Előadást letölteni
Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon
KiadtaZalán Szalai Megváltozta több, mint 10 éve
1
Asszimptotikus viszonyok
2
Asszimptotikus viszonyok számításánál felhasználható ismeretek: 1.Az asszimptotikus viszonyok reláció-tulajdonságai: A következő állítások egyenesen következnek a definíciókból. F={a vizsgált függvények halmaza} Állítás: a F F ekvivalenciareláció, azaz 1. f F f f (reflexivitás) 2. f,g F:f g g f (szimmetria) 3. f,g,h F:f g g h f h (tranzitivitás) Állítás: ha most a függvények között -t tekintjük egyenlőségnek, az O és relációk részbenrendezések, azaz: 1. f F fOf, illetve f f (reflexivitás) 2. f,g F:fOg gOf f g, illetve f,g F:f g g f f g („ -antiszimmetria”) 3. f,g,h F:fOg gOh fOh, illetve f,g,h F:f g g h f h (tranzitivitás)
3
További fontos tulajdonság az O és , illetve az és között fennálló következő tulajdonság: fOg g f, illetve f g g f Állítás: A fennti megkötés mellett a , pedig a részbenrendezé- sekhez tartozó szigorú részbenrendezések, azaz f,g F: f g f g fOg, illetve f g f g f g Mj.: és irreflexívek, szigorúan -antiszimmetrikusak és tranzitívak Megjegyzés: A fennti jelölésekben a viszonyokat mint relációkat tekin- tettük, így természetesen például az f g ekvivalens f= (g)-vel. Megje- gyezzük továbbá, hogy a (g) halmaz tulajdonképpen a g-nek -reláció szerint vett inverzkép-halmaza.
4
2. Határértékkel kapcsolatos ismeretek: (1)Ha lim f(n)/g(n)=c \{0}, akkor f= (g) (2)Ha lim f(n)/g(n)=0, akkor f= (g) (3)Ha lim f(n)/g(n)= , akkor f= (g) (4)Ha lim f(n)/g(n)=c , akkor f=O(g) (5)Ha lim f(n)/g(n)=c \{0} { }, akkor f= (g) A fennti határértékek kiszámítására alkalmazhatjuk az analízisből már ismert tételeket, mint például a L’Hospital-szabályt vagy az is- mert tétel a p(n)/q(n) típusú polinomhányados határértékének kiszá- mítására.
5
Konkrét példa Most lássuk konkrét példaként a következő függvények rendezését: 5n 0.01 +100 2 n +1 ln(n 2 ) 2 n+1 -200 (n+1)log 2 (n) n 0.02 -10 0.1n 1.01 -5 log 2 (n) A feladat megoldásában a tranzitivitást és a határértékekre vonatkozó állításokat fogjuk felhasználni.
6
A logaritmusok rendezése ln(n 2 ), (n+1)log 2 (n), log 2 (n) ln(n 2 ) log 2 (n) = 2ln(n) ln(n)/ln2 =2ln2 2ln2 konstans n Köv.: ln (n 2 )= (log 2 (n)) (n+1)log 2 (n) log 2 (n) =n+1 n Köv.: log 2 (n)=o((n+1)log 2 (n)) Azaz: log 2 (n)~ln(n 2 )<<(n+1)log 2 (n)
7
N- és kettőhatványok 2 n+1 -200 2 n +1 = 2*2 n +2-202 2 n +1 = 2 - 202 2 n +1 2 konstans n Köv.: 2 n+1 -200= (2 n +1) 5n 0.01 +100 0.1n 1.01 -5 0 konstans, mivel a számláló kitevője kisebb (analízis) n Köv.: 5n 0.01 +100=o(0.1n 1.01 -5) 0.1n 1.01 -5 n 0.02 -10 Köv.: n 0.02 -10=o(0.1n 1.01 -5) , mivel a számláló kitevője nagyobb (analízis) n 5n 0.01 +100 n 0.02 -10 Köv.: 5n 0.01 +100 =o(n 0.02 -10) 0 konstans, mivel a számláló kitevője kisebb (analízis) n Tehát: 5n 0.01 +100<< n 0.02 -10<< 0.1n 1.01 -5
8
Végül hasonlítsuk össze a különböző kategóriákat és a tranzitivitást felhasználva adjuk meg a végső rendezést. Ehhez előbb el kell vé- geznünk néhány határérték számítást. Annyi egyszerűsítést azért megengedünk magunknak, hogy feltesszük a következő egyszerű állításokat, amik analóg módon bizonyíthatóak az eddigiek alapján: (n+1)log 2 (n)= (nln(n)), a*n b +c= (n b ), 2 n +1= (2 n ) lim nln(n) 2n2n = lim ln(n)+1 ln2*2 n = lim 1/n (ln2 )2* 2 n 0 konstans n L’Hospital-szabály lim nln(n) n 1.01 = lim ln(n)+1 1.01n 0.01 = lim n -1 cn -0.99 0 n L’Hospital-szabály lim n -0.01 c = lim nln(n) n 0.02 = lim ln(n)+1 0.02n -0.98 = lim n -1 cn -1.98 n L’Hospital-szabály lim 1 cn -0.98 =
9
lim ln(n) n 0.01 = lim n -1 0.01n -0.99 = lim n -0.01 0.01 0 konstans n L’Hospital-szabály Eredmény: ln(n 2 ) ~ log 2 (n) << 5n 0.01 +100 << n 0.02 -10 << (n+1)log 2 (n) << << 0.1n 1.01 -5 << 2 n +1 ~ 2 n+1 -200 ■ Készítette: Alagi Gábor, 2005.02.26.
Hasonló előadás
© 2024 SlidePlayer.hu Inc.
All rights reserved.