PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév.

Az előadások a következő témára: "PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév."— Előadás másolata:

1 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Matematika III. előadások MINB083, MILB083 Gépész és Villamosmérnök szak BSc képzés 2007/2008. őszi félév 2. téma Görbék derivált vektora. Görbék érintője. Mozgások sebesség és gyorsulás vektorai. Görbék ívhossza. Felületek megadási módja. Felületek érintő síkja. Felületek felszíne.

2 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Görbék derivált vektora Animáció 1. Definíció: Az vektor – skalár függvény a t 0 helyen differenciálható, ha létezik a határérték. Ezt a határértéket a t 0 helyen vett differenciálhányados-vektornak nevezzük Jelölések Kiszámítás 2 dimenziós esetben Érintő vektor Derivált vektor keletkezése

3 Görbék érintőjének meghatározása PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály 2 dimenziós eset 3 dimenziós eset Az érintő egyenes egyenletrendszere Húzzunk érintőt a pontban az görbéhez! Az érintő egyenes vektor egyenlete Húzzunk érintőt a pontban az görbéhez! Az érintő egyenes egyenletrendszere Az érintő egyenes vektor egyenlete

4 Mozgások sebesség és gyorsulás vektorai. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Ha egy anyagi pont pályája, akkor sebességvektora és gyorsulás vektora PÉLDA. Egyenletes szögsebességgel forgó mozgás Helyvektor A sebességvektor a mozgás első derivált vektora A gyorsulásvektor a mozgás második derivált vektora A sebességvektor és a gyorsulásvektor most egymásra merőlegesek, mert skaláris szorzatuk 0.

5 Legyen az r = r (t) görbe folytonosan differenciálható a [t 0,t 1 ] intervallumon! Görbék ívhossza PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály 2. Definíció: Görbe ívhosszán a beírt poligonok összhosszának határértékét értjük, midőn a felosztást minden határon túl finomítjuk. Ha létezik a határérték és véges, akkor azt mondjuk, hogy a görbe rektifikálható. 3 dimenziós esetben 2 dimenziós esetben Polárkoordináta - rendszerben

6 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Az ívhossz, mint paraméter Számoljuk ki az ívhosszat a [t 0,t] interval- lumon, ahol a felsőhatár változik! Az ívhossz t-szerinti deriváltja pozitív! A görbe helyvektora a t paraméterrel! A görbe helyvektora az s ívhossz paraméterrel! A derivált vektor hossza 1 lesz, ha a paraméter az s ívhossz! Tehát s(t) szigorúan monoton növekvő függvény. Ezért létezik az inverze!

7 Példa: csavarvonal ívhossza. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály A csavarvonal helyvektoraA csavarvonal derivált vektora A csavarvonal ívhosszának számítása A t paraméter az s ívhossz függvényében A t paraméter helyére az ívhosszat tesszük paraméterként A görbe deriváltja ívhossz szerint Az ívhossz szerinti derivált vektor hossza 1

8 Felületek megadási módja PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Explicit alakImplicit alakParaméteres alak PÉLDA: Egység sugarú gömbfelület különböző megadási lehetőségei

9 Felületek érintő síkja paraméteres esetben PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály Sík egyenlete általánosan TÉTEL Ha r(u,v)= [ x(u,v), y(u,v), z(u,v) ] a felület paraméteres alakjában az x, y és z két- változós függvények parciális deriváltjai folytonosak, akkor az érintősík normálvektora ha az n vektor nem a nullvektor. A normálvektor számítása paraméteresen adott felületek esetén az érintési pont a sík normálvektora

10 Bizonyítás Belátjuk, hogy tetszőleges felületre rajzolt görbe érintő vektora merőleges a tételben adott n normálvektorra, azaz mindig egy síkban vannak az érintő vektorok. Az összetett függvény deriválási szabálya alapján A merőlegesség bizonyításához megmutatjuk, hogy a skaláris szorzat nulla! Felületek érintő síkja paraméteres esetben Ahol felhasználtuk, hogy a vektoriális szorzat merőleges mindkét tényezőjére. PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

11 Az r(x,y)=[x, y, z(x,y) ] explicit alakú felületnél a paraméterek u=x és v=y Felületek érintő síkja explicit esetben Az érintősík egyenletére a kétváltozós függvényeknél megismert formula adódik. A vektoriális szorzat A normál vektor PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

12 Legyen adva a felület F(x,y,z)=0 implicit alakban. = Ekkor tetszőleges P 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) pont környezetében az egyik változó általában kifejezhető a másik kettővel, mint független változóval. Legyen pl. z a függő változó: z=z(x,y). Felületek érintő síkja implicit esetben lokálisan a P 0 pont környezetében Deriváljuk x és y –szerint a fenti egyenletet és használjuk a láncszabályt! érintősík normálvektor PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály

13 DEFINÍCIÓ Az r(u,v) paraméteresen adott felület felszínét a T tartomány felett a következő határértékkel értelmezzük, ha létezik. Osszuk fel háromszögekre a T tartományt és vetítsük a háromszögeket a felületre! A kapott háromszögfelosztás területének összege közelíti a felület felszínét. Finomítsuk a háromszögfelosztást minden határon túl. Ha létezik a térbeli poliéderek összterületének határértéke, akkor ez lesz a felület felszíne. Elemi felület felszíne Ezeket összegezve a T tartomány feletti kettősintegrált kapunk T Felületek felszíne

14 PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály T Explicit alakban Alakítsuk át a normálvektor hosszának négyzetét! DEFINÍCIÓ. Gauss-féle elsőrendű főmennyiségek Így a felszín képlet T

15 Példa: a gömb felszínének számítása PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály T d       d                 u ()r,uvx           v ()r,uvuv Felszín = = = = A gömb paraméteres alakja Vektoriális szorzat Parciális deriváltak

16 Példa: tórusz felszínének számítása PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály 0< b < a 0< u < 2 p 0< v < 2 p A tórusz paraméteres alakja E = = = G =F = Parciális derivált u-szerint Parciális derivált v-szerint

17 Példa: tórusz felszínének számítása PTE PMMK Matematika Tanszék dr. Klincsik Mihály = =