Előadást letölteni
Az előadás letöltése folymat van. Kérjük, várjon
1
alphabet is a type specification = sorts: alphabet oprs: a: alphabet,...,z: alphabet end alphabet; nat is a type specification = sorts:nat oprs:zerus: nat succ: nat nat add: nat nat nat eqns:a,b nat; add(a,b) = add(b,a) add(a,zerus) = a add(a, succ(b)) = succ(add(a,b)) end nat;
2
string(alphabet) is a type specification = alphabet + sorts:string oprs: empty: string make: alphabet string concat: string string string ladd: alphabet string string radd: string alphabet string eqns:x alphabet, s,s 1,s 2,s 3 string; concat(s,empty) = s concat(empty,s) = s ladd(x,s)= concat(make(x),s) radd(s,n)= concat(s,make(n)) end string;
3
string(alphabet, n: nat) is a type specification = parameters = alphabet + nat + exports = type sort:string oprs:empty: string make: alphabet string concat: string string string ladd: alphabet string string radd: string alphabet string size: string nat eqns:d alphabet, s,s 1,s 2,s 3 string; concat(s,empty) = s concat(empty,s) = s ladd(n,s)= concat(make(n),s) radd(s,n)= concat(s,make(n)) size(empty) = zerus size(add(n,s)) = succ(size(s)) size(add(n,s)) > n ladd(n,s) = " undefined " end string;
4
Paraméterek szerepei az algebrák specifikációjában: Objektum felépítése; Korlátozás; Objektum kiértékelése; Kiértékelés. Például: alphabet = bool + sorts:alphabet opns : : alphabet alphabet bool [infix] eq : alphabet alphabet bool eqns:x,y,z alphabet... end alphabet;
5
Adattípus univerzális algebrai modellje. obj Interface adattípus absztrakt adattípus adattípus konkretizálása univerzális algebra algebrák izomorfizmusra zárt osztályának manifesztuma algebrák közötti homomorfizmus Interface = formális rész + tartalmi rész; d a = ( , E);
6
Szignatúra: = (S, OP), S: szortok halmaza; OP: konstans és operációs szimbólumok halmaza; OP = K s OP w,s ; s S; K s konstans szimbólumok halmaza; OP w,s operációs szimbólumok halmaza; w argument szort, w S + ; s eredmény szort s S; K s ; OP w,s páronként diszjunktak. K = K s ; s S N K s ; N: S; OP+ = OP w,s ; w S +, s S; N OP w,s, w = s 1...s n ; N = s 1...s n s; OP = = K OP + ;
7
Adott = (S,OP) szignatúrához tartozó - algebra (totális algebra). A = (S A,OP A ); S A = (A s ) s S, A s, A -algebra bázishalmazai -Minden N K s : N : s, s S konstans szimbólumra A(N : s) : N A : A s ; -Minden N: s 1...s n s OP; s 1...s n S + ; s S műveleti szimbólumra: A(N A : s 1...s n s): N A : A s 1,...,A s n A s ; Ha = (S 1,...,S n, N 1,...,N m ); akkor A = (A s 1,...,A s n, N A 1,...,N A m ); Példa. Szignatúra: = ({S1, S2}, {N1: S1 S2, N2: S2 S1 S2, N3: S1 S2 S2, N4: S2 S1 S2 S2}); -algebra: A = ({alphabet, bintree}; {leaf : alphabet bintree, left : bintree alphabet bintree, right : alphabet bintree bintree, both : bintree alphabet bintree bintree});
8
Algebrai felírás formája: Példa: bintree-base = sorts:alphabet bintree oprs:leaf: alphabet bintree left: bintree alphabet bintree right: alphabet bintree bintree both: bintree alphabet bintree bintree end bintree base; Zilles, S. N. MIT Report 1974. Szemantika felírása: kifejezéseket kell felírni!
9
Term: Term szintaktikai definíciója. Adott = (S,OP); X s a szignatúrához tartozó változó. T (X) = (T (X),s ) s S definíciója: Bázis termek: - X s T (X),s ; - n : s OP; akkor n T (X),s ; Összetett termek: n : s 1...s k s, k 1, n OP, t i T (X),s, 1 i k; n(t 1,...,t k ) T (X),s ; T (X) más jelölései: T OP(X) ; T (X) ; T (X) ; T ; T OP ;
10
Változó: Adott SIG = (S,OP), Az s szorthoz tartozó változók halmaza: X s, s S. A SIG szignatúrához tartozó változók halmaza: X = X s, s S Deklaráció: x, y X s ; Jelölésünk: eqns: x, y s; Példa: = (S,OP); S= {nat, bool}; Deklaráció: n, m X nat ; a, b, c X bool Jelölés: eqns: n,m nat; a,b,c bool;
11
Példa. nat 0 is a type specification = sorts: nat 0 oprs: 0: nat 0 succ: nat 0 nat 0 prec: nat 0 nat 0 eqns: n nat 0 ; prec(succ(0)) = "undefined" prec(succ(n)) = n end nat 0 ; 0 T nat 0 ; n T nat 0 ; succ(k) T nat 0 ; k = 0,1,2,... prec(k) T nat 0 ; k = 0,1,2,... Példa: bintree. T alph = {k 1,...,k n }; Minden a T alph : leaf(a) T bin ; Ha t 1,t 2 T bin ; akkor minden a alph : left(t 1,a) T bin ; right(a,t 1 ) T bin ; both(t 1,a,t 2 ) T bin ;
12
A term kiértékelése. Adott = (S,OP); és TOP; Legyen A egy -algebra. eval: T op A kiértékelés rekurzív definíciója: eval(N) = N A ; minden N K esetén; eval(N(t 1,...,t n )) = N A (eval(t 1 ),...,eval(t n )), minden N(t 1,...,t n ) T op esetén. Kiterjesztett értékadás: Adott = (S,OP); a szignatúrához tartozó X változókkal, T op ; Legyen A egy -algebra. Adott ass: X A, ahol ass(x) A s, x X s, s S; ass: T op (x) A; kiterjesztett értékadás definíciója: ass(x) = ass(x), minden x X változóra; ass(N)= N A, minden N K konstans szimbólumra; ass(N(t 1,...,t n )) = N A (ass(t 1 ),...,ass(t n )), minden N(t 1,...,t n ) T op (X) termre;
13
Példa: 1.) Adva nat1 = nat0 + oprs: add: nat nat nat Kiértékelés a IN természetes számok körében: eval(add(succ(0),succ(0))) = eval(succ(0)) + eval(succ(0)) = (eval(0) + 1) + (eval(0) +1) = (0+1) + (0+1) = 1+ 1 = 2. Példa: Adva X={n,m} ass(n) = 1; ass(m) = 5. ass (add(succ(n)), m)) = ? ass (add(succ(n)), m)) = ass (succ(n)) + ass (m) = (ass(n) + 1 ) + ass(m)) = (1 + 1) + 5 = 7.
14
Egyenletek. Adott = (S,OP); a szignatúrához tartozó X változókkal. Egyenlet: Az e = (X,L,R) hármast, L,R TOP, s(X), s S mellett egyenletnek nevezzük. Helyes egyenlet. Az e = (X,L,R) egyenlet helyes a A -algebrában, ha minden ass : X A esetén: ass(L) = ass(R) Specifikáció. SPEC = (S,OP,E); = (S, OP); E = {e(x,L,R)}; x X, L=R; X változók halmaza, L, R, termek a X-ből vett változókkal.
15
típus neve ( paraméterek listája ) is a type specification = parameters = +... + + sorts: ; oprs: ; eqns: export = type sort: ; oprs: ; eqns: ;... end típus neve ; műveletek jelentésének leírása = deklaráció + szemantikát leíró egyenletek
16
Szemantikát leíró egyenletek (axiómák): L = R ; L: baloldali term; R: jobboldali term. OP= {f c1,...,f ck, f s1,...,f s/ } ; f c1,...,f ck : konstrukciós műveletek; Pl. halmaz: empty, insert; f 0 : A 0 ; pl. empty: set; f c : A 0 A 1 ... A n A 0 ; pl. insert: set elem set; f s1,...,f s/ : nem konstrukciós műveletek; pl. has:set elem bool; Axióma:f s (f c (a)) = h(a); Pl. has(insert(s,e),e) = "true"; has(insert(s,e 1 ),e 2 ) = if e 1 = e 2 then "true" else has(s,e 2 ) fi; (a) fs(fc(a)) = h(a);
17
Korlátozás: (A,F,E); A = A 0,A 1,...,A n );A 0 = {a | l(a)}; Attribútum függvény: attr(a), Pl. size(s); length(s); l(a) : 0 attr(a) n; n 0; A 0 elemei: a 1 = f 0, a 2 = f c (a 1 ), a 3 = f c (a 2 ),... Korlátozás axiómája, az értelmezési tartomány meghatározása: a i A 0 (0 attr(a i ) n);~(a i A 0 ) attr(a i ) n; attr(f c (a)) n f c (a) = "undefined" ; Pl.: size(insert(s,e)) n insert(s,e) = "undefined" ; Korlátozás formális paraméterének deklarációja: típus neve ( par list , korl. dekl. ) is a type specification = korl. dekl. változó : változó típusának neve Pl. set( elem, n:nat ) is a type specification =...
18
-algebrák közötti homomorfizmus. Adva = ( S, OP ), A = ( S A, OP A ) és B = ( S B, OP B ). A h : A B homomorfizmus egy függvénycsalád h = ( h s ) s S, Itt: hs : S A S B, úgy, hogy: minden N: s OP és s S konstans szimbólumra: h s (N A ) = N B ; minden N: s 1... s n s OP és minden i = 1,...,n -re és a i A si esetén: h s ( N A (a 1,..., a n )) = N B ( h s1 (a 1 ),..., h sn (a n ) ). (homomorfikus feltétel).
19
Az f: A B homomorfizmust izomorfizmusnak nevezzük, ha minden f s : A B függvény minden s S-re bijektív. Jelölés: f: A B. Az A és B -algebrákat izomorfikusnak nevezzük, ha létezik f: A B, vagy g: B A izomorfizmus: Jelölés: A B. Megjegyzések: Homomorfizmusok kompozíciója szintén homomorfizmus. Ha h s izomorfizmus, akkor h s -1 is az.
20
Példa izomorfizmusra. =(S,OP); OP = { k1 : S, k 2 : S, N 1 : S S; N 2 : S S S }) A = (bool, {T: bool, F: bool, ~_ : bool bool, : bool bool bool [infix]}); B = (bit, {1: bit, 0: bit, ch : bit bit, : bit bit bit [infix]}); Egy adott szignatúrához tartozó absztrakt adattípus a -algebrák egy olyan osztálya, amely az izomorfizmusra zárt: azaz C Alg ( ); A C; A B B C.
Hasonló előadás
