Valószínűségszámítás

Az előadások a következő témára: "Valószínűségszámítás"— Előadás másolata:

1 Valószínűségszámítás
Események

2 Valószínűségszámítás
A valószínűségszámítás a matematika egyik ága, amely véletlen események vizsgálatával foglalkozik. A valószínűségszámítás nagyszámú véletlen kísérlet, tömegjelenség vizsgálatával foglalkozik. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

3 Véletlen esemény Véletlen eseménynek nevezzük azt az eseményt, amelynek különböző kimenetelei lehetnek, és előre nem lehet tudni, hogy közülük melyik következik be. Véletlen kísérlet olyan véletlen esemény, amely akárhányszor megismételhető azonos körülmények között. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

4 Elemi események Egy véletlen esemény egymást kölcsönösen kizáró lehetséges kimeneteleit elemi eseményeknek nevezzük. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

5 Az eseménytér Egy véletlen esemény összes elemi eseményeinek halmazát eseménytérnek nevezzük. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

6 Példák Pénzérme feldobása – véletlen kísérlet: elemi események: fej (F) és írás (I) az eseménytér: Ω = {F,I}. Villámlás – véletlen esemény: elemi események: mikor következik be? az eseménytér: Ω = R+. Egy szabályos játékkocka egyszeri feldobása – véletlen kísérlet: eseménytér: Ω = {1,2,3,4,5,6}. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

7 Esemény Az Ω eseménytér egy részhalmazát eseménynek nevezzük.
A dobókockával páros számokat dobunk: A={2,4,6}. Két pénzérme egyidejű feldobásakor különböző oldalra esnek: B= {FI,IF} 1 3 5 Ω 2 4 6 A Tóth István – Műszaki Iskola Ada

8 Feladatok Egy dobókockával kétszer gurítunk egymás után. Írd fel azt az eseményt, amely során a gurítások során kapott számok összege 7-től nagyobb. Egy dobókockát gurítunk, majd utána feldobunk egy pénzérmét. Írd fel azt az eseményt, hogy a dobókocával 4-től kiseb számot dobtunk és a pénzérme az írásra esett. Egy dobozban 3 piros és 4 fehér golyó található. Ha véletlenszerűen egyszerre kihúzunk három golyót, hogyan szól az az esemény, hogy pontosan egy fehér golyót húztunk ki? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

9 A biztos és a lehetetlen esemény
Biztos eseménynek nevezzük azt az eseményt, amely biztosan bekövetkezik: A=Ω. Lehetetlen eseménynek nevezzük azt az eseményt, amely semmilyen körülmények között sem következik be: A=Ø. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

10 A valószínűség Feltételezzük, hogy minden elemi esemény azonos eséllyel következik be. Az Ω eseménytér elemi eseményeinek számát az esemény lehetséges kimeneteleinek számának nevezzük (n). Az A eseményt alkotó elemi események számát a kedvező esetek számának nevezzük (m). Az A esemény valószínűsége a kedvező esetek számának és a lehetséges esetek számának hányadosa: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

11 Példák és feladatok Pénzérmét dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy fejet dobtunk? Mekkora a valószínűsége, hogy egy szabályos kocka dobásánál 6-ost dobunk? Mekkora a valószínűsége, hogy egy kocka dobásakor páros számot dobunk?

12 Feladatok A dobozban 12 fehér, 7 kék és 6 piros golyó található. Mekkora a valószínűsége, hogy: Egy pirosat húzunk ki? Két pirosat húzunk ki? Egy pirosat, egy kéket és egy fehéret húzunk ki? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

13 Feladatok Az A esemény valószínűsége 0,375, miközben az összes esetek száma 40. Mekkora lehet a kedvező esetek száma? A céllövészeten a találat valószínűsége 0,90. Körülbelül hányszor találtak célba, ha a 140-szer próbálkoztak? Az 52 lapos francia kártyacsomagból véletlenszerűen kihúzunk 2 kártyát. Mekkora a valószínűsége, hogy 9-est és dámát húzunk ki? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

14 Az események szorzata Az A és B események A·B szorzata az az esemény melynek során mint az A, mint a B esemény bekövetkezik. Ω A·B A és B Tóth István – Műszaki Iskola Ada

15 Példák Írd fel azt az eseményt, amely akkor következik be, amikor két kockát gurítva a kapott számok összege 2-vel és 3-mal osztható. A dobozban 1-től 36-ig számozott cédulák találhatóak. Ha egy cédulát kihúzunk, melyik az az esemény, amely szerint a rajta levő szám 20-tól kisebb és 3-mal osztható. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

16 Független események szorzatának valószínűsége
Az A és B eseményeket egymástól függetlennek tekintjük, ha az egyik bekövetkezése nincs hatással a másik bekövetkezésére. Ha A és B egymástól független események, akkor: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

17 Példák Mekkora a valószínűsége annak az eseménynek, amikor két kockát gurítva a kapott számok összege 2-vel és 3-mal osztható? A dobozban 1-től 36-ig számozott cédulák találhatóak. Ha egy cédulát kihúzunk, mekkora a valószínűsége annak az eseménynek, amely szerint a rajta levő szám 20-tól kisebb és 3-mal osztható. Két céllövő ugyanarra a céltáblára céloz. Az egyik p1 = 0,89, a másik p2 = 0,92 valószínűséggel érnek el találatot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy mindketten eltalálják a célt? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

18 Az események összege Az A és B események A+B összege az az esemény melynek során az A, vagy a B esemény bekövetkezik. Ω A+B A vagy B Tóth István – Műszaki Iskola Ada

19 Példák Feldobunk egy kockát. Legyenek A, B, C, D a következő események: A: páros számot dobtunk; B: legfeljebb 3-ast dobtunk; C: legalább 3-ast dobtunk; D: páratlan számot dobtunk. Határozzuk meg a következő eseményeket: A+B, B+C, A+D, A·B, B·C, A·D. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

20 Példák Egy szobában 3 különböző lámpa van. Jelentse A azt az eseményt, hogy a mennyezeti lámpa kiég, B azt, hogy az állólámpa kiég és C azt, hogy az olvasólámpa kiég. Írjuk fel az A, B, C eseményekkel a következőket: Mindegyik lámpa kiég. Egyik lámpa sem ég ki. Egy lámpa kiég. Pontosan egy lámpa ég ki. Van olyan lámpa, amelyik világít. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

21 Az események összegének valószínűsége
Mekkora a valószínűsége, hogy két dobókockával gurítva, a kapott számok összege 3-mal vagy 5-tel osztható szám lesz? A={12,15,21,24,33,36,42,45,51,54,63,66} B={14,23,32,41,46,55,64} A+B={12,14,15,21,23,24,32,33,36,41,42,45,46,51,54,55,63,64,66} ?

22 Az események összegének valószínűsége
Mekkora a valószínűsége, hogy egy dobozból, amelyben 20 darab 1-től 20-ig számozott golyó van, egy olyan golyót húzunk ki, amelyen levő szám 3-mal vagy 5-tel osztható? A={3,6,9,12,15,18} B={5,10,15,20} A+B={3,5,6,9,10,12,15,18,20}

23 Az események összegének valószínűsége
Ω A+B • Tóth István – Műszaki Iskola Ada

24 Példák Két céllövő ugyanarra a célra céloz. Az egyik p1 = 0,89, a másik p2 = 0,92 valószínűséggel érnek el találatot. Mekkora a valószínűsége annak, hogy legalább az egyik eltalálja a célt? A dobozban 60 cédula található, 1-től 60-ig számozva. Véletlenszerűen kihúzunk egy cédulát. Mekkora a valószínűsége, hogy 3-mal vagy 4-gyel osztható számot húztunk ki? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

25 Példák Két kockát dobtunk, és vizsgáljuk a dobott számok összegét. Mekkora a valószínűsége annak, hogy a dobott számok összege páros vagy 3-mal osztható. A 32 lapos kártyacsomagból kihúzunk egy kártyát. Mekkora a valószínűsége, hogy a kihúzott kártya 10-es vagy piros lesz? Két egymástól független esemény valószínűsége p(A) = 0,63 és p(B) = 0,53. Határozd meg a p(A·B) és p(A+B) valószínűségeket. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

26 Példák A kétszámjegyű számok közül véletlenszerűen kiválasztunk egy számot. Mekkora a valószínűsége, hogy 2-vel, 3-mal vagy 5-tel osztható. Három céllövő ugyanarra a céltáblára céloz. Mekkora a valószínűsége, hogy legalább az egyik eltalálja a célt, ha a három céllövő találatának valószínűsége egyenként: p1 = 0,81, p2 = 0,85 és p3 = 0,93. Tóth István – Műszaki Iskola Ada

27 Az ellentett esemény Az A esemény komplementere (ellentettje) az esemény, amely pontosan akkor következik be, amikor A nem következik be. Jelölés: Az ellentett esemény valószínűsége: Tóth István – Műszaki Iskola Ada

28 Példák Mekkora a valószínűsége, hogy a kocka nem fog 2-re esni?
Két kockát dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy nem kapunk 4-től nagyobb összeget? A dobozban 3 fehér, 4 piros és 5 zöld golyó található. Mekkora a valószínűsége, hogy nem fogunk zöldet kihúzni? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

29 Példák Két kockát dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy nem dobunk 7-es összeget? Két kockát dobunk. Mekkora a valószínűsége, hogy összegül 7-est, vagy nem páratlant dobunk? Ha az egyik céllövő p1=0,83, a másik pedig p2=0,88 valószínűséggel találja el a célt, mekkora a valószínűsége annak, hogy mindketten mellé lőnek? Tóth István – Műszaki Iskola Ada

30 A visszatevéses mintavétel
Példa: Egy dobozban 10 darab 1 dináros és 5 darab 2 dináros található. Egymás után kihúzunk 5 pénzérmét úgy, hogy a kihúzottat visszatesszük. Mekkora a valószínűsége, hogy közöttük 2 darab 1 dináros és 3 darab 2 dináros lesz? Az 1 dináros kihúzásának a valószínűsége: A 2 dináros kihúzásának a valószínűsége: Kedvező esetek: minden permutációja, összesen: A feladat megoldása:

31 Visszatevéses mintavétel
Ha egy kísérletet azonos körülmények között n-szer végezünk el, annak a valószínűsége, hogy egy p valószínűségű esemény pontosan k-szor következzen be: Binomiális eloszlás.