Ezt az értéket Θ-nak nevezzük. Az a változó fog kilépni a bázisból, amelyik ehhez a legkisebb értékű páratlan cellához tartozik. A bázisváltozók cseréjét úgy hajtjuk végre, hogy minden páratlan cella értékét csökkentjük Θ-val, és minden páros cella értékét növeljük Θ- val. (A hurokban nem szereplő változók értékei változatlanok maradnak.)

110 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5 ps ptl ps ptl

111 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5

112 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5 vj

113 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5 vj

114 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 30 3. erőmű 14 16 5 vj

115 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 30 3. erőmű 14 16 5 vj 11

116 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 30 3. erőmű 14 16 5 vj 11

117 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 30 3. erőmű 14 16 5 -2 vj 11

118 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 30 3. erőmű 14 16 5 -2 vj 11

119 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 30 3. erőmű 14 16 5 -2 vj 11 5 2 -2 1 -8 -6

120 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 1 30 3. erőmű 14 16 5 -2 vj 11 5 2 -2 1 -8 -6

121 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5

122 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 35 2. erőmű 12 13 7 30 3. erőmű 14 16 5 ps ptl ptl ps

123 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 20 30 3. erőmű 14 16 5 ps ptl ptl ps

124 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 20 30 3. erőmű 14 16 5

125 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 20 30 3. erőmű 14 16 5 vj

126 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 20 30 3. erőmű 14 16 5 vj

127 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 1 20 30 3. erőmű 14 16 5 vj

128 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 1 20 30 3. erőmű 14 16 5 vj

129 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 1 20 30 3. erőmű 14 16 5 3 vj

130 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 1 20 30 3. erőmű 14 16 5 3 vj

131 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 1 20 30 3. erőmű 14 16 5 3 vj 2 2 -7 -5 -4 -3 -1

132 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 1 20 30 3. erőmű 14 16 5 3 vj 2 2 -7 -5 -4 -3 -1

133 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 20 30 3. erőmű 14 16 5

134 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 20 30 3. erőmű 14 16 5 ptl ps ps ptl

135 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 20 30 3. erőmű 14 16 5 ptl ps ps ptl

136 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 45 5 3. erőmű 14 16 30 ptl ps ps ptl

137 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 45 5 3. erőmű 14 16 30 vj

138 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 45 5 3. erőmű 14 16 30 vj

139 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 45 5 3. erőmű 14 16 30 vj

140 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 45 5 3. erőmű 14 16 30 vj

141 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 3 45 5 3. erőmű 14 16 30 vj

142 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 3 45 5 3. erőmű 14 16 30 vj

143 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 3 45 5 3. erőmű 14 16 30 vj

144 A szimplex szállítási módszer
1. város 2. város 3. város 4. város ui 1. erőmű 8 6 10 9 25 2. erőmű 12 13 7 3 45 5 3. erőmű 14 16 30 vj 2 -2 -7 -3 -2 -5 -3 Nincsen pozitív elem: a tábla optimális

145 Megoldás x11 = 0 x12 = 10 x21 = 45 x22 = 0 x31 = 0 x32 = 10 x13 = 25