Kétismeretlenes elsőfokú (lineáris) egyenletrendszerek

Az előadások a következő témára: "Kétismeretlenes elsőfokú (lineáris) egyenletrendszerek"— Előadás másolata:

1 Kétismeretlenes elsőfokú (lineáris) egyenletrendszerek
Megoldási módszerek és kidolgozott feladatok

2 Megoldási módszerek Grafikus módszer Behelyettesítéses módszer
Egyenlő együtthatók módszere

3 Grafikus módszer Szükséges lépések, hogy az egyenletek y-ra legyenek rendezve, az egyenleteket mint függvényeket közös koordináta rendszerben ábrázoljuk, és a kapott metszéspont tengelyekre vetített képét leolvassuk. Ezek adják a megoldást.

4 x=1; y=2 és ez az egyenletrendszer megoldása
Példa x=1; y=2 és ez az egyenletrendszer megoldása

5 X=0; y=2 És ez az egyenletrendszer megoldása
Példa X=0; y=2 És ez az egyenletrendszer megoldása

6 Megoldás: x=3; y=-1 Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! I. II.
Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben I. II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! x 1 5 10 -5 -10 y I. Megoldás: x=3; y=-1 II.

7 Megoldás: x=2; y=2 Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! y=2 X=2
Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben I. II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! 5 -5 x y I. Megoldás: x=2; y=2 y=2 X=2 II.

8 I. Mivel mind a két egyenlet y-ra rendezett, ezért ábrázolhatjuk ezeket közös koordinátarendszerben II. Olvassuk le a metszéspont jelzőszámait! 5 -5 x y Megoldás: Mivel nincs metszéspont, ezért nincs megoldása az egyenletrend-szernek I. II.

9 Megoldás behelyettesítő módszerrel
Valamelyik egyenletet az egyik változójára rendezzük Ezután behelyettesítjük a rendezett egyenletet a másik eredeti egyenletbe. Az így kapott egy ismeretlenes egyenletet megoldjuk. A kiszámított ismeretlent visszahelyettesítjük a másik egyenletbe, majd az így kapott szintén egyismeretlenes egyenletet megoldva kapjuk a másik ismeretlen értékét.

10 Megoldás behelyettesítő módszerrel (folytatás)
A kiszámított ismeretlent visszahelyettesítjük a másik egyenletbe, majd az így kapott szintén egyismeretlenes egyenletet megoldva kapjuk a másik ismeretlen értékét. A kapott megoldásokat ellenőrízzük.

11 Mely számpárok elégítik ki az egyenletek megoldáshalmazát?
Vegyük észre, hogy a II. egyenlet x-re rendezett! I. II. Helyettesítsük be a II. egyenletet az I. egyenletbe! II. I. Zárójelbontás Összevonás / -2 / :7 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása: x=2, és y=1

12 Példa a behelyettesítő módszerre
Vegyük észre, hogy az I. egyenlet könnyen y változóra rendezhető! Elegendő visszahelyettesíteni az előbb kapott eredményt az I. egyenlet rendezett alakjába! És ez a megoldása az egyenletrendszernek

13 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
II. Fejezzük ki y-t az I. egyenletből! Helyettesítsük be az I. egyenlet y-ra rendezett alakját a II.-ba! I. II. Behelyettesítéskor ügyeljünk arra, hogy többtagú tényezővel helyettesítünk! / +32 / :7 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása: x=5, és y=6

14 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
Fejezzük ki y-t a II. egyenletből! I. II. Helyettesítsük be a II. egyenlet y-ra rendezett alakját az I.-be! II. I. Behelyettesítéskor ügyeljünk arra, hogy többtagú tényezővel helyettesítünk! / Összevonás / :9 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet rendezett alakjába! Az egyenletrendszer megoldása: x=3, és y=2

15 Egyenlő együtthatók módszere
Akkor hatásos, amikor a behelyettesítés előkészítése bonyolulttá tenné az egyenlet átrendezését. Célunk ezzel a módszerrel az, hogy valamelyik ismeretlen változótól kiküszöböljük. Ezt úgy tehetjük meg, hogy mindkét egyenletnek az egyik kiválasztott változóit ekvivalens átalakítással egyenlő abszolút értékű együtthatóra alakítjuk.

16 Egyenlő együtthatók módszere (folytatás)
Ha az együtthatók azonos előjelűek, akkor kivonjuk, ha ellentétes előjelűek, akkor összeadjuk az egyenleteket. A kapott egyismeretlenes egyenletet megoldva kapjuk az egyik ismeretlent. Bármelyik egyenletbe visszahelyettesítve, az egyenletet megoldva kapjuk a másik ismeretlent. Az eredményeket ellenőrízzük.

17 Ha az I. egyenletet megszorozzuk 3-mal, és a II
Ha az I. egyenletet megszorozzuk 3-mal, és a II. egyenletet megszorozzuk 2-vel, akkor mindkét egyenletben az x változó 6 szorosa jelenik meg. Azaz: Mindkét egyenletben a 6x-es tagok pozitívak. Vonjuk ki az I. egyenletből a II.-at.

18 Oldjuk meg ugyanezt az egyenletrendszert x-re is!

19 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
/ *7 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 175 lesz a közös együtthatójuk II. / *5 I. Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat! II. - I. II. / :20 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -40,3 / :35 Az egyenletrendszer megoldása: x=-0,18, és y=1,3

20 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
/ *2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 10 lesz a közös együtthatójuk II. I. Vonjuk ki az első egyenletből a másodikat! II. - I. II. / :9 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -18 / :10 Az egyenletrendszer megoldása: x=5, és y=6

21 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
/ :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! II. - II. I. / :2 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt az I. egyenlet eredeti alakjába! / -18 / :4 Az egyenletrendszer megoldása: x=5, és y=3

22 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
/ :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz bármelyik x-hez találunk pontosan egy y megoldást Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.

23 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
/ :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / :5 I. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz bármelyik x-hez találunk pontosan egy y megoldást Az egyenletrendszernek végtelen sok megoldása van.

24 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
/ :2 I. Ahhoz, hogy x-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. / *1 I. Vonjuk ki a második egyenletből az elsőt! II. - II. I. Azaz nincs megoldása az egyenletrendszernek

25 Mi a megoldása a következő egyenletrendszernek?
/ *2 I. Ahhoz, hogy y-t ki ejthessük az egyenletrendszerből, vegyük észre, hogy 2 lesz a közös együtthatójuk II. I. Adjuk össze az első és a másodikat egyenleteket! II. I. + II. / :11 Helyettesítsük vissza ezt az eredményt a II. egyenlet eredeti alakjába! / -14 / : (-2) Az egyenletrendszer megoldása: x=2, és y=6