2. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI

Az előadások a következő témára: "2. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI"— Előadás másolata:

1 2. A KVANTUMMECHANIKA AXIÓMÁI

2 Erwin Schrödinger: Quantisierung als Eigenwertproblem
(1926)

3 Matematikai fogalmak

4 Az operátor

5 Az operátor Függvény: mennyiséget rendel mennyiséghez.
Az operátor (általánosan): egyik halmaz elemit rendeli egy másik halmaz elemeihez. Függvényoperátor: függvények halmazának elemeit rendeli egy másik függvényhalmaz elemeihez. (függvényt rendel függvényhez.) A kvantummechanikában a függvényoperátorokat nevezzük röviden operátoroknak.

6 Az operátorok jele: Független változók, amelyek az operátorban és az egymáshoz rendelt függvényekben is szerepelnek „kalap”

7 Például

8 Például Alkalmazzuk a fenti operátort!

9 Például Alkalmazzuk a fenti operátort! Eredmény:

10 Alkalmazzuk az operátort másik függvényre!

11 Alkalmazzuk az operátort másik függvényre!
Eredmény:

12 Alkalmazzuk az operátort egy harmadik függvényre!

13 Alkalmazzuk az operátort egy harmadik függvényre!
Eredmény:

14 Nézzünk egy többváltozós operátort is!

15 Nézzünk egy többváltozós operátort is!
Alkalmazzuk az f(x,y) = x2y2 függvényre!

16 Nézzünk egy többváltozós operátort is!
Alkalmazzuk az f(x,y) = x2y2 függvényre! Eredmény:

17 Operátor sajátérték-egyenlete

18 Operátor sajátérték-egyenlete

19 Operátor sajátérték-egyenlete
változóit együtt röviden -val jelöljük

20 Operátor sajátérték-egyenlete
változóit együtt röviden -val jelöljük Például helyett csak

21 Operátor sajátérték-egyenlete
változóit együtt röviden -val jelöljük Például helyett csak sajátfüggvény C sajátérték (konstans)

22 Operátor sajátérték-egyenlete
változóit együtt röviden -val jelöljük Például helyett csak sajátfüggvény A sajátérték-egyenlet megoldása C sajátérték (konstans)

23 Sajátérték-egyenlet: a ()-en az operátor által kijelölt műveletet végrehajtva visszakapjuk a () függvényt a C konstanssal szorozva

24 A sajátérték-egyenlet megoldásai:
0(), 1(), 2(),  sajátfüggvények és a rendre hozzájuk tartozó C0, C1, C2  sajátértékek

25 A sajátérték-egyenlet megoldásai:
0(), 1(), 2(),  sajátfüggvények és a rendre hozzájuk tartozó C0, C1, C2  sajátértékek Másképp fogalmazva: A 0() - C0, 1() - C1, 2() - C2  sajátfüggvény - sajátérték párok

26 Példa sajátérték-egyenletre
operátor sajátérték-egyenlete

27 Példa sajátérték-egyenletre
operátor sajátérték-egyenlete Megoldások:

28 Példa sajátérték-egyenletre
operátor sajátérték-egyenlete Megoldások: f0(x) = ex, C0 = 1

29 Példa sajátérték-egyenletre
operátor sajátérték-egyenlete Megoldások: f0(x) = ex, C0 = 1 f1(x) = e2x, C1 = 2 

30 Komplex számok Tartalmazzák az i imaginárius egységet
Jelölésük: a + ib valós rész képzetes rész

31 Komplex szám abszolút értéke
Komplex szám konjugáltja a + ib konjugáltja a - ib Komplex szám abszolút értéke |a + bi|2 = (a + ib) (a - ib)

32 Komplex szám konjugáltja
a + ib konjugáltja a - ib Komplex szám abszolút értéke |a + bi|2 = (a + ib) (a - ib) = = a2 + iab - iab + b2 = a2 + b2 Mindig valós!

33 Komplex függvények F(x,y) = V(x,y) + iW(x,y)
alakban felírható függvények Két valós függvényt tartalmaznak: V(x,y) és W(x,y)

34 Teljes analógia a valós számokkal!

35 A komplex függvény konjugáltja
komplex konjugált Jele: fölül vonás

36 A komplex függvény abszolút értéke
Jelöljük a változókat -val! A függvény és komplex konjugáltjának szorzata az abszolút érték négyzete. Valós függvény!

37 A kvantummechanika axiómái
1. axióma. Alapmennyiségek 2. axióma. Sajátérték-egyenlet 3. axióma. Állapotfüggvény 4. axióma. Időbeli folyamatok 5. axióma. Várható érték 6. axióma. Hullámfüggvény előjele (okt. eleje)

38 1. axióma Alapmennyiségek.

39 A fizikai mennyiségek:
• Természeti állandók (fénysebesség vákuumban, elektron töltése, elektron tömege ) •• Alapmennyiségek (távolság, idő, tömeg, töltés, hőmérséklet, fényerősség) ••• Leszármaztatott mennyiségek

40 vagy 3 dimenziós térben 3 távolság (x,y,z)
A klasszikus mechanika alapmennyiségei: Távolság (d) vagy 3 dimenziós térben 3 távolság (x,y,z) helyvektor Idő (t) Tömeg (m) A többi mennyiséget ezekből származtatjuk le!

41 A kvantummechanika alapmennyiségei:
Távolság (d) / Helyvektor Idő (t) Tömeg (m) Töltés (q) Impulzus ( )

42 Távolság (d) / Helyvektor
Az x,y,z helykoordináták és az helyvektor jelentése ugyanaz, mint a klasszikus fizikában.

43 Idő (t) Az idő jelentése ugyanaz, mint a klasszikus fizikában.

44 Tömeg (m) Az elemi részecskék (elektron, proton, neutron) tömege természeti állandó (me, mp, mn), a többieké ezek összege. Pl.: m(23Na mag) = 11mp + 12mn A tömeg a kvantummechanikában konstans! (Nem függ a többi fizikai mennyiségtől!)

45 Töltés (q) A mikrorendszerek mozgásában alapvető szerepe van a töltésnek. Ezért a kvantummechanika mennyiségei között szerepel a töltés. Az elemi részecskék töltése is természeti állandó, az elektroné -e, a protoné +e, a neutroné 0. A többi részecskéé ezek összegeként adódik. A töltés is konstans a kvantummechanikában!

46 Impulzus ( ) A kvantummechanikában az impulzus is alapmennyiség. Az impulzus, és a vele összefüggésben álló rendszerek kvantáltak. Az impulzus különleges definíciója az eszköz ahhoz, hogy a kvantált fizikai mennyiségeket megfogalmazzuk.

47 Az impulzus a klasszikus mechanikában
Vektor! másik neve: lendület

48 Az impulzus a kvantum- mechanikában
Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg:

49 Az impulzus a kvantum- mechanikában
Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg: ; ; .

50 Az impulzus a kvantum- mechanikában
Az impulzus 3 komponensének operátorok felelnek meg: ; ; . (Planck-állandó)

51 Tömör formában: , nabla vektor ahol

52 A többi kvantummechanikai mennyiséget úgy állítjuk elő, hogy a klasszikus mechanikában használatos kifejezésekbe behelyettesítjük a fenti módon értelmezett alapmennyiségeket.

53 Példa: Energia, Hamilton-függvény
Klasszikus mechanika: T: kinetikus E V: pot. E

54 Előkészület a kvantummechanikára:
 T összefügg az impulzussal!  V csak a helykoordináták függvénye, ezek a mennyiségek nem változnak a kvantummechanikában. V = V(x,y,z)

55 Kvantummechanika: Az 1.axióma szerint:

56 skalárszorzat

57 A Hamilton-operátor (egy részecskére)

58 Példa Impulzusmomentum
Klasszikus mechanika Kvantummechanika

59 2. axióma Sajátérték-egyenlet

60 Az 1. axióma szerint a kvantált fizikai mennyiségekhez operátorokat rendelünk.
Ilyenek:  impulzus (alapmennyiség)  kinetikus energia  teljes mechanikai energia  impulzus momentum Hogyan kapjuk meg ezen mennyiségek lehetséges értékeit?

61 2. axióma Egy kvantált mennyiségnek, amelynek az operátora
a lehetséges értékeit az operátor sajátérték-egyenletéből számított C = C0, C1, C2 ... sajátértékek adják meg. Megjegyzés: Az egyenletet megoldva megkapjuk az egyes sajátértékekhez tartozó () = 0(), 1(), 2()... sajátfüggvényeket is

62 Példa Energia: A Hamilton-operátor sajátértékei
A sajátérték-egyenlet a Schrödinger-egyenlet: , ahol kin. E. pot. E.

63 Megjegyzés: a kvantumkémiai irodalomban minden helykoordinátáktól függő fizikai mennyiséget operátorként tüntetnek fel. Olyanokat is, amelyek nem kapcsolódnak az impulzushoz, és így nem is kvantáltak. Pl.: Potenciális energia Dipólusmomentum

64 Az m tömegű részecske Schrödinger-egyenlete

65 3. axióma Állapotfüggvények

66 3. axióma Az N számú részecskéből álló rendszer állapotát a
állapotfüggvény jellemzi.

67

68 x1,y1,z1 1. részecske helykoordinátái
… xN,yN,zN N. részecske helykoordinátái t idő

69

70 megjegyzés: röviden

71 Az állapotfüggvény alkalmazása:
A részecskék eloszlását számítjuk ki belőle, egy adott térrészre integrálva:

72 A 3. axióma tagadást is tartalmaz:
Nem lehet pontosan megadni, hogy a kvantummechanikai rendszer részecskéi egy adott pillanatban hol tartózkodnak, csak valószínűségeket lehet megadni! A klasszikus mechanikában a részecskék pályája számítható!

73 4. axióma Időbeli folyamatok

74 4. axióma „Időtől függő Schrödinger-egyenlet”
Összekapcsolja az időben változó rendszer állapotfüggvényét és Hamilton-operátorát

75 Az időben állandó (stacionárius) rendszerre ebből az egyenletből levezethető, hogy
állapotfüggvénye megegyezik a Hamilton-operátor sajátfüggvényével!

76 5. axióma Várható érték

77 Vannak olyan kvantált mennyiségek, amelyek sajátfüggvényei
 megegyeznek a Hamilton-operátoréval, azaz 0, 1, 2,… állapotfüggvényekkel, és vannak,  amelyeké nem egyezik meg.

78 Ha közösek a sajátfüggvények, akkor a rendszer
0,  1,  2,… állapotfüggvényekkel jellemzett állapotaiban az energia rendre E0, E1, E2,… és a másik kvantált mennyiség értéke rendre C0, C1, C2,….

79 Ezek az az E-val egyidejűleg mérhető mennyiségek!

80 Ha nem közösek az állapotfüggvények, (az E-val egyidejűleg nem mérhető mennyiségek), akkor a másik kvantált mennyiség értéke az egyes állapotokban bizonytalan, de várható értéke megadható.

81 5. axióma Az E-val egyidejűleg nem mérhető mennyiség várható értéke az n-ik állapotban: a Hamilton operátor sajátfgv.-e az n-ik állapotban.

82 1929: L. W. De Broglie, 1932: W. Heisenberg, 1933: E. Schrödinger, 1933: P. A. M. Dirac, 1945: W. Pauli,

83