Előadást letölteni
Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon
KiadtaGyőző Németh Megváltozta több, mint 10 éve
1
Nemdeterminisztikus tulajdonság tesztelés László Lovász Katalin Vesztergombi
2
G(k,G): G-nek k véletlenül választott pontja által feszített részgráfja Definiciók September 20122
3
P tesztelhető: létezik olyan P’ teszt-tulajdonság, hogy (a)minden G ∈ P gráfra és minden k ≥ 1-re G(k,G) ∈ P′ valószínűsége ≥2/3, és (b) minden ε > 0 –hoz van olyan k 0 ≥ 1 hogy minden olyan G gráfra, melyre d 1 (G,P) > ε, és minden k ≥ k 0 -ra G(k,G) ∈ P′ valószínűsége legfeljebb 1/3. P: gráf tulajdonság tesztelhető gráf tulajdonságok September 20123
4
Példa: Nincs él. Tesztelhető gráf tulajdonságok: Példák Példa: Minden fok ≤10. Példa: Tartalmaz ≥ n/2 csúcsú klikket. Példa: Páros. Példa: Perfekt. September 20124
5
Removal Lemma: ’ ha t( ,G)< ’, akkor el lehet hagyni n 2 élt úgy, hogy háromszög-mentes gráfot kapjunk. Ruzsa - Szemerédi G’: véletlen feszített részgráf G’ nem háromszög-mentes G nem háromszög-mentes G’ háromszög-mentes nagy valószínűséggel G-ben kevés háromszög van Példa: háromszög-mentes Tesztelhető gráf tulajdonságok: Példák September 20125
6
Példa: Két izomorf gráf diszjunkt úniója. Tesztelhető gráf tulajdonságok: Példák Nem tesztelhető! September 20126
7
minden öröklödő gráf-tulajdonság tesztelhető. Alon-Shapira feszített részgráfra öröklődik Tesztelhető gráf-tulajdonságok September 20127
8
Nemdeterminisztikusan tesztelhető tulajdonságok Isteni szikra: kiszinezzük a csúcsokat, irányítjuk és szinezzük az éleket Q: irányított, szinezett gráfok egy tulajdonsága shadow(Q)={shadow(G): G Q}; G: irányított, él és csúcs-szinezett gráf shadow(G): elfelejtjük az irányítást, elhagyunk bizonyos színű éleket, elfelejtjük a szinezést P nemdeterminisztikusan tesztelhető: P= shadow(Q), ahol Q tesztelhető tulajdonsága szinezett, irányított gráfoknak. September 20128
9
Példák: Maximális vágásban ≥n 2 /100 él van. Tartalmaz ≥ n/2 csúcsú klikket. Tartalmaz olyan feszítő részgráfot, melynek egy tesztelhető P tulajdonsága van. Elhagyható ≤n 2 /100 él úgy, hogy a maradék gráf perfekt. Nemdeterminisztikusan tesztelhető tulajdonságok September 20129
10
Minden nemdeterminisztikusan tesztelhető gráf- tulajdonság tesztelhető. Főtt étel „P=NP” sűrű gráfok tulajdonság-tesztelésére. Tiszta exisztencia-bizonyítás egy algoritmusra. September 201210 L-V
11
Megszorítások és kiterjesztések Csúcs-szinezés kódolható él-szinezéssel. Nem foglalkozunk az irányítással. Ekvivalens: Tanusítványt unáris és bináris relációk adják. Ternáris stb? A tétel nem igaz, ha függvényeket is megengedünk a relációk mellett. (Példa: Két izomorf gráf diszjunkt úniója.) September 201211
12
G 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 AGAG WGWG September 201212 Gráfoktól függvényekig
13
September 201213 W 0 = { W: [0,1] 2 [0,1], szimmetrikus, mérhető } Magfüggvények és grafonok G gráf W G grafon W = { W: [0,1] 2 R, szimmetrikus, korlátos, mérhető } magfüggvény grafon
14
September 201214 Van véges definíció. Vágás-távolság vágás-norma L ([0,1] 2 )-n vágás-távolság
15
Egy P gráf tulajdonság a.cs.a. tesztelhető, ha minden (G n ) gráfsorozatra, ahol |V(G n )| és (G n,P) 0, fennáll, hogy d 1 (G n,P) 0. Vágás-távolság és tulajdonság-tesztelés September 201215 L-Szegedy
16
September 201216 k-elemű minták eloszlása minden k-ra konvergens annak a valószínűsége, hogy egy véletlen V(F) V(G) leképezés éltartó (G 1,G 2,…) konvergens: F t(F,G n ) konvergens Gráfsorozat konvergenciája (G 1,G 2,…) konvergens Cauchy a vágás-távolságra nézve Borgs-Chayes-L-Sós-V
17
September 201217 G n W : F t(F,G n ) t(F,W) Gráfsorozat limesz-grafonja Ekvivalens:
18
September 201218 Minden konvergens (G n ) gráfsorozathoz van olyan W W 0, melyre G n W. Megfordítva, W (G n ) melyre G n W. W lényegében egyértelmű (mértéktartó transzformációtól eltekintve). Limesz-grafon: exisztencia és unicitás L-Szegedy Borgs-Chayes-L
19
Legyen G n gráfsorozat, és U olyan grafon, melyre G n U. Ekkor a G n gráfok úgy címkézhetők, hogy Konvergencia normában (W n ): egyenletesen korlátos magfüggvények sorozata, melyre W n 0. Ekkor W n Z 0 minden integrálható Z: [0,1] 2 R függvényre. September 201219 Borgs-Chayes-L-Sós-V L-Szegedy
20
k-grafonok k-grafon: W=(W 1,...,W k ), ahol W 1,...,W k W 0 és W 1 +...+W k =1 törtszinezés k színnel September 201220 G(r,W): véletlen x 1,...,x r [0,1], (i,j)-t összekötjük a c színnel W c (x i,x j ) valószínűséggel.
21
L n : k-él-szinezett gráfok. L n konvergens: G(r,L n ) eloszlása konvergens r-re. k-szinezett gráfok konvergenciája September 201221 L n k-szinezett gráfok konvergens sorozata k-grafon W : r G(r,L n ) G(r,W) (eloszlásban). Ekvivalens: L-Szegedy
22
H 1, H 2,... Q Q shadow(H n )=G n ... J 2, J 1 shadow(J n )=F n Q -hoz közel G 1, G 2,... ... F 2, F 1 P P P -től távol Fő tétel: bizonyítás September 201222
23
Legyen W=(W 1,...,W k ) k-grafon, és legyen. Legyen F n U. Ekkor vannak olyan k-szinezett J n gráfok, melyekre shadow(J n ) = F n és J n W. Fő lemma September 201223
24
September 201224 + F Bizonyítás (k=3, m=2) W 1 W 2 + = H 1 H 2 U
25
September 2012 (H 1, H 2 ) tört él-szinezés (J 1, J 2 ) véletlen él-szinezés Bizonyítás (folyt) kicsik (Csernov) kicsik Két bizonyítandó: 25
26
September 201226 Bizonyítás (folyt)
27
September 201227 Bizonyítás (folyt)
28
September 201228 Mintavétel: Egyenletes eloszlású véletlen csúcsot választunk korlátos sokszor, és kikutatjuk a szomszédságát korlátos mélységben. Korlátos fokú gráfok (≤D)
29
September 201229 Maximális vágás nem becsülhető ebben a modellben. (véletlen D-reguláris gráf vs. véletlen páros D-reguláris gráf) P NP ebben a modellben. Korlátos fokú gráfok (≤D) (véletlen D-reguláris gráf vs. két véletlen D-reguláris gráf úniója)
Hasonló előadás
© 2024 SlidePlayer.hu Inc.
All rights reserved.