Hőeloszlás háromszögelt síkrészeken Május, 2002 Bálint Miklós Vilmos Zsombori

Az előadások a következő témára: "Hőeloszlás háromszögelt síkrészeken Május, 2002 Bálint Miklós Vilmos Zsombori"— Előadás másolata:

1 Hőeloszlás háromszögelt síkrészeken Május, 2002 Bálint Miklós (miklosb@student.ethz.ch) Vilmos Zsombori (v.zsombori@gold.ac.uk)

2 Áttekintés a témakör meghatározása síkbeli NURBS görbék véges elem módszer Delaunay háromszögelés következtetések

3 Fizikai szimulációk Test Forma Anyag és más jellemzők Jelenség Átmeneti Egyensúly Model Megoldás Analítikus Numerikus CAD rendszer Felosztás Anyag def. FEMBEMFDM Vizualizáció Eredmény

4 FEM – egyenlet, módszer egyenlet: módszer: véges elemek (FEM) átalakítjuk integrálegyenletté alkalmazzuk a Green formulát - > redukálja a deriváltak rendjét diszkretizáljuk a teret - > háromszögelés, bázisfüggvények számolása integrálunk a háromszögeken - > számoljuk a merev mátrixokat (element stiffness matrices) összerakjuk a rendszert alkalmazzuk a határfeltételeket

5 FEM – a mi esetünk °integrálegyenlet: °Green formula után: °a tartományt felosztjuk háromszögekre:

6 FEM – elemek °háromszög - koordináta rendszer, bázisfüggvények °integrálás, merev mátrix

7 FEM – összerakás, határfeltétel °összerakás - > ritka mátrix °határfeltételek - > redukálódik az egyenletrendszer rendje °megoldás: direkt - „pontos”, „lassú” iteratív – „közelítő”, „gyorsabb”

8 FEM – eredmény °és végül az eredmény: K x =10E-10; K y =10E+10 K x =10E+10; K y =10E-10

9 NURBok – görbék °síktartományok - > görbék határolják °görbék - > függvények: explicit implicit parametrikus °cél: egy olyan görbe, amely „mímel” minden formát, flexibilis kezelhetőséget nyújt, lehet kontrolálni a folytonosságát ill. görbületét, formája nem változik meg, ha elemi grafikai műveleteknek tesszük ki, „gyorsan” evaluálódik.

10 NURBok – jellemzők °NURB görbék: (non uniform rational B-splines) °meghatározzák: az alakját – kontrol pontok (b i ) a folytonosságát – knot-ok (x i ) a görbületét – egy pozitív egész szám - > a görbe rendje (k) °tulajdonságok: polinomiális – bármely pontot a görbéről k darab k-1-ed fokú polinom kiértékelésével kapunk rational vagyis racionális – minden kontrol ponthoz hozzá van rendelve egy súly, amely szerint e pont befolyásolja a görbének a rá eső részét a kontrol pontok befolyása a görbére lokális non uniform vagyis nem egyenletes – ez a knot vektorra vonatkozik; így a görbét át tudjuk vezetni bizonyos pontokon, ill. a görbén „sarkakat” létrehozni

11 NURBok – bázisfüggvények °bázisfüggvények: °kiértékelés: ; egyenlet: °kontrolpontok lokalitása:

12 NURBok – egyenletes nem-egyenletes °egyenletes kvadrikus bázisfüggvények: °nem-egyenletes kvadrikus bázisfüggvények:

13 Felosztás °Háromszögelés °Feltételek Alak - minimál szög minél nagyobb: konvergencia Nagyság: egyenesen befolyásolja a hibát Számosság: megoldás sebessége °Cél Jó alakú háromszögek Kontrolálható számosság Kontrolálható eloszlás

14 Felosztás °Delaunay háromszögelés bemenet: ponthamaz minden háromszög köré írt kör “üres” legnagyobb minimál szög °algoritmus alaplművelet: flip inkremetális

15 Felosztás °kötött Delaunay háromszögelés bemenet: egyenes élű sík gráf (PSLG) módositott “üres” kör bemenet élek részei a háromszögelésnek °algoritmus Divide-et-impera minden élnek megfelel egy jól meghatározott Delaunay csúcs csak a tartomány belsejét dolgozzuk fel

16 Felosztás °Általános Delaunay finomítás Steiner pontok birtokolt bemenet él - > élosztás kisszögű háromszög - > háromszögosztás minimál szög garantált (felhasználó) °Sajátos igények Bizonyos területen kisebb háromszögek határon: tompaszög belsőben: közeli pontok

17 Következtetések °Közelítési hibák térbeli diszkretizálás: háromszögelés lineáris interpoláció °Továbbfejlesztések pontosság - > kvadrikus/kubikus elem bázisokkal (6x6/10x10 merev mátrixok, Gauss kvadratúrák) - > csökken a sebesség időfüggő egyenlet u.a. a mesh generátor, solver + időbeli diszkretizáció (FDM) más egyenlet u.a. a mesh generátor, továbfejlesztett solver 3-Dimenzió uj mesh generátor, kevés módosítás a solver-ben sebesség párhuzamosítás multigrid használatával