Ugyanaz, több oldalról megvilágítva

Az előadások a következő témára: "Ugyanaz, több oldalról megvilágítva"— Előadás másolata:

1 Ugyanaz, több oldalról megvilágítva
2014. június 30. Aszód

2 Miért jó a több oldali megközelítés?
Segíti a megértést. Könnyebbé teszi a felidézést. Más problémáknál lehet, hogy majd csak egy megközelítés vezet célra. Segít abban, hogy egységben lássuk a … Mert így szebb, érdekesebb, akár vonzóbb is lehet a tananyag tárgyalása.

3 I. Amikor a fizika segít a matematikának
Közismert feladat: Adott egy e egyenes, és egyik oldalán két pont A és B. Határozzuk meg az egyenesnek azt a P pontját, amelyre AP+PB minimális!

4 I. Amikor a fizika segít a matematikának
Közismert feladat: Adott egy e egyenes, és egyik oldalán két pont A és B. Határozzuk meg az egyenesnek azt a P pontját, amelyre AP+PB minimális!

5 Vizsgáljuk a gyűrűre ható erőket!
A huzal csak a huzalra merőleges erőt tud gyakorolni a gyűrűre. Így a két gumiszál által gyakorolt erő eredője is merőleges a huzalra, nagyságuk pedig egyenlő. Ezért egyenlő szöget zárnak be a huzallal.

6 Az ábra szerinti B pontban van egy búvár, akinek annyi levegője van, hogy még 150 m utat tud megtenni a vízben, hogy a hajóhoz érjen: BD+DA=150 . Milyen maximális d mélységet tud elérni? Milyen irányban induljon a búvár?

7 Rögtön lefelé? Ha rögtön lefelé indul a búvár?
50 m + 14 m = 64 m mélységet tud elérni. Van-e ennél jobb megoldás? Képzeljük el, hogy a B és A közé egy 150 m-es kötelet húzunk, és arra egy csigán súlyt akasztunk.

8 A fizika segít A két piros erővektor egyenlő. (Miért?)
Ezért egyenlő szöget zárnak be a függőle- gessel. EA = 150  CE=90 d = CF = 70 m.

9 Az ABC hegyesszögű háromszög AB, BC, CA, oldalain határozzuk meg a P, Q, R pontokat úgy, hogy a PQR háromszög kerülete minimális legyen! Geometriai megoldás

10 Fizikai meggondolással
Húzzunk ismét gumiszálat gyűrűkre! Az erők ismét egyenlő szöget zárnak be az oldalakkal. Ezt elegendő tudni? Igen, mert csak egy megfelelő δ, ε, φ szögekkel rendelkező háromszög van.

11 Az ABC hegyesszögű háromszög belsejében határozzuk azt a P pontot, amelyre AP+BP+CP minimális!
Geometriai megoldás Forgassuk el az APB háromszöget B körül 60º-kal!

12 II. Geometria megoldás Használjuk fel, hogy egy szabályos háromszög bármely belső pontjából az oldalakra állított merőlegesek összege állandó!

13 II. Geometria megoldás Legyen P az izogonális pont, és a A1B1C1 szabályos háromszög oldalai legyenek merőlegesek a PA, PB, PC szakaszokra! Ekkor PA+PB+PC = =QA’+QB’+QC’ ≤ ≤ QA + QB + QC

14 Fizikai meggondolás Mikor lesz a P pontban a csomó három egyenlő nagyságú erő hatására egyensúlyban? Ha Ekkor viszont a három egyenlő erő páronként 120º-os szöget zár be.

15 Milyen P pontra PA2+PB2+PC2 minimális?
P-ben levő gyűrűből egy-egy eredetileg elhanyagolható hosszúságú gumiszálat húzunk a csúcsokba. A gyűrű oda áll, be, ahol végzett munka minimális, az erők összege 0. Az erő arányos a megnyúlással, ezért felvehetjük az erővektorokat úgy, hogy azok éppen a csúcsokba mutassanak. Ezek összege csak a súlypontból induló vektorokra 0.

16 Amikor a geometria segít az algebrának
Legyenek x, y, z a [0;1] intervallum tetszőleges számai. Mutassuk meg, hogy 0 ≤ x(1-y) + y(1-z) + z(1-x) ≤1! A bal oldali egyenlőtlenség nyilvánvalóan igaz, hiszen mindhárom tag nem negatív. Csak a jobb oldali egyenlőtlenséggel foglakozunk.

17 x(1-y) + y(1-z) + z(1-x) = x+y+z-xy-yz-zx =
Algebrai megoldás: A jobb oldali egyenlőtlenség bizonyításához vizsgáljuk a tagok két tényezőjét. I. Ha van köztük olyan, amelyben az egytagú nem kisebb a másiknál, pl x ≥1-y (*), akkor végezzük a következő becslést x(1-y) + y(1-z) + z(1-x) = x+y+z-xy-yz-zx = z(1- y-x) + y+x –xy ≤ y+x –xy ≤ 1 Az első egyenlőtlenség azért igaz, mert (*) miatt az elhagyott tag nem pozitív. A második 0-ra redukálással, szorzattá alakítással látható be: 0 ≤ 1- y-x +xy = (1-x)(1-y), és itt mindkét tényező nem negatív.

18 II: Ha minden a tagban az egytagú tényező kisebb a kéttagúnál:
0 ≤ x(1-y) + y(1-z) + z(1-x) ≤1! II: Ha minden a tagban az egytagú tényező kisebb a kéttagúnál: x < (1-y), y < (1-x), z < (1-x), akkor legyen X=1-x, Y=1-y, Z=1-z, ekkor x=1-X, y=1-Y, 1-Z=z, és az egyenlőtlenség új alakja: (1-X)Y +(1-Y)Z + (1-Z)X ≤1. Itt viszont már Y ≥ 1-X, ezért ez az egyenlőtlenség az I. pont szerint igazolható.

19 Függvénytani megoldás
Tekintsük a vizsgált kifejezést x függvényének, amelyben y és z paraméterek: f(x) = x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)=(1-y –z)x + (y + z –yz). 0≤x ≤1 Egy zárt intervallumon értelmezett lineáris függvény szélsőértékeit a végpontokban vesz fel, ezért elég megmutatni, hogy f(0) ≤ 1 és f(1) ≤1. Ez pedig igaz, mert f(0) =y+z–yz≤ 1, hiszen 0 ≤ 1- y-x +xy = (1-x)(1-y), és itt mindkét tényező nem negatív; továbbá f(1) = 1 – yz ≤1.

20 Geometriai megoldás B C y 1-x 1-y 1-z z P Q R 60° x 1 Mivel kéttényezős szorzatokat vizsgálunk, próbáljuk meg azokat területek mértékeként értelmezni! Tekintsünk egy 1 oldalú szabályos háromszöget, és ennek oldalain vegyük fel az x, y, z hosszúságú szakaszokat . Ahhoz, hogy területeket tudjunk értelmezni, az x(1-y)+y(1-z)+z(1-x) ≤1 egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk 1/2·sin 60 -kal! Az itt szereplő tagok, rendre a BPQ, CQR, ARP ill. ABC háromszögek területei. A

21 Az ábrák mutatják, hogy az alsó határ nem növelhető, a felső nem csökkenthető.

22 x, y, z olyan pozitív számok, amelyekre x2 + xy+ y2 = 25, y2 + yz+ z2 =36, z2 + zx+ x2 = 49. Határozzuk meg xy + yz + zx értékét! Algebrai megoldás Szorozzuk az egyenleteke rendre (x-y)-nal, (y-z)-vel, (z-x)-szel! Helyettesítsük ezt vissza az eredeti első egyenletbe :

23 x2 + xy+ y2 = 25, y2 + yz+ z2 =36, xy + yz + zx= ? z2 + zx+ x2 = 49.
egyenletrendszerben a konstanst érdemes kiküszöbölni. 400 y yz+400 z2 =14400 561y yz -231z2 =0. /:33z2

24 17 y2 +6 yz+ 7z2 =36, xy + yz + zx= ? Ennek pozitív gyöke Visszahelyettesítjük az y2+yz+z2=36 egyenletbe. Ebből:

25 x, y, z olyan pozitív számok, amelyekre x2 + xy+ y2 = 25, y2 + yz+ z2 =36, z2 + zx+ x2 = 49. Határozzuk meg xy + yz + zx értékét! Geometriai (trigonometriai) megoldás Az 5,6,7 egység oldalú ABC háromszögben P legyen az a pont, amelyből az oldalak 120-os szögben látszanak. Ha x=PA, y=PB, z=PC, akkor a fenti egyenletek éppen a PAB, PBC, PCA háromszögekre felírt cosinus tételek. Az egyenletrendszernek csak egy pozitív számhármas a megoldása, tehát ezek PA, PB és PC.

26 x, y, z olyan pozitív számok, amelyekre x2 + xy+ y2 = 25, y2 + yz+ z2 =36, z2 + zx+ x2 = 49. Határozzuk meg xy + yz + zx értékét! Geometriai (trigonometriai) megoldás Számítsuk ki ezután a háromszög területét kétféleképp: Héron képlettel, és fenti kis háromszögekre felírt trigonometrikus területképletek összegeként.

27 Néhány játék Két halomban kavicsok vannak.
Az egyikben k db, a másikban n db. Ketten felváltva vesznek el a két halomból. Egy lépésben az egyik halomból lehet elvenni akárhány kavicsot. (A lépésben levő választhat, hogy melyikből akar.) Az nyer, aki az utolsó kavicsot elveszi. Ki tud nyerni a kezdő, vagy a második?

28 a) Ki tud nyerni, ha k = 10, n=8 ? b) Ki tud nyerni, ha k = 6, n=6 ?
Kezdjük a b) feladattal. Ha Kezdő elvesz valamelyik halomból, akkor Második el tud venni ugyanannyit, (tehát visszaállítja az k=n helyzetet). Így Második nem veszíthet. Az a) feladatban viszont Kezdő el tudja érni a k=n helyzetet, és ezt Második elrontja, Kezdő visszaállítja, tehát Kezdő nem veszíthet.

29 Osztó- játék Két játékos egy „n” szám osztóit mondják felváltva úgy, hogy ha d1, d2, …,dk-t már mondták, akkor a következő osztó nem oszthatja egyiket sem az előzőek közül. Az veszít, akinek az „n” számot kell kimondani. Ki tud nyerni, ha n=64? 64 prímtényezős alakja: 64=26 64 osztói: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Mindegyik szám osztója az utána következőknek, ezért ha egy számot kimondunk, akkor az előtte levőket már nem lehet. Aki az utolsó előtti számot kimondja, az nyer. Ezt Kezdő az első lépésben megteheti, tehát Kezdő tud nyerni a 32-es szám kimondásával.

30 Ki tud nyerni, ha n=48? 48 prímtényezős alakja: 48=24·3
48 osztói: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Írjuk fel az osztókat a következő táblázatba: Célszerű lesz a következőképpen párba állítani az osztókat: , 4-6, 8-12, Kezdő 1-gyel kezd, Ha Második kimondja valamelyik pár egy elemét, akkor Kezdő mondja a másikat. Így Másodiknak kell n=48-at mondani.

31 Ki tud nyerni, ha n=72? 72 prímtényezős alakja: 72=23·32
Írjuk fel 72 osztóit a következő táblázatba: Itt már sokkal nehezebb megfelelő párokat összeállítani Ha egy osztót kimondunk, akkor a tőle jobbra, ill. felette álló osztók is kiesnek.

32 Ki tud nyerni, ha n=72? 72 prímtényezős alakja: 72=23·32
Írjuk fel 72 osztóit a következő táblázatba: Itt már sokkal nehezebb megfelelő párokat összeállítani Ha egy osztót kimondunk, akkor a tőle jobbra, ill. felette álló osztók is kiesnek. Pl. ha a 6-ot mondjuk ki, akkor 1, 2 és 3 is kiesnek.

33 Keressünk olyan párokat, amelyek egyik elemének elvétele után a partner, a másik elvételével nyerő helyzetbe tud jutni! Ilyen pár pl. a A 8-3 pár visszavezeti a feladatot az előzőre. De aki szimmetrikus L alakot alakít ki, az is nyerni tud. Ezért jó pár a, 12-9, A 4-18 pár is nyerő helyzetre vezet. Az 1, 2 ,3 után 6-ot mondva is nyerő helyzet lesz. De ha Kezdő 6-tal kezd, akkor Második minden lépésére tud a megfelelő párral válaszolni. Minden ilyen típusú játékban Kezdő nyer. Miért?

34 Mérgezett csokoládé játékok
Egy n x k oldalú csokitábla bal alsó 1 x 1–es darabja mérgezett. Ketten felváltva törnek a táblából egy darabot. A letört darabot meg kell enni. Az veszít, akinek a mérgezett darab jut. Ki tud nyerni, Kezdő vagy Második?

35 a) Egy rácsegyenes mentén törnek
10 x 10 es tábla És pl. 6x8-as táblánál ? Az eredeti helyzet egy négyzet, ebből Kezdő egy nem négyzet téglalapot hoz létre. Második visszaállítja egy kisebb négyzet alakot, utoljára az 1 x 1 –es négyzetet hagyja. Tehát Második nyer. Ha az eredeti helyzet nem négyzet, akkor Kezdő tud négyzetet létrehozni, tehát itt Kezdő tud nyerni.

36 Aki lép, az kiválaszt egy mezőt és levág egy olyan egy téglalapot, amelynek ez a bal alsó sarka
A kivágott részt eszi meg. n x k oldalú téglalap esetén ki tud nyerni? Vegyük észre, hogy ez azonos az osztójátékkal. Az ábra szerinti pl. n=2939 szám osztójátékával. Itt Kezdő nyerhet a piros mező kiválasztásával. (Az osztójátékban ez d=2838 osztó kimondásával egyenértékű.) Még n x 3 –as téglalapokra sem ismert a nyerő stratégia.

37 Köszönöm a figyelmet. skatz@freemail.hu