Diplomamunka Geometriai invariánsokat interpoláló rekurzívan finomítható felületek Valasek Gábor ELTE IK, 2008.

Az előadások a következő témára: "Diplomamunka Geometriai invariánsokat interpoláló rekurzívan finomítható felületek Valasek Gábor ELTE IK, 2008."— Előadás másolata:

1 Diplomamunka Geometriai invariánsokat interpoláló rekurzívan finomítható felületek Valasek Gábor ELTE IK, 2008

2 Tartalom 1. Bevezetés 2. Magasabb rendű adatok interpolálásának klasszikus megoldásai 3. Felosztási algoritmusok 4. Felosztási felületek 5. Magasabb rendű adatok interpolálása felosztási felületekkel

3 Görbe- és felületdefiniáló sémák A modellező és animációtervező rendszerekben a szabadformájú felületek és görbék fontos tervezési eszközök Miként tároljuk őket?

4 Görbék reprezentálása; egy példa

5 Görbék és felületek A görbék és felületek reprezentációja tehát függ attól, hogy milyen sémák segítségével számítjuk ki a tényleges térbeli objektumokat Ha növeljük a tárolt információk rendjét, akkor csökken a tárolandó pontok száma

6 Tartalom 1. Bevezetés 2. Magasabb rendű adatok interpolálásának klasszikus megoldásai 3. Felosztási algoritmusok 4. Felosztási felületek 5. Magasabb rendű adatok interpolálása felosztási felületekkel

7 Feladat Egy adott, geometriai adatokat tartalmazó halmaz elemeihez egy olyan görbét vagy felületet adni, amely rekonstruálja az alappontokat és az ott megadott magasabb rendű mennyiségeket is

8 Magasabb rendű adatok interpolálása Több megoldás alappontok és első deriváltak vagy érintőirányok ismeretében görbékre:  Harmadfokú Hermite interpoláció  Összetett Bézier görbék Felületeknél pontok és parciális deriváltak vagy felületi normálisok ismeretében:  Hermite patch  Nielson és Piper

9 Tartalom 1. Bevezetés 2. Magasabb rendű adatok interpolálásának klasszikus megoldásai 3. Felosztási algoritmusok 4. Felosztási felületek 5. Magasabb rendű adatok interpolálása felosztási felületekkel

10 Görbék és felületek A '90-es évek elején két főbb reprezentáció a modellező és animációtervező rendszerekben:  Poligonhálók  NURBS-ök

11 Poligonháló

12 NURBS

13 Felosztási sémák Egy kiindulási pontháló rekurzív sűrítésével kapott ponthalmaz hatérértékeként definiálják a felületet Az előző kettő ennek speciális esete '90-es évek közepétől animációtervező rendszerekben:

14 Felosztási sémák

15 Előnyök:  Általános kiindulási topológia  Jól skálázható  Numerikus stabilitás  Hatékony implementáció ... Problémák:  NURBS-ös és poligonhálós eszközök átültetése

16 Tartalom 1. Bevezetés 2. Magasabb rendű adatok interpolálásának klasszikus megoldásai 3. Felosztási algoritmusok 4. Felosztási felületek 5. Magasabb rendű adatok interpolálása felosztási felületekkel

17 Catmull-Clark séma Approximációs séma Mindkét paraméterirányban harmadfokú Bézier felületdarabok vizsgálatából indult ki C2 folytonos határfelület, ami C1 folytonos extremális pontokban

18 Lapokból, élekből, csúcsokból származó pontok b i : szülő lap csúcsai b i : szülő él végpontjai q i : szülő él két oldalán lévő lapok középpontjai Q: szülő csúcsba befutó lapokból származó pontok R: szülő csúcsra illeszkedő élekből származó pontok S: szülő csúcs

19 Catmull-Clark kiterjesztése pont- normális interpolációra Az interpolálandó pontok I halmazához kell egy Catmull-Clark kiindulási M ponthalmazt konstruálni Felírhatjuk mátrix-vektor szorzások sorozataként a felosztás műveletét egy-egy csúcspont környezetében Az ehhez használt felosztási mátrix sajátvektorainak segítségével kifejezhető az eredményfelület pontja és a felületi normális is

20 Catmull-Clark kiterjesztése pont- normális interpolációra Lineáris egyenletrendszer formájában megfogalmazhatóak az pont és felületi normáls interpolálásának feltételei Az egyenletrendszer felírásának van olyan módja, amely mellett az nem lesz szinguláris

21 Doo-Sabin séma Chaikin saroklevágási algoritmusának ötletét vitték tovább felületekre Szintén approximáló séma G1 folytonos határfelület

22 Új pontok

23 Csúcsokból, élekből, lapokból származó új lapok

24 Doo-Sabin séma kiterjesztése pont- normális interpolációra Szintén I-hez kell kiindulási M A lapközéppontok a séma lépéseiben fixpontok És egyúttal a normálisok is azok lesznek, ha a definiáló topologikus lapoknak megfelelő pontok a térben síklapokat alkotnak

25 Tartalom 1. Bevezetés 2. Magasabb rendű adatok interpolálásának klasszikus megoldásai 3. Felosztási algoritmusok 4. Felosztási felületek 5. Magasabb rendű adatok interpolálása felosztási felületekkel

26 Magasabb rendű alapadatok Az igény mindig is megvolt a felosztási sémák határfelületének görbületfolytonossága iránt Ezért konstruáltunk egy sémát alappontok, felületi normálisok, görbületi főirányok és főgörbületi értékeket interpoláló felületet létrehozására

27 A séma váza 1) Pontonkénti határfelület konstruálása, amely interpolálja az összes megadott mennyiséget 2) A topologikus élek mentén a szomszédos pontpárok közé hordozófelület konstruálása 3) A hordozófelület segítségével a ponthálóba új pontok és mennyiségek beszúrása 4) A topológia frissítése

28 Pontonkénti határfelület

29 Szomszédos pontok közti átmeneti felület

30 Új pont

31 Topológia frissítése

32 Pontonkénti határfelület A tóruszt választottuk és a bemeneti adat típusától függően annak is csak speciális pontjait:

33 Elliptikus interpolálandó pont

34 Parabolikus interpolálandó pont

35 Hiperbolikus interpolálandó pont

36 Átmeneti felület és új pont A szomszédos pontok egymáshoz való térbeli viszonyaitól és típusoktól függ Másodfokú racionális Bézier felületdarabbal írjuk le A ponthálóhoz hozzávételre kerülő pont ezen felületdarab (0.5, 0.5) paraméterértékéhez tartozik

37 Topológia frissítése A legegyszerűbb valamilyen heurisztika szerint szétvágni a lapokat  Most úgy, hogy a keletkező két lap kerületének különbsége minimális legyen Azonban ritkítható a keletkező pontháló  Pl. legnagyobb görbületű pontok megtartásával stb.

38 Összefoglalás Magasabb rendű adatok előnyei Felosztási sémák Kiterjesztések interpolálásra