Csomók matematikus és fizikus szemmel Gáspár Merse El ő d 2004. március 20.

Az előadások a következő témára: "Csomók matematikus és fizikus szemmel Gáspár Merse El ő d 2004. március 20."— Előadás másolata:

1 Csomók matematikus és fizikus szemmel Gáspár Merse El ő d 2004. március 20.

2 Egy csomó mindenre jó! Az inkák bürokratikus jegyz ő eszköze: a quipu Az inka birodalmi hivatalnokok még a XVI. században is ún. Quipucamayocs - ok voltak, azaz csomóköt ő k. Az ő feladatuk volt a csomózás és a csomójelek magyarázata.

3 A szimbolikus jelentés ű kelta csomók A kelta csomók a VII. sz. környékén kerültek írországba. Az önmagába záródás az örökkévalóságot szimbolizálja, az egyes csomók pedig: barátságot, szerencsét, könnyeket...

4 A hegymászók, barlangászok, hajósok csomói életeket menthetnek A halászok, b ű vészek mesterségéhez is elengedhetetlen a csomókötés

5 Alapfogalmak Csomódiagram (síkábrázolás,projekció) Csomók, láncok, fonatok Hurokbog (hollandi csat) Whitehead-láncFonat (gubanc)

6 A csomóelmélet kezdete Johann Frederich Carl Gauss (1775 –1855 ) Lord Kelvin, William Thomson (1824 –1907 )  Felvetette az alapproblémát: miként lehet eldönteni a csomódiagram alapján két csomóról, hogy ekvivalensek-e?  Bevezette két csomó ún. hurkolódási együtthatóját.  Tanítványai elkezdtek foglalkozni a csomók osztályozásával.  Kitalálta az éter gondolatát, és úgy gondolta, az atomok csomót formáló örvények a láthatatlan éterben.

7  Megpróbálta a keresztez ő dési szám szerint osztályozni a csomókat.  Kelvin elmélete alapján remélte, hogy a csomók osztályozásának megoldásával megoldódik az atomok osztályozása is. Peter Guthrie Tait (1831 –1901 ) Tait táblázata a legfeljebb 6 keresztez ő dési számú prímcsomókra

8  Két csomódiagram pontosan akkor definiálja ugyanazt a csomót, ha megkaphatók egymásból a reidemeister-lépések véges sokszori alkalmazásával.  1932-ben befejezte a csomók osztályozását 9 keresztez ő dési számig. Kurt Reidemeister (1893 –1971 )

9 Csomóinvariánsok A csomóinvariánsok a csomó deformálásával nem változnak Alexander-polinom (James W. Alexander,1928) Jones-polinom (Vaughan F. R. Jones,1984) HOMFLY-polinom (az el ő z ő kett ő egyesítése, egy kéthatározatlanú polinom) A csomóinvariánsok kiszámítására az alábbi két módszer ismeretes Kibogozási reláció (John Horton Conway) Kauffman féle-állapotmodell

10 Kibogozási reláció A Jones-polinom kiszámításának lépései: A kibogozni kívánt csomót irányítással látjuk el, és kiválasztunk egy keresztez ő dést, melynek alapján 3 csomót hozunk létre. A kibogozási reláció így szól A triviális csomó Jones-polinomja 1, azaz L+L+ L-L- L0L0

11 Példa Háromlevel ű csomó kiszámítása Menetrend A legegyszer ű bb 2 db triviális csomó kiszámítása

12 Kauffman-féle állapotmodell Az összes keresztez ő dést egymással nem kapcsolódó körökre bontjuk az összes lehetséges módon az alábbi 2 átalakítás segítségével A lánc ún. zárójeles polinomja:,ahol A zárójeles polinomból helyetteséssel kapjuk a Jones-polinomot (egy hatványszorzó erejéig). Az összes keresztez ő désbeli A és A -1 -ek szorzata A körök száma az el ő álló diagramban A-1A-1 A

13 Példa A Hopf-lánc kiszámítása A2A2 A-2A-2 AA -1 =1 2211

14 Megoldatlan problémák Mely csomókból kapunk triviális csomót, ha a minimális számú keresztez ő dést tartalmazó diagramjukon 1 keresztez ő désben végrehajtjuk az alábbi transzformációk valamelyikét? A háromlevel ű lóhere az egyetlen olyan csomó, amelynek van olyan realizációja a térben, hogy nincs olyan sík, mely érintené 3 vagy több pontját a csomónak? Mikor ekvivalens egy csomó az inverzével? (Az inverznek ugyanaz a csomódiagramja, csak fordított orientációval).

15 Csomók a fizikában Az alábbi fonatra úgy is tekinthetünk, mint részecskék pályáira. Az id ő teljen felfelé. A kétfajta keresztez ő dés jelöljön kétféle kölcsönhatást a részecskék között. A lokális maximumban legyen annihiláció. A lokális minimum jelölje részecskék keletkezését.

16 Irodalomjegyzék Rimhányi Richárd: Csomók és 3-sokaságok (MAFIHE jegyzet, 1995) Vaughan F. R. Jones: Knot Theory and Statistical Mechanics (Scientific American, November, 1990) Linkek http: // www.earlham.edu / ~peters / knotlink.htmlhttp: // www.earlham.edu / ~peters / knotlink.html http: // mathworld.wolfram.com / Knot.htmlhttp: // mathworld.wolfram.com / Knot.html http: // en.wikipedia.org / wiki / Knot_theoryhttp: // en.wikipedia.org / wiki / Knot_theory

17 345678910111213141516 11237214916 5 552217 6 998 8 4697 2 25329 3 138870 5 Prímcsomók száma 3-as kereszteződési számtól 16-ig

18