2.2. Az egyenes és a sík egyenlete

Az előadások a következő témára: "2.2. Az egyenes és a sík egyenlete"— Előadás másolata:

1 2.2. Az egyenes és a sík egyenlete

2 Mire kell az analitikus geometria?
Geometriai modell: pontok, vonalak, felületek és testek tárolása (reprezentációja) Átalakítások: geometriai számítások transzformációk Rajzolás: geometrikus képek; vetületek - transzformációk

3 Egy alakzat egyenlete …
3x + 4y = 6 : egy egyenes egyenlete; egyenlőség, az egyenes pontjaira, másra nem ax + by + c = 0: az egyenes (általános) egyenlete; paraméteres egyenlőség, minden (a,b,c)-re egy egyenes egyenlete, és minden egyeneshez van ilyen (a,b,c) De y = m  x + b : nem minden egyeneshez van (m,b) !

4 Egy alakzat egyenlete …
ax + by + c < : egy félsík egyenlőtlensége y = f( x ), z = g( x, y ) : explicit (kifejezett) egyenletek h( x, y ) = 0, : implicit egyenlet pl. x2 + y2 -1 = 0 x = u( t ), y = v( t ); a  t  b : paraméteres egyenletrendszer pl. x = r ∙ cos t, y = r ∙ sin t, z = v ∙ t ; 0  t < T

5 2. 2. 1. Egyenesek egyenlete (E 2, 3). hogyan adjuk meg
Egyenesek egyenlete (E 2, 3) hogyan adjuk meg? hogyan tároljuk? hogyan számolunk vele?

6 Két pontjával adott egyenes (E 2, 3)
Hogyan adhatjuk meg? (például) type Gxyz = real; // vagy double ? type Gpoint = record x, y [, z] : Gxyz; end; type Gline_pp = record P, Q : Gpoint; end; type Gvector = record x, y [, z] : Gxyz; end; 6

7 Az egyenes paraméteres egyenlete (E 2, 3)
Adott: P = (px, py [,pz] ) és Q = (qx, qy [,qz] ) Az egyenes minden X pontjához van olyan t  R hogy: X = P + t · (Q - P) = (1 - t) · P + t · Q ; - és minden ilyen t-hez tartozik egy X  PQ Az összetevőkre hasonlóan: x = px + t · (qx – px), azaz: x = (1 – t) · px + t · qx, y = py + t · (qy – py), y = (1 – t) · py + t · qy, [ z = pz + t · (qz – pz), z = (1 – t) · pz + t · qz ] 7

8 X = (1 – t) · P + t · Q ; ::: t értéke a szakaszon és azon kívül ! ::: egyenlőközű t értékek: egyenlőközű pontok, ::: t és (1 – t): X baricentrikus koordinátái az egyenesen, a P,Q alappontokra vonatkozóan ::: a baricentrikus koordináták affin invariánsak ! P Q t < 0 t = 0 t > 1 0 < t < 1 t = 1

9 Példa: két egyenes metszéspontja (E 2)
Adott egy egyenes P = (px, py) és Q = (qx, qy) pontjával Adott egy másik; R = (rx, ry) és S = (sx, sy) pontjával metszéspontjuk: M = (mx, my) 9

10 Példa: két egyenes metszéspontja (E 2)
PQ: mx = px + t · (qx - px); RS: mx = rx + t’· (sx - rx) my = py + t · (qy - py) my = ry + t’· (sy - ry) px + t · (qx-px) = rx + t’· (sx-rx), py + t · (qy-py) = ry + t’· (sy-ry) innen: t = …, (és t’ = …), majd ezzel mx = …, és my = … 10

11 Példa: két egyenes metszéspontja (E 2,3)
A síkban: 4 egyenlet, 4 ismeretlen: mx, my, t, t’; mx = px + t · (qx - px); mx = rx + t’· (sx - rx) my = py + t · (qy - py) my = ry + t’· (sy - ry) Nincs megoldás, ha PQ || RS, vagy PQ = RS (det. = 0) A térben: 6 egyenlet, 5 ismeretlen: mx, my, mz, t, t’; Az egyenesek a térben lehetnek kitérők ! Megoldás: először egy síkvetületben oldjuk meg, pl. z=0 ezzel kapunk: t és t’ ezzel kiszámítjuk a két egyenesen a z-t 11

12 Példa: egyenes metszése szakasszal (E 2 ):
Két egyenes metszéspontját számoljuk és M a szakaszon van, 0  t  1

13 Az egyenes „irányvektoros” egyenlete (E 2, 3)
v = Q – P: az egyenes irányvektora Ha adott P és v : X = P + t · v, x = px + t · vx , y = py + t · vy , [ z = pz + t · v]

14 Az egyenes normálegyenlete és ennek változatai (E 2)

15 pontjával és normálisával adott egyenes (E 2)
Hogyan adjuk meg? type Gline_np = record P : Gpoint; n : Gvector, end;

16 Az egyenes normál-egyenlete (E 2)
Adott P = (px, py) és n = (nx, ny) Az egyenesen bármely X = (x, y) -re: ( X – P ) · n = 0, azaz: (x - px) · nx + (y - py) · ny = 0, Az egyenesen ( X – P ) · n = egyik oldalán > 0, a másikon < 0. Átrendezve: X · n = P · n azaz: x · nx + y · ny = px · nx + py · ny ( x · a + y · b + c = 0 )

17 Az egyenes homogén, implicit egyenlete (E 2)
Az egyenes X = (x, y) pontjára (E 2): a · x + b · y + c = 0; a2 + b2  0; (a, b) az egyenes egy normálvektora Bármely (a,b,c) egy egyenes paraméterei, és bármely egyeneshez van ilyen (a,b,c) számhármas. Az egyenlet „implicit” (nem explicit) és „homogén”: (a,b,c)  (a,b,c) · h; h  0

18 (a,b,c)-vel adott egyenes (E 2)
Hogyan adjuk meg? type Gline_a,b,c = record a, b, c : Gxyz; end;

19 A homogén, implicit egyenlet … (E 2) – olv.
Hesse-féle normál alakban : a’ · x + b’ · y + c’ = 0; a’2 +b’2 =1; (a’; b’) egy normál-egységvektor Salmon féle alakban: x / a” + y / b” = 1 Homogén koordinátákkal; az X = [x, y, w] pontokra (H 2): a · x + b · y + c · w = 0; a2+b2  0; Egy egyenes megadása: [a,b,c]  h ·[a,b,c]; a2+b2  0;

20 Az egyenes egyenlete determináns alakban (E 2) - olv
Adott: P = (px, py) és Q = (qx, qy) a síkban (!!!) és egy tetszőleges X = (x, y) pontja d(PQX) = | x y 1 | a háromszög területe x | px py 1 | | qx qy 1 | Ha P, Q, X egy egyenesbe esik, akkor: d(PQX) = 0, azaz (py - qy)x + (qx - px)y + (px qy - py qx) = 0

21 Az egyenes iskolai „egyenlete” (E 2) - olv
y = M · x + B; korlátozott; az x = c egyenesekre nem, Ha lehet kerüljük !!! y2 – y1 Két adott pontján át: y = · (x – x1) + y1; x2 x1!! x2 – x1 átalakítva használható: (x2 – x1) · (y – y1) = (y2 – y1) · (x – x1)

22 Félsík megadása (E 2) (1) Homogén lineáris egyenlőtlenséggel: a · x + b · y + c < 0; a2 + b2  0; (2) a határ-egyenese: (R, n) „normál-egyenlőtlensége”: ( X – R ) · n < 0, a félsík minden X pontjára n R R

23 Síkok egyenlete (E 3)

24 A sík paraméteres egyenlete (E 3)

25 Három pontjával adott sík
Hogyan adjuk meg? Például: type Gplane_ppp = record P, Q, R : Gpoint; end;

26 A sík paraméteres egyenlete:
A síkban adott egy Q pont és az u, v vektor pár : X = Q + s · u + t · v, (a koordinátákra is) A sík három, nem egy egyenesbe eső P, Q és R pontjával X = Q + s·(P-Q) + t·(R-Q), vagy: X = (1-s-t) · Q + s· P + t · R x = qx + s·(px-qx) + t·(rx-qx), vagy: x = (1-s-t)·qx +s·px + t·rx y = qy + s·(py-qy) + t·(ry-qy), vagy: y = (1-s-t)·qy +s·py + t·ry z = qz + s·(pz-qz) + t·(rz-qz), vagy: z = (1-s-t)·qz +s·pz + t·rz.

27 A sík paraméteres egyenlete:
X = Q + s·(P - Q) + t·(R - Q), vagy: X = (1-s-t)·Q + s·P + t·R ha 0  s, t, 1-s-t  1 : a háromszög pontjai, ha egyik nulla: a háromszög egyik oldala, ha kettő nulla (és a harmadik 1): egyik csúcsa, ha valamelyik negatív, vagy >1: a pont kívül van. s, t, 1-s-t : baricentrikus koordináták a síkban

28 X = (1-u-v) · Q + u · P + v · R ; ::: A háromszögön belül 0 < u, v, u+v < 1 ::: egyenlőközű u,v értékek: egyenlőközű pontok, ::: u, v, és (1-u-v): X baricentrikus koordinátái a síkban, a P,Q, R alappontokra vonatkozóan ::: a baricentrikus koordináták affin invariánsak ! P Q u = 0 0 < u, v, u+v < 1 (u = 1) R v = 0 (v = 1) (u+v=0)

29 Példa: egyenes döféspontja síkkal
A döféspontot jelöljük így: M = (x, y, z ) A PQR síkjának egyenlete: M = (1-u-v) · Q + u · P + v · R ; az ST egyenes egyenlete: M = (1-w) · S + w · T ; A 3+3 egyenlet, 6 ismeretlen: x, y, z, u, v, w; Megoldás: az M két kifejezése egyenlő egymással. Marad 3 egyenlet az u, v, w ismeretlenekre De az egyenes és sík lehetnek párhuzamosak !

30 A sík egyenlete kifeszítő vektoraival
a = P – Q és b = R – Q a síkot kifeszítő két vektor Ha adott Q , a és b, akkor a sík bármely pontjához van u,v: X = Q + u · a + v · b,

31 A sík normálegyenlete és annak változatai (E 3)

32 pontjával és normálisával adott sík
Hogyan adjuk meg? Például: type Gplane_np = record P : Gpoint; n : Gvector, end;

33 A sík normálvektoros egyenlete :
A sík adott P pontja és n normálvektora: (X - P) · n = 0, illetve: (x-px)·nx + (y-py)·ny + (z-pz)·nz = 0; X · n = P · n, illetve: x·nx+ y·ny+ z·nz = px·nx+ py·ny+ pz·nz x·a + y·b + z·c + d = 0

34 A sík implicit, homogén egyenlete
A sík homogén, implicit egyenlete: a · x + b · y + c · z + d = 0; a2 + b2 + c2  0 Egy sík megadása (tárolása): [a,b,c]; a2 + b2 + c2  0 Homogén koordinátás alakban (H 3): a · x + b · y + c · z + d · w = 0; a2 + b2 + c2  0 Egy sík megadása: [a,b,c,d]  h·[a,b,c,d]; a2+b2+c2  0 Tömören: s · X = 0; s = [a, b, c, d] és X = [x, y, z, w] T;

35 A sík implicit, homogén egyenlete - olv
a·x + b·y + c·z + d = 0; a2+b2+c2  0 Hesse-féle normálalak: a’·x+b’·y+c’·z+d’=0; a’2+b’2+c’2=1 Salmon féle alak: x / a” + y / b” + z / c” = 1 determináns alak: 3 nem egy egyenesbe eső adott pont, P = (px, py,, pz,), Q = (qx, qy, qz,), R = (rx, ry, rz,): | x y z 1 | = 0 (az első sor szerint kifejtve …) | px py pz 1 | | qx qy qz 1 | (Az X, P, Q, R tetraéder | rx ry rz 1 | térfogatának 6-szorosa.)

36 Lássunk a koordináták mögé – t.i.
z = 0; mi ez? Egyenlőség, egyenlet, kié-mié? 0  x + 0  y + 1  z + 0 = 0 sík: z = 0 és akármilyen x, y; az XY sík x + y = 0 mi az? HF !

37 A sík homogén koordinátás egyenlete
Egy P pont homogén(-koordinátás) alakja (h≠0): P = [p1, p2, p3, p4]T  h·[p1, p2, p3, p4]T; pi nem mind 0 Egy s sík homogén(-koordinátás) alakja (h≠0): s = [s1, s2, s3, s4]  h·[s1, s2, s3, s4]; si nem mind 0 Az s sík egyenlete: az s minden X pontjára: s · X = 0, azaz: s1·x1 + s2·x2 + s3·x3 + s4·x4 = 0 Az ideális sík homogén alakja: [0, 0, 0, c ]; c  0 (Minden pontja ideális pont: [x, y, z, 0] )

38 Nevezetes pontok és síkok homogén alakja
Bármilyen c  0 számmal [0, 0, 0, c] T az origó, [c, 0, 0, 0] T az X tengely ideális pontja, [0, c, 0, 0] T az Y tengely ideális pontja, [0, 0, c, 0] T a Z tengely ideális pontja, [0, 0, 0, c] az ideális sík, (rajta van: [x,y,z,0]) [c, 0, 0, 0] az YZ (x = 0) koordináta-sík; pontjai: [0, y, z, h] [0, c, 0, 0] az XZ (y = 0) sík, [0, 0, c, 0] az XY (z = 0) sík homogén alakja.

39 További példák …

40 Egyenes döféspontja háromszöggel (E 3): t.i.
Adott egy háromszög A, B, C csúcsai, síkjának egyenlete: X = B + s · (A - B) + t · (C - B) Adott egy egyenes P, Q pontjaival. az egyenes egyenlete: X = P + u · (Q - P). döféspont: [ X = ] B + s · (A - B) + t · (C - B) = P + u · (Q - P) 3 egyenlet; 3 ismeretlen: t, s, u; ezekből számolható X. Ha 0  s, t, 1-s-t  1, akkor X a háromszögben van. (Nincs megoldás: párhuzamosak, vagy egybe esnek.)

41 Áttérés egy másik egyenletre – t.i.
Adott (a,b,c): a · x + b · y + c · z + d = 0 Írjuk föl a normál egyenletét: (X – R) · n = 0 Ehhez kell egy R pontja és egy n normálisa. a,b,c nem mind 0, ezért lehet R = (-d / a, 0, 0), vagy: (0, -d / b, 0), vagy (0, 0, -d / c) és egy n := (a, b, c);

42 Példa: hátsó lapok ritkítása - olv
Egy poliédert a C pontból (kamera) nézünk. Melyik lapok láthatók, melyek takartak? nq (PQ normálisa) és a CQ vektor tompa szöget zár be, CQ · nQ < 0  PQ látható np (PT normálisa) és a CP vektor hegyes szöget zár be, CP · nP > 0  PT nem látható Egy ABC lap normálisa: n = (A - B) x (C - B); (kívölről nézve KNÓJEI = CCLW)