TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE

Az előadások a következő témára: "TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE"— Előadás másolata:

1 TRANSZPORT FOLYAMATOK MODELLEZÉSE
Dr. Iványi Miklósné professor emeritus 4. előadás PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

2 C) Merev testek kényszermozgása,
1. Két merev test ütközése, (3. előadás) 2. Mechanikai hullámmozgás hullámmozgás: energiát, impulzust szálit, Longitudinális hullám: a hullámmozgással páthuzamos az anyagi részecskék kimozdulása, pl. harmonikus rezgőmozgás, rugómozgás, Tranzverzális hullám: a hullám terjedési irányára merőleges pl. kötélen haladó hullámmozgás, elektromágneses hullámok, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

3 2.1. Longitudinális hullámmozgás bevezető,
Matematikai Összefoglaló dinamikus elem Az elmozdulásra, mint változóra vonatkozó mozgásegyenlet egy másodrendű differenciál egyenlet,a (RE) rendszeregyenlet, megoldása, összetevőkre bontással, az szabad válasz a homogén differenciálegyenletet elégíti ki, g(t)=0 a szabad választ a következő alakban keressük, sajátértékek karakterisztikus egyenlet PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

4 az gerjesztett válasz kielégíti a teljes differenciál egyenletet,
az szabad válasz: az gerjesztett válasz kielégíti a teljes differenciál egyenletet, lineáris rendszerben a gerjesztett válasz hasonlít a gerjesztésre, a gerjesztett választ próbafüggvény módszerrel keressük; a RE megoldása: Az M1 és az M2 konstansokat a kezdeti feltételekből határozzuk meg: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

5 3. Harmonikus rezgőmozgás, longitudinális hullámok
3.1. Csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenlete: a rugót nyugalmi helyzetéből kitérítve, az m tömegre a rugóerő hat: elengedve rezgőmozgás jön létre, A mozgásegyenlet= Rendszer Egyenlet= Homogén Differenciál Egyenlet, a RE megoldása a szabad válasz: a szabad válasz általános alakját a mozgásegyenletbe helyettesítve, a karakterisztikus egyenletből a sajátértékek: a rugómozgás saját-körfrekvenciája a szabad válasz: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

6 egyik megoldási mód: a konstansok meghatározása
a szabad válasz: egyik megoldási mód: a konstansok meghatározása kezdeti feltételek: a d1, d2 konstansok komplex konjugált párt alkotnak a szabad válasz: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

7 új változók bevezetésével:
másik megoldási mód: a szabad válasz az Euler formula alkalmazásával új változók bevezetésével: A,B állandók a kezdeti feltételekből: a kezdeti elmozdulás: a mozgás sebessége: a kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

8 A csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenletének megoldása:
a harmonikus rezgőmozgás egyenlete: a – kezdőfázis, w0 – saját körfrekvencia, [rad/s], – a rezgő rendszerre jellemző, – saját rezgésidő, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

9 A rugó mozgásegyenlete:
1. Példa, Egy 3,2 N/m rugóállandójú rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni. Határozza meg a kialakuló csillapítatlan rezgőmozgás körfrekvenciáját, valamint a rezgés amplitúdóját és kezdőfázisát. Megoldás: A rugó mozgásegyenlete: Megoldása a szabadválasz: A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A rezgő rendszer saját (kör)frekvenciája: A rezgő rendszer elmozdulása: Figyelembe véve, hogy d1, d2 komplex konjugált párok: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

10 A rezgő rendszer elmozdulása:
A kezdeti feltételekből: Az első egyenletet megszorozva j4 értékkel és a két egyenletet összeadva PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

11 Tehát a rezgő rendszer elmozdulása:
azaz a t=0 pillanatban a rugó kitérése: a t=0 pillanatban az elmozdulás sebessége: azaz a t=0 pillanatban a rugó sebessége a kitéréssel ellenkező irányú lesz. PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

12 3.2. Csillapított szabad rezgés, az m tömegre a rugóerő és a
sebességgel arányos csillapító erő hat: a csillapított szabad rezgés mozgásegyenlete: lengéscsillapító mozgásegyenlete általános megoldása=szabad válasz: a karakterisztikus egyenletből: a sajátértékek: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

13 3.2. a) eset, nagy csillapítású a rendszer:
a sajátértékek: 3.2. a) eset, nagy csillapítású a rendszer: a sajátértékek negatív valós értékek: a mozgó rendszer kitérése: kezdeti feltételek: az általános megoldás, a szabad válasz, két monoton csökkenő exponenciális görbe összege, nincs rezgés: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

14 A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete:
2. Példa, Egy 2,8 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni. Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében. Megoldás: A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete: Megoldása a szabadválasz: A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A mozgó rendszer elmozdulása: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

15 A mozgó rendszer elmozdulása:
A kezdeti feltételekből d1, d2 meghatározhatók: A t=0 pillanatban a rugó kitérése: A t=0 pillanatban a rugó sebessége: A mozgó rendszer elmozdulása: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

16 3.2. b) eset, kritikus csillapítású a rendszer:
a sajátértékek: 3.2. b) eset, kritikus csillapítású a rendszer: két azonos nagyságú, negatív, valós értékű sajátérték: az általános megoldás, a szabad válasz valós, kezdeti feltételek: t=0, d1, d2 valós értékű, nincs rezgés, az exponenciális tényező gyorsabban csökken, mint ahogy t nő, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

17 A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete:
3. Példa, Egy 1.6 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni. Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében. Megoldás: A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete: Megoldása a szabadválasz: A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A mozgó rendszer elmozdulása: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

18 A mozgó rendszer elmozdulása:
A kezdeti feltételekből d1, d2 meghatározhatók: A t=0 pillanatban a rugó kitérése: A t=0 pillanatban a rugó sebessége: A mozgó rendszer elmozdulása egy időben csillapodó mozgás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

19 3.2. c ) eset, kis csillapítású a rendszer:
a sajátértékek: 3.2. c ) eset, kis csillapítású a rendszer: A sajátértékek komplex konjugáltak: a mozgásegyenlete megoldása: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

20 a mozgásegyenlete megoldása:
a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

21 a mozgásegyenlete megoldása:
a mozgásegyenlet egy csillapított szabad rezgést ír le PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

22 a mozgásegyenlet megoldása egy
exponenciálisan csillapított szabad rezgést ír le: a saját körfrekvencia kisebb mint a csillapítatlan esetben a saját rezgésidő hosszabb, mint a csillapítatlan rezgésé: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

23 A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete:
4. Példa, Egy 0,8 Ns/m csillapítási tényezőjű, 3,2 N/m rugóállandójú, rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 5 cm-rel megnyújtunk, majd elengedés után 4cm/s sebességgel kezd el mozogni. Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a csillapított mozgó rendszer kitérését az idő függvényében. Megoldás: A csillapított rugómozgás mozgásegyenlete: Megoldása a szabadválasz: A karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A mozgó rendszer elmozdulása: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

24 A mozgó rendszer elmozdulása:
A kezdeti feltételekből d1, d2 meghatározhatók: A t=0 pillanatban a rugó kitérése: A t=0 pillanatban a rugó sebessége: A mozgó rendszer elmozdulása egy csillapodó rezgőmozgás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

25 3.3. Állandó erővel gerjesztett csillapítatlan rezgések,
a csillapítatlan gerjesztett rezgés mozgásegyenlete: megoldása: a szabad válasz és a gerjesztett válasz összege a szabad válasz: a lineáris rendszergerjesztett válasza hasonlít a gerjesztésre a gerjesztés állandó erő, ezért a gerjesztett válasz konstans/állandó: a gerjesztett rendszer válasza: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

26 a gerjesztett rendszer válasza a mozgásegyenlet megoldása:
a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást: 2 2 a csillapítatlan, állandó erővel gerjesztet rendszer válasza, 0 és 2F/k között F/k állandó amplitúdójú rezgés PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

27 A csillapítatalan rezgőmozgás mozgásegyenlete:
5. Példa, Egy 3,2 N/m rugóállandójú, nyugalomban lévő rugóhoz 200g tömeget csatlakoztatunk a vízszintes síkban, amelyet 4,8N állandó erővel gerjesztünk. Határozza meg a mozgó rendszer sajátértékeit, valamint adja meg a kialakuló, csillapítatlan rezgőmozgás amplitúdóját. Megoldás: A csillapítatalan rezgőmozgás mozgásegyenlete: Megoldása a szabad-, és a gerjeszett válasz összege: A szabad válaszhoz tartozó karakterisztikus polinom és a sajátértékek: A gerjesztettválasz konstans: A rezgő rendszer elmozdulása: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

28 A rezgő rendszer elmozdulása:
A kezdeti feltételekből: A t=0 pillanatban a rugó kitérése: A t=0 pillanatban a rugó sebessége: A mozgó rendszer elmozdulása egy csillapodó rezgőmozgás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

29 3.4. Állandó erővel gerjesztett csillapított rezgések,
a rendszer mozgását leíró egyenlet: a mozgásegyenlet megoldása: a gerjesztett válasz: a szabad válasz kis csillapítás esetén: a teljes megoldás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

30 a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást:
a teljes megoldás: a kezdeti feltételekhez illesztve a megoldást: a kezdeti feltételt kielégítő megoldás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

31 csillapított harmonikus rezgőmozgás:
állandó erővel gerjesztett kis csillapítású rezgőmozgás esetén a kezdeti feltételekhez illesztett megoldásegy csillapított harmonikus rezgőmozgás: a kezdeti feltételt kielégítő megoldás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

32 3.5. Harmonikus erővel gerjesztett csillapítatlan rezgések,
a csillapítatlan gerjesztett rezgés mozgásegyenlete: a mozgásegyenlet megoldása: a gerjesztett válasz: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

33 a megoldás illesztése a kezdeti feltételekhez:
a szabad válasz: a teljes megoldás: a megoldás illesztése a kezdeti feltételekhez: a t=0 pillanatban az elmozdulás: a t=0 pillanatban a sebesség: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

34 a kezdeti feltételekhez illesztett megoldás
két harmonikus rezgés szuperpozíciója: ha a két körfrekvencia közel van egymáshoz: Matematika: lebegés jön létre nagy frekvenciájú rezgés hullám kis frekvenciájú rezgés hullám PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

35 a lebegés periódus ideje:
lebegés jön létre nagy frekvenciájú, rövid periódusidejű rezgés hullám kis frekvenciájú, hosszú periódusidejű rezgés hullám a lebegés periódus ideje: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

36 rezonancia vizsgálat I:
rezonancia tényező: rezonancia esetén: határérték-L'Hospital: rezonancia esetén a megoldás határértéke az idővel lineárisan növekvő amplitúdójú harmonikus rezgőmozgás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

37 rezonancia vizsgálat II:
rezonancia esetén a megoldás határértéke az idővel lineárisan növekvő amplitúdójú harmonikus rezgőmozgás: rezonancia tényező: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

38 3.6. Harmonikus erővel gerjesztett csillapított rezgések,
rezgés mozgásegyenlete: a gerjesztett válasz: Komplex formalizmus: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

39 kis csillapítású a szabad válasz:
a teljes megoldás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

40 a kezdeti feltételekhez illesztve:
a teljes megoldás: a kezdeti feltételekhez illesztve: az elmozdulás: a sebesség: a kezdeti feltételeket kielégítő megoldás: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

41 a második tag gyorsan lecseng, az állandósult
állapothoz tartozó gerjesztett válasz: a rezonancia tényező: Függőhíd, USA, Washington State, 1940. június-november, szél kb. 70 km/óra Tacoma Narrows Bridge PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

42 4. Harmonikus rezgőmozgás, tranzverzális hullámok
4.1. 1D hullámegyenlet egy kötelet mozgatva, egységnyi hossz tömege: a kötél elemi tömegeinek y irányú kitérése a hely és az idő függvénye: a kötél elemi szakaszára ható erők: és az erők komponensei kicsi, (a) (b) PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

43 a Dx szakasz elemi tömege y-irányú gyorsuló mozgásba kezd
a hullám terjedési sebessége: 1D hullámegyenlet, a tranzverzális mozgást végző tömegpontok mozgásegyenlete, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

44 4.2. A hullámegyenlet megoldása
4.2. a) A megoldás haladó hullám a megoldás alakja: retardált (késleltetett) hullámok, idő szükséges az információ, az elmozdulás továbbításához, igazolás: -fázissebesség, a hullám x-irányú terjedésének sebessége + x tengely irányában haladó hullám, - x tengely irányában haladó hullám, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

45 4.2. b) A hullámegyenlet megoldása periodikus gerjesztés esetére
A hullámmozgást gerjesztő erő a komplex formalizmus alkalmazásával: A vizsgált rendszer lineáris, ezért a hullámmozgás is szinuszos lesz: a megoldás alakja: az y irányú kitérés x szerinti változása PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

46 az y irányú kitérés x szerinti változása:
- cirkuláris hullámszám, - a kötélen haladó hullám periódus ideje, - a kötélen haladó hullám hullámhossza, -a pozitív x irányban terjedő hullám komponens, -a negatív x irányban terjedő hullám komponens, a periodikus gerjesztésű hullámmozgás teljes megoldása: a +x irányban haladó hullám a -x irányban haladó hullám PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

47 4.3. Hullámok reflexiója, visszaverődése
4.3. a) A befogás figyelembe vétele: a befogásnál a kötél kitérése: a befogásnál a beeső és a reflektált komponens: a befogásnál a reflexiós tényező: a befogástól induló koordináta rendszer bevezetése: PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

48 a reflexió tényező a kötél mentén:
4.3. b) Merev falhoz való csatlakozás esetén: a befogott végen reflexió lép fel: a merev falhoz csatlakozó kötélen a beérkező hullám ellenkező fázisban verődik vissza, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

49 4.3. c) reflexió szabad végű kötélen: a szabad végen reflexió lép fel:
a szabad végű kötélen a reflektált hullám azonos fázisban halad végig, 4.3. d) Reflexió két különböző kötél csatlakozásánál: két különböző anyagállandójú kötél csatlakozásánál reflexió lép fel, az 1. szakasz végén és a 2. szakasz elején a kitérés azonos, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

50 4.4. Állóhullámok kialakulása
csomópontok duzzadó pontok a hely szerint állóhullámok alakulnak ki, PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

51 4.4. a) a csomópontok helye r2=1 esetén :
4.4. b) a csomópontok helye r2=-1 esetén : PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

52 Ellenőrző kérdések Ismertesse a longitudinális hullámterjedés jellemzőit, Ismertesse a csillapítatlan szabad rezgés mozgásegyenletét és megoldását, Ismertesse a csillapított szabad rezgés mozgásegyenletét és megoldását, térjen ki a kis csillapítású szabad rezgések elemzésére, Ismertesse az állandó erővel gerjesztett csillapítatlan és csillapított rezgések viselkedését, Foglalja össze a harmonikus erővel gerjesztett csillapított és csillapítatlan rezgések viselkedését, Ismertesse a lebegés és a rezonancia jelenségét, Ismertesse az 1D hullámegyenletet és a retardálás fogalmát, Ismertesse az 1D hullámegyenlet megoldását szinuszos gerjesztés esetére, Ismertesse a hullámok reflexiójára, az állóhullámok kialakulására vonatkozó összefüggéseket. PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

53 Irodalom Tankönyv: Ivanyi A. Transzport folyamatok modellezése, előadás vázlat, Ivanyi A. Műszaki fizika informatikusoknak, Tankönyv, Pollack Press, 2010, Alvin Hudson, Rex Nelson, Útban a modern fizikához, LSI Oktatóközpont, 1994, ISBN , .(15, 18 fejezetek) Ajánlott irodalom: M. Csizmadia Béla, Nándori Ernő, (szerk), Mozgástan, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1997, ISBN , Felhasznált irodalom: Béda Gyula, Bezák Gáspár, Kinematika és dinamika, Műegyetemi Kiadó, 1989. ISBN Györgyi József, Dinamika, Műegyetemi Kiadó, 2003, ISBN X Szőke Béla, Fizika 2, Előadás vázlat, 2004. PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék

54 Gyakorló feladatok, Megoldandó feladatok a merev testek kényszermozgása, a harmonikus rezgőmozgás témaköréből. Tankönyv, Alvin Hudson, Rex Nelson, Útban a modern fizikához, LSI Oktatóközpont, 1994, XV. fejezet, 15-1, 15-2, 15-3, 15-4, 15-6, 15-10, 15A-10, 15C-37, 15C-39 feladatok, súrlódással csillapított rezgési feladatok megoldása, rugók függőleges rezgőmozgása, XVIII. fejezet, 18-1, 18A-5 feladatok, reflexió számítása, állóhullámok hullámhosszának meghatározása, Ivanyi A. Műszaki fizika informatikusoknak, Tankönyv, Pollack Press, 2010. 5.7. Feladatok, Feladat – Feladat. PTE PMMK Műszaki Informatika Tanszék