A variációszámítás alapjai

Az előadások a következő témára: "A variációszámítás alapjai"— Előadás másolata:

1 A variációszámítás alapjai
Keresendő azon függvény, amely az kifejezést („funkcionált”) szélső értékké teszi. Vagyis keresendő az = extrémum követelményeknek eleget tevő függvény Extremizálandó kifejezés Euler-egyenletek

2 A mechanika elvei Lagrange-függvény Általános impulzus
Az f szabadsági fokú rendszer általános helykoordinátái: Az általános helykoordinátákkal a potenciális energia mindig kifejezhető. Az általános sebességkoordináták: az általános helykoordináták idő szerinti differenciálhányadosai A kinetikus energia az általános koordináták és az általános sebességek függvénye: Lagrange-függvény Általános impulzus Hamilton-függvény Hamilton-elv ( legkisebb hatás elve)

3 a Newton-mozgásegyenleteket kaptuk vissza.
Egyetlen tömegpont esetén a Hamilton elvből levezethető a Newton egyenlet Egyetlen tömegpont általános koordinátái legyenek q1=x, q2=y és q3=z, potenciális energiája Wp(x, y, z), kinetikus energiája pedig A Lagrange-függvény Hamilton elv Euler-egyenletek Az Euler egyenletek a Newton-mozgásegyenleteket kaptuk vissza. A Hamilton-féle variációs elv Euler egyenleteit Lagrange-féle mozgásegyenleteknek nevezik.

4 A Hamilton-elvvel és a Newton mozgásegyenletekkel
egyenértékűek a Hamilton-egyenletek is: Általános helykoordináták Általános sebességkoordináták Potenciális energia Kinetikus energia Lagrange fügvény Általános impulzuskoordináták Hamilton függvény: Hamilton-féle mozgásegyenletek

5 Egyetlen tömegpont esetén a Hamilton-egyenletekől levezethető a Newton egyenlet
Egyetlen tömegpont általános koordinátái legyenek q1=x, q2=y és q3=z, potenciális energiája Wp(x, y, z), kinetikus energiája pedig Hamilton-féle mozgásegyenletek

6 Newton mozgásegyenletek Hamilton elv
Lagrange-egyenletek Hamilton egyenletek Több tömegpontból álló rendszer esetén is érvényesek ! Koordináták és energiák szerepelnek bennük Bonyolult esetekben is könnyebb felirni őket.

7 Általános koordináta:
Írja fel az egydimenziós harmonikus oszcillátor Hamilton függvényét, és a Hamilton egyenleteket. Általános koordináta: Kinetikus és pot. energia: Lagrange függvény: Általános impulzus: Hamilton függvény: Mozgásegyenletek

8 Általános koordináta: Kinetikus energia:
Vízszintes tengely egy elhanyagolható tömegű rudat l1 és l2 hosszúságú részekre oszt. A rúd végére m1 és m2 tömeget ragasztunk. A rúd a vízszintes tengely körül függőlegesen, egyetlen síkban mozoghat. Írjuk fel a mozgásegyenletet és keressük meg az egyensúlyi helyzeteket. Melyik egyensúlyi helyzet stabil? Általános koordináta: Kinetikus energia: Potenciális energia: Lagrange függvény: Általános impulzus: Hamilton függvény: Mozgásegyenlet: Egyensúly: Kis rezgések korlátosak Stabil egyensúly:

9 Általános koordináta:
Egy m tömegű pontszerű testet rugalmas gumiszálra akasztunk. A gumiszál hossza feszültségmentes állapotban l0, a rugóállandó k . Írjuk fel ennek az ingának a mozgásegyenleteit. Általános koordináta: Kinetikus és pot. energia: Lagrange függvény: Általános impulzus: Hamilton függvény: Mozgásegyenletek

10