Optimalizálási módszerek 2. Konvex halmazok

Az előadások a következő témára: "Optimalizálási módszerek 2. Konvex halmazok"— Előadás másolata:

1 Optimalizálási módszerek 2. Konvex halmazok
Kiegészítő gépész levelezők  2003/2004-es tanév II. félév Optimalizálási módszerek Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem

2 Konvex halmaz - Környezet
Definíció: Szakasz (x1, x2 pontot összekötő szakasz) Az x= x1+(1-)x2 (0    1) alakú pontok (vektorok) halmaza Definíció: Konvex halmaz Halmaz, melynek bármely két pontját összekötő szakasz minden pontja a halmaznak eleme. Definíció: Konvex lineáris kombináció Lineáris kombináció, melyben az együtthatók nemnegatívak és összegük 1. Definíció: Távolság (Az x1 és x2 pont távolsága) Definíció: Környezet Az a pont >0 sugarú környezete azon x pontok halmaza, melyre d(a,x)< . Optimalizálási módszerek Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem

3 Belső pont - Korlátos halmaz
Definíció: Belső pont Egy a pont belső pont, ha van olyan pozitív , hogy a pont  sugarú környezete a halmazhoz tartozik. Definíció: Határpont Egy a pont határpont, ha minden olyan pozitív  esetén a pont  sugarú környezetének van a halmazhoz tartozó belső pontja is és van nem belső pontja is. Definíció: Zárt halmaz Tartalmazza az összes határpontját. Definíció: Nyílt halmaz Minden pontja belső pont. Definíció: Korlátos halmaz Ha van olyan véges korlát, hogy bármely két pontjának a távolsága ezen korlát alatt marad. Optimalizálási módszerek Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem

4 Extremális pont - Féltér
Definíció: Extremális pont Olyan pont amelyre nem létezik a halmaznak két olyan másik pontja, hogy a pont a két pontot összekötő szakasz belső pontja legyen. Definíció: Irányvektor Olyan d vektor, hogy a halmaz minden x pontja esetén az x+d pont is a halmazhoz tartozik minden nemnegatív  esetén. Korlátos halmaz esetén nincs ilyen vektor. Definíció: Extremális irány Az az irány, amely nem írható fel két nem azonos irányba mutató irányvektor pozitív lineáris kombinációjával. Definíció: Hipersík Az ax=b alakú x vektorok összessége. Az a vektor a hipersík normálvektora. Definíció: Féltér Az ax  b, vagy ax  b alakú x vektorok összessége. Optimalizálási módszerek Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem

5 Féltér támasztósíkja - Konvex kónusz
Definíció: Féltér támasztósíkja A féltér formulájában az egyenlőségnek megfelelő hipersík. Definíció: Homogén féltér Féltér, amelynek a támasztósíkja átmegy az origón, azaz ha b=0. Definíció: Konvex poliéder Véges sok féltér metszete. Definíció: Konvex politop Korlátos konvex poliéder. Definíció: Szimplex Konvex politop, amelynek eggyel több extremális pontja (csúcspontja) van mint amennyi a dimenziószáma. Definíció: Konvex kónusz (kúp) Véges sok homogén féltér metszete Optimalizálási módszerek Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem

6 Karakterizációs tételek
Tétel: Az extremális pont karakterizációja Az x pont akkor és csak akkor extremális pontja egy adott konvex poliédernek, ha az x pont az Ax=b lineáris egyenletrendszer nemnegatív bázismegoldása. Ez azonos azzal, hogy a bázistábla b oszlopában csak nemnegatív számok állnak. Tétel: Az extremális irány karakterizációja Egy d irány akkor és csak akkor extremális iránya egy adott konvex poliédernek, ha az Ax=b egyenletrendszer báztistáblázatában valamely oszlopban minden elem nempozitív. Tétel: Karakterizációs tétel A konvex poliéder tetszőleges x pontja felírható, az extremális pontok konvex lineáris kombinációjának és az extremális irányok nemnegatív lineáris kombinációjának összegeként. Ezen állítás fordítottja is igaz. Optimalizálási módszerek Kiegészítő gépész levelező Miskolci Egyetem