Szögek, háromszögek, négyszögek és egyéb sokszögek, kör és részei.

Az előadások a következő témára: "Szögek, háromszögek, négyszögek és egyéb sokszögek, kör és részei."— Előadás másolata:

1 Szögek, háromszögek, négyszögek és egyéb sokszögek, kör és részei.
15. modul: Síkidomok Szögek, háromszögek, négyszögek és egyéb sokszögek, kör és részei.

2 Szögek, szögpárok Konkáv szögek: homorúszög, teljesszög, a többi konvex szög. Egyenlő szögpárok Egyállású szögek Váltószögek Csúcsszögek Merőleges szárú szögek

3 Szögek, szögpárok Egymást kiegészítő szögpárok Pótszögek
Mellékszögek Társszögek

4 Szögek, szögpárok Megoldás

5 Szögek, szögpárok

6 Szögek, szögpárok Megoldás

7 Szögek, szögpárok Melyik szöghöz társíthatók a következő fogalmak:
 pótszöge,  csúcsszöge,  mellékszöge,  társszöge?

8 A háromszög belső szögeinek összege 180°.
Háromszögek Elnevezések: csúcsok, oldalak, szögek Tételek: A háromszög belső szögeinek összege 180°. Egy háromszögben egyenlő oldalakkal szemben egyenlő szögek vannak (egyenlőszárú háromszög). A háromszögben hosszabb oldallal szemben nagyobb szög található, mint a rövidebb oldallal szemben.

9 A háromszög külső szögeinek összege 360°.
Háromszögek Háromszög-egyenlőtlenség: A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál. A háromszög külső szögeinek összege 360°. Külsőszög-tétel: a háromszög bármely külső szöge megegyezik a nem mellette fekvő két belső szög összegével.

10 A háromszög nevezetes vonalai

11 A háromszög nevezetes vonalai

12 A háromszög tulajdonságai
A derékszögű háromszög területét kétféleképpen is fel lehet írni: Pitagorasz-tétel: a derékszögű háromszögben a befogók négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével: c2=a2 + b2 ; a és b: befogók, c: átfogó.

13 A háromszög tulajdonságai
Mintapélda1 A Thalész-tételt régóta ismerjük: ha az AB szakasz (mint átmérő) köré kört rajzolunk, akkor a kör A és B-től különböző pontjaiban derékszög keletkezik. Készítsünk ábrát és vizsgáljuk meg a Thalész-tétel állítását: mi a feltétel és mi a következmény? Megoldás: a) Az ábra elkészítése után a feltétel: a következmény: Vagyis

14 A háromszög tulajdonságai
b) Fordítsuk meg a Thalész-tételt, vagyis cseréljük fel a következtetés irányát! Fogalmazzuk meg az így kapott állítást! Megoldás: Thalész tételének megfordítása: ha egy C pontból az AB szakasz derékszögben látszik, akkor C eleme az AB átmérőjű körnek. c) Ellenőrizzük szerkesztésekkel, hogy teljesül-e a megfordítás vagy sem!

15 Sokszögek és négyszögek
Konvex sokszög, konkáv sokszög Szabályos sokszög Speciális sokszögek: Deltoid: olyan négyszög, amelynek van két egyenlő szomszédos oldalpárja. Trapéz: olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja. Paralelogramma: olyan trapéz, amelynek van két párhuzamos oldalpárja . Rombusz: olyan paralelogramma, amelynek minden oldala egyenlő. Téglalap: olyan paralelogramma, amelynek minden szöge derékszög. Négyzet: olyan paralelogramma, amelynek minden oldala és szöge egyenlő.

16 A sokszögek szögei Mintapélda2 Megoldás:
Számítsuk ki a szabályos ötszög belső és külső szögeit, valamint ezek összegét! Megoldás: A belső szög A külső szög A belső szögek összege így 5∙108° = 540°, a külső szögek összege 5∙72° = 360°.

17 A sokszögek szögei Az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege: Az n oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege: 360°.

18 A sokszögek tulajdonságai
Mintapélda3 Válaszoljunk a következő kérdésekre! a) Melyik négyszögben felezik az átlók a szögeket? b) Melyik négyszögben merőlegesek egymásra az átlók? c) Melyik négyszögekben felezik egymást az átlók? Megoldás: a) Deltoidban a szimmetriaátló; rombuszban, négyzetben mindkét átló. b) Deltoidban, és mindenben, ami deltoid: rombuszban, négyzetben. c) Mindenben, ami paralelogramma: általános paralelogrammában, téglalapban, rombuszban, négyzetben. Azaz a középpontosan szimmetrikus négyszögekben.

19 A sokszögek tulajdonságai
Mintapélda4 Szerkesszünk trapézt, ha adottak az oldalai: az alapok 16 cm és 6 cm, a szárak 6 cm és 8 cm. Megoldás: A konvex sokszögek területe T = T1 + T2 + T3 + T4 + T5

20 A sokszögek tulajdonságai
Mintapélda5 Számítsuk ki az ábrán található négyszög területét rácsegységben! Megoldás: T = T1 + T2 = 17 területegység.

21 Speciális négyszögek területe
Deltoid: , ahol e és f a deltoid átlói. Hasonlóan számíthatjuk ki a rombusz és a négyzet területét, hisz azok is deltoidok. Trapéz: Paralelogramma: Téglalap: Négyzet:

22 A kör kerülete, területe
A kör területe: Mintapélda5 Számítsuk ki a következő síkidom területét és kerületét, ha a = 12 cm! Megoldás: cm2 cm

23 A kör részei, elnevezések
középponti szög (α ) körcikk körszelet körgyűrű körgyűrűcikk T = Tkörszelet = Tkörcikk – Tháromszög