SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM SZERKEZETÉPÍTÉSI TANSZÉK MECHANIKA I.

Az előadások a következő témára: "SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM SZERKEZETÉPÍTÉSI TANSZÉK MECHANIKA I."— Előadás másolata:

1 SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM SZERKEZETÉPÍTÉSI TANSZÉK MECHANIKA I.

2 A MECHANIKA TÁRGYA MEREV vagy SZILÁRD testek, FOLYADÉK vagy GÁZ állapotú anyagok ill. ezek részecskéi MOZGÁSÁLLAPOTÁNAK ill. ALAK- MÉRETVÁLTOZÁSÁNAK vizsgálata, elemzése, összefüggéseinek feltárása

3 A MECHANIKA ANYAGAI

4 MEREV ANYAG – SZILÁRD ANYAG
Az építőmérnöki gyakorlatban alkalmazott (tartó)szerkezetek legnagyobbrészt olyan (szilárd) anyagokból készülnek, amelyek ALAKVÁLTOZÁSA a szerkezet méretéhez képest több nagyságrenddel KISEBB. Az ilyen szerkezetek viselkedése jól közelíthető a MEREV ANYAG modelljével, amikoris a (valóságban MINDIG keletkező!) ALAKVÁLTOZÁSOKAT teljesen figyelmen kívül hagyjuk.

5 szakító szilárdság - törőszilárdság
IDEÁLISAN MEREV ANYAG A merev anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra CSAK (fajlagos) ERŐVEL reagál, (fajlagos) ELMOZDULÁS egyáltalán nem ébred! Az ellenálló erő elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. erő vagy fajlagos erő szakító szilárdság - törőszilárdság elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

6 IDEÁLISAN RUGALMAS ANYAG
A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra egymással szigorúan arányban lévő (fajlagos) ERŐVEL ÉS (fajlagos) ELMOZDULÁSSAL reagál! Az ellenálló erő – a kialakuló alakváltozás elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. erő vagy fajlagos erő szakító szilárdság - törőszilárdság szakadónyúlás- törési összenyomódás elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

7 A MEREV-KÉPLÉKENY ANYAG
A merev-képlékeny anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra először (az anyagra jellemző folyási feszültség eléréséig) CSAK (fajlagos) ERŐVEL REAGÁL, alakváltozás, elmozdulás nélkül, majd e határ elérése után, az erő további növekedése NÉLKÜL egyenletesen növekvő, állandó SEBESSÉGŰ ELMOZDULÁS következik be. A tönkremenetel ilyen esetekben az anyag alakváltozási képességének kimerülésével következik be. erő vagy fajlagos erő folyási feszültség szakadónyúlás- törési összenyomódás elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

8 A RUGALMAS-KÉPLÉKENY ANYAG
A rugalmas-képlékeny anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra CSAK (fajlagos) ELMOZDULÁSSAL reagál, (fajlagos) ERŐ egyáltalán nem ébred! Az ELMOZDULÁS elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. erő vagy fajlagos erő folyási feszültség szakadónyúlás- törési összenyomódás elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

9 MEREV - KÉPLÉKENY ANYAG
A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra (fajlagos) ERŐVEL reagál, (fajlagos) ELMOZDULÁS egyáltalán nem ébred! Az ellenálló erő elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. erő vagy fajlagos erő elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

10 RUGALMAS - KÉPLÉKENY ANYAG
A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: erő vagy fajlagos erő A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra (fajlagos) ERŐVEL reagál, (fajlagos) ELMOZDULÁS egyáltalán nem ébred! Az ellenálló erő elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

11 NEMLINEÁRISAN RUGALMAS ANYAG
A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra (fajlagos) ERŐVEL reagál, (fajlagos) ELMOZDULÁS egyáltalán nem ébred! Az ellenálló erő elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. erő vagy fajlagos erő elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

12 MECHANIKA STATIKA MEREV TESTEK STATIKÁJA SZILÁRD TESTEK STATIKÁJA

13 ALAPFOGALMAK STATIKA: a NYUGALOM tudománya
MEREV TEST: a test MÉRETE, ALAKJA bármiféle hatás esetén VÁLTOZATLAN MARAD (idealizált állapot) SZILÁRD TEST: a test MÉRETE és/vagy ALAKJA az őt érő hatások nyomán a test méretéhez viszonyítva KISMÉRTÉKBEN VÁLTOZIK (valós állapot) ERŐ: a testek egymásra hatásának MÉRTÉKE

14 ERŐK Az anyagi testek egymásra hatásának mértékéül az ERŐ fogalmát választottuk. A testek egymásrahatása (tehát az ERŐ) okozhat MOZGÁS-ÁLLAPOT-VÁLTOZÁST

15 A testek egymásrahatása (tehát az ERŐ) okozhat ALAK-VÁLTOZÁST
ERŐK Az anyagi testek egymásra hatásának mértékéül az ERŐ fogalmát választottuk. A testek egymásrahatása (tehát az ERŐ) okozhat ALAK-VÁLTOZÁST (itt történetesen a MOZGÁSÁLLAPOT IS megváltozik, méghozzá elég drasztikusan)

16 Végül a testek egymásrahatása (tehát az ERŐ) okozhat MÉRET-VÁLTOZÁST.
ERŐK Az anyagi testek egymásra hatásának mértékéül az ERŐ fogalmát választottuk. Végül a testek egymásrahatása (tehát az ERŐ) okozhat MÉRET-VÁLTOZÁST. A folyadékba merülő (merülésre KÉNYSZERÍTETT) gömb alakú labda ALAKJA NEM változik, de MÉRETE IGEN.

17 AZ ERŐ ERŐ: a testek egymásra hatásának MÉRTÉKE JELLEMZŐI: nagyság
hatásvonal irányítás támadáspont szabad vektor kötött vektor irány

18 AZ ERŐ MEGADÁSA Az erő VEKTORát a síkban 2, a térben 3 összetevő (ill. vetület) határozza meg. Az erő TÁMADÁSPONTJÁT a síkban 2, a térben 3 koordináta határozza meg. Az ERŐ (nagyságát és helyét is egyértelműen rögzítő) meghatározásához tehát a síkban 4, a térben 6 adatra van szükségünk.

19 AZ ERŐ MEGADÁSA AZ ERŐ ADATAI F hatásvonal irányítás nagyság VEKTOR Fz
támadáspont z F HELYHEZ KÖTÖTT VEKTOR x Fy y összetevő (komponens) Fy Fx Fx vetület

20 AZ ERŐ ADATAI-JELLEMZŐI
HATÁSVONAL: az az egyenes, amelyben a vizsgált (erő)hatás jelentkezik, vagy összegezhető IRÁNYÍTÁS: a hatásvonalon melyik irányban működik a(z erő) hatás NAGYSÁG: az (erő)hatás nagysága VEKTOR: az irány- és nagyság-információt együttesen tartalmazó, a teljes (erő) hatás megjelenítésére használt matematikai fogalom TÁMADÁSPONT: a hatásvonalnak az a pontja, ahol az erőhatás a vizsgált testet éri (merev testek esetében nincs jelentősége) ÖSSZETEVŐ (komponens): a teljes (erő)hatásnak a választott koordináta-tengelyek irányába eső része (maga is vektor!) VETÜLET: a teljes (erő)hatásnak a választott koordináta-tengelyek irányába eső nagysága (ő maga skalármennyiség, de értéke megegyezik a megfelelő irányú komponens abszolút értékével: Fx = | Fx | vagy: Fx = Fx × i )

21 A FORGATÓNYOMATÉK Az ERŐk csoportja összegzett hatásában nemcsak eltoló, hanem elforgató is lehet. Ennek elemzéséhez új fogalmat kell bevezetnünk: ez a FORGATÓNYOMATÉK. A síkbeli (forgató)nyomaték definíciószerűen az ERŐ és az ERŐKAR SZORZATA, ahol az erőkar az erő hatásvonalának és a (forgásközép)-pontnak a távolsága. A forgatónyomaték jele M, a pozitív forgásirány az óra járásával megegyező.

22 A FORGATÓNYOMATÉK A (forgató)nyomaték a SÍKBAN skalár mennyiségként jelenik meg, hiszen a forgás SÍKJA, és ezáltal annak normálisaként a forgás TENGELYE is rögzített. A térben a forgástengely bármilyen állású lehet, ilyenkor a forgató hatást a koordináta-tengelyekre (vagy azokkal párhuzamos tengelyekre) lehet számítani. A térben is értelmezhető a nyomaték az ERŐ és az ERŐKAR szorzataként, csak a kar meghatározása körülményesebb. A támadáspont HELYVEKTORÁNAK és az ERŐ VEKTORÁNAK ismeretében azonban az erőnek az origóra vett NYOMATÉK VEKTORA az erővektor és a helyvektor VEKTORIÁLIS SZORZATA lesz.

23 AZ ERŐ NYOMATÉKA Mx=Fx×0-Fy×z+Fz×y My=Fx×z+Fy×0-Fz×x
A nyomatékot TENGELYRE számítjuk A nyomatékot VEKTORként is értelmezhetjük: hatásvonala a TENGELY (a nyomaték síkjának NORMÁLISA), IRÁNYÍTÁSA (állása) olyan, hogy nyilával szembenézve a forgató hatás az óra járásával megegyező legyen A nyomaték az ERŐ és az ERŐKAR SZORZATA (az erőkar a hatásvonal és a tengely NORMÁLTRANSZVERZÁLISA A tengelyt METSZŐ erő nyomatéka a tengelyre ZÉRUS A tengellyel PÁRHUZAMOS erő nyomatéka a tengelyre ZÉRUS A nyomatékot az ORIGÓRA IS számíthatjuk: ez esetben a kar a a hatásvonal és az origó távolsága, de a nyomaték a támadáspont helyvektorának és az erő vektorának vektoriális szorzataként kapható Mx=Fx×0-Fy×z+Fz×y My=Fx×z+Fy×0-Fz×x Mz=-Fx×y+Fy×x+Fz×0

24 AZ ERŐ NYOMATÉKA i j k My = +Fx×z + Fy×0 - Fz×x x y z
Ha a fenti koordinátarendszerben az erő komponensei POZITÍV előjelűek, és a felhasznált pont („támadáspont”) koordinátái is POZITÍV előjelűek, akkor a tengelyekre vett nyomaték a következőképpen számítható: + - + Mx = +Fx×0 - Fy×z + Fz×y My = +Fx×z + Fy×0 - Fz×x Mz = -Fx×y + Fy×x + Fz×0 Mx = i j k x y z Fx Fy Fz My = Mz = A tengelyre vett nyomatékokat a tengelyek METSZÉSPONTJÁRA vett nyomaték ÖSSZETEVŐIKÉNT értelmezve az ERŐ ORIGÓRA SZÁMÍTHATÓ NYOMATÉKA A HATÁSVONALON KIVÁLASZTOTT PONT HELYVEKTORÁNAK ÉS AZ ERŐ VEKTORÁNAK VEKTORIÁLIS SZORZATAKÉNT KAPHATÓ. M = r × F (EGY erő esetén az origóra vett (a tengelyekre számított összetevők eredőjeként adódó) NYOMATÉK mindig BENNE VAN az ORIGÓ és az erő HATÁSVONALA által meghatározott síkban, azaz MERŐLEGES az erő vektorára.)

25 AXIÓMÁK Két erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha hatásvonaluk közös és vektoruk ellentett. Három erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha hatásvonalaik metszéspontja közös és vektoraikból nyílfolytonos vektorháromszög szerkeszthető. Egy erőrendszer hatása nem módosul, ha elveszünk vagy hozzáadunk egy önmagában egyensúlyban lévő erőcsoportot. Két test egymásra hatásakor az átadódó erők egymás ellentettjei.

26 AZ EREDŐ A testek közötti hatás, erőátadás, több test között is lehetséges. Ilyenkor az ÖSSZEGZETT hatásra vagyunk kíváncsiak, azaz az erők EREDŐ hatását, EREDŐJÉT keressük. Az eredő mindig az alkotó erőrendszerrel MEGEGYEZŐ hatást fejt ki, azaz VETÜLETEIBEN és (tetszőleges pontra vett) NYOMATÉKÁBAN AZONOS.

27 AZ EGYENÉRTÉKŰSÉG Az ERŐK és FORGATÓNYOMATÉKOK csoportjainak egyenértékűségét, hatásaik azonosságát meghatározó egyenlőség. A két oldalon felsorolt jelű erők, forgatónyomatékok ERŐ és NYOMATÉKI vetületei AZONOSAK. Az egyenértékűségekben az ERŐK és a FORGATÓNYOMATÉKOK mindig MINDEN ADATUKAT hordozzák! (A, B, C, D) = (G, H, J, K)

28 HELYETTESÍTÉS - EGYENSÚLYOZÁS
(F1, F2, F3, ... Fn) = R helyettesítés egyetlen erővel (F1, F2, F3, ... Fn) = (A, B) helyettesítés egy ismert hatásvonalú és egy ismert ponton átmenő erővel (F1, F2, F3, ... Fn) = (A, MA) helyettesítés egy ismert ponton átmenő erővel és egy vele egyidejűleg működő nyomatékkal (F1, F2, F3, ... Fn) = (S1, S2, S3) helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel

29 HELYETTESÍTÉS - EGYENSÚLYOZÁS
[(F1, F2, F3, ... Fn), R’ ] = 0 egyensúlyozás egyetlen erővel [(F1, F2, F3, ... Fn) A’, B’ ] = 0 egyensúlyozás egy ismert hatásvonalú és egy ismert ponton átmenő erővel [(F1, F2, F3, ... Fn) A’, MA’ ] = 0 egyensúlyozás egy ismert ponton átmenő erővel és egy vele egyidejűleg működő nyomatékkal [(F1, F2, F3,...Fn), S1’, S2’, S3’]=0 egyensúlyozás három, ismert hatásvonalú erővel

30 HELYETTESÍTÉS - EGYENSÚLYOZÁS
A helyettesítési és az egyensúlyozási feladatok tehát lényegében AZONOS technikákat kívánnak, és az egyensúlyozó erők-nyomatékok mindig a helyettesítő dinámok ELLENTETTJEI.

31 AZ ÖSSZETEVŐK Az erők (és, mint majd később látni fogjuk) a nyomatékok VEKTORként írhatók le a leghatékonyabban. A síkban (ill. a térben) általános elhelyezkedésű, általános állású vektorokkal általában a KOORDINÁTA-GEOMETRIA eszköztárával dolgozunk. Ennek megfelelően az ERŐK ill. a NYOMATÉKOK vektorait a választott koordinátatengelyek irányába eső ÖSSZETEVŐKkel helyettesítjük. F=(Fx, Fy, Fz) ill. M=(Mx, My, Mz)

32 A VETÜLETEK Az ÖSSZETEVŐK maguk is VEKTOROK. Sokszor célszerű ezen összetevő (komponens) vektorok NAGYSÁGAIT KÜLÖN megnevezni: ezek az erővektorok ill. forgatónyomatéki vektorok (koordinátatengely-irányú) VETÜLETEI (ezek tehát SKALÁRmennyiségek). F=(Fx, Fy, Fz)=(Fx ×ix, Fy × iy, Fz × iz) ill. M=(Mx, My, Mz)=(Mx ×ix, My × iy, Mz × iz)

33 EGYENLETEK Az ERŐK és NYOMATÉKOK megfelelő irányú VETÜLETEI között fennálló összefüggéseket MATEMATIKAI (skalár) egyenletekkel írhatjuk le. Ha sikerül annyi egyenletet felírnunk (annyi nyugalmi feltételt meghatároznunk) amennyi az ismeretlen erő- ill. nyomatéki összetevők száma, akkor a megoldás EGYÉRTELMŰEN előállítható.

34 LINEARITÁS Az erő- ill. nyomatéki VEKTOROK és koordináta-tengely-irányú VETÜLETEIK között egyenes ará-nyosság áll fenn, tehát a függvénykapcsolat LINEÁRIS. Az ERŐ és ERŐKAR szorzataként előállított (FORGATÓ)NYOMATÉKOK nagysága is az erőnek és az erőkarnak LINEÁRIS függvénye. A függvénykapcsolatok LINEARITÁSA számítás-technikailag igen előnyös (pl. érvényes az egymásra halmozás), így a továbbiakban még akkor is lineari-zált függvénykapcsolatokat alkalmazunk, ha a való-ság ennél (sokkal) bonyolultabb (ELSŐRENDŰ ELMÉLET).

35 LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK
A lineáris egyenletrendszerekben minden ismeretlen CSAK ELSŐ FOKON fordul elő, és az ismeretlenek SZORZATA nem szerepel. Az ilyen tulajdonságú egyenletrendszerekre igaz, hogy a megoldhatóság, a megoldás létezése a (matematikailag FÜGGETLEN) EGYENLETEK és az ISMERETLENEK számának összevetéséből adódik. egyenletek száma < ismeretlenek száma egyenletek száma > ismeretlenek száma egyenletek száma = ismeretlenek száma HATÁROZATLAN végtelen sok megoldás létezik HATÁROZOTT egyértelmű megoldás létezik TÚLHATÁROZOTT NINCS egyértelmű megoldás

36 KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE
Két párhuzamos erő eredője MINDIG PÁRHUZAMOS VELÜK, NAGYSÁGA A KÉT ERŐ NAGYSÁGÁNAK ALGEBRAI ÖSSZEGE. Az eredő HELYE egy irányba mutató erők esetén a két erő KÖZÖTT, ellen-tétes irányú erők esetén a két erőn KÍVÜL lesz, MINDIG A NAGYOBBIK ERŐ OLDALÁN.

37 EGY ERŐ ÉS EGY ERŐPÁR EREDŐJE
Az AZONOS síkban működő ERŐ és ERŐPÁR mindig helyettesíthető EGYETLEN ERŐVEL. (F,M) = R R F Az ERŐPÁR (nyomaték) helyett alkalmazhatunk két, azonos forgatóhatású erőből álló erő-párt. M = (P,P*) P* P* |P| = |P*| A helyettesítő erő-pár ELSŐ tagját teljesen szabadon vehetjük fel a síkban, a MÁSODIK tag azonban KÖTELEZŐEN az első ELLENTETTJE, és tőle olyan távol van, hogy a forgatóhatás a nyomaték hatásával MEGEGYEZŐ legyen. P*/2 M P×k = M P P*/3 k P/2×2k=M k 2k k P/2 Ha P=-F P 3k P/3 |P*|=-(-|F|)=|F| R=P* (P, F)=0 |R|=|F| k=M/|F|

38 EGY ERŐ ÉS EGY ERŐPÁR EREDŐJE
Azonos (pontosabban: párhuzamos) síkban fekvő ERŐ és ERŐPÁR EREDŐJE nagyságát, állását, vektorát tekintve MEGEGYEZIK az ERŐ adataival, helyzete pedig az ERŐ hatásvonalát olyan IRÁNYBAN és olyan MÉRTÉKBEN eltolva kapható, hogy az elmozdítás folytán kialakuló nyomatéki TÖBBLET az ERŐPÁR hatását pótolja, helyettesítse.

39 EGY ERŐ ÉS EGY ERŐPÁR EREDŐJE
Egy ERŐ és egy ERŐPÁR eredője természetesen akkor is ugyanígy állítható elő, ha síkjuk NEM koordinátasík. Kérdés, hogy számítási feladat esetén hogyan állapíthatjuk meg, hogy AZONOS (vagy pontosabban: párhuzamos) síkban vannak-e. Az ERŐPÁR számára bevezetve a NYOMATÉK-VEKTOR fogalmát, ami az erőpár síkjának normálisában áll, az ERŐ és az ERŐPÁR síkjának párhuzamosságát az ERŐvektor és a NYOMATÉK-vektor MERŐLEGESSÉGE jelzi, azaz, ha F · M = 0 → R létezik, előállítható.

40 AZ ERŐ PONTRA REDUKÁLÁSA
A helyettesítési feladat másként is megfogalmazható: Helyettesítsünk egy ERŐt egy meghatározott ponton (pl. A ponton) átmenő ERŐvel és egy emellett szükségessé váló ERŐPÁRral (maga az eredeti erő lehet akár egy erőrendszer eredője is). R = (A, MA) A feladat valójában az ERŐ és ERŐPÁR eredőmeg-határozásának inverz művelete, azaz A = R és MA = MR(A)

41 KÉT KITÉRŐ ERŐ EREDŐJE AZ EREDŐ VEKTORA a két erő vektorainak (vektoriális) összege lesz. Ha az erőrendszer hatását vizsgáljuk, azt láthatjuk, hogy az EGYIK erő ELTOLÓ hatásával együtt mindig megjelenik a MÁSIK erő (ugyanazon tengely körüli) FORGATÓ hatása. Az a test tehát, amelyre a fenti erőrendszer működik, olyan mozgásra kényszerül, mint a be (vagy ki)hajtott CSAVAR. z Az ilyen erőrendszer NEM HELYETTESÍTHETŐ sem egyetlen erővel, sem egyetlen nyomatékkal, hatása alapján új fogalmat kell bevezetnünk: ennek neve ERŐCSAVAR. F1(z) F2(y) M2x=SMx x M1y=SMy y

42 TÉRBELI ERŐK EREDŐJE AZ EREDŐ VEKTORA a két erő vektorainak (vektoriális) összege lesz. Ha az erőrendszer hatását vizsgáljuk, azt láthatjuk, hogy az EGYIK erő ELTOLÓ hatásával együtt mindig megjelenik a MÁSIK erő (ugyanazon tengely körüli) FORGATÓ hatása. Az a test tehát, amelyre a fenti erőrendszer működik, olyan mozgásra kényszerül, mint a be (vagy ki)hajtott CSAVAR. Az ilyen erőrendszer NEM HELYETTESÍTHETŐ sem egyetlen erővel, sem egyetlen nyomatékkal, hatása alapján új fogalmat kell bevezetnünk: ennek neve ERŐCSAVAR.

43 SÍKBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE
Az eredő VEKTORA R=(F1,F2,F3,…Fn) geometriai lépték M=1:n R=(F1+F2+F3+…+Fn) F1 F2 F3 F4 F5 erőlépték 1 cm(=)K kN F1 S0 R=(S5,S0’) VEKTOR-ÁBRA S0 kötéloldalak S4 S1 S5 KÖTÉLSOKSZÖG S0’ S2 S3 S0’ S1 F2 R Az eredő HELYE S2 (segéderők bevezetésével) S1=(S0,F1) F3 vektoridom-sugarak W S2=(S1,F2) S3 S3=(S2,F3) S4 F4 A vektorábrában HÁROMSZÖGET alkotó erők hatásvonalai a geometriai ábrában EGY PONTBAN METSZŐDNEK Az eredő VEKTORA (nagysága, vetületei) az erők helyzetétől FÜGGETLENÜL a VEKTOR-ÁBRÁBÓL (vagy vetületi egyenletekből) meg-kapható. Az eredő HELYÉT KÖTÉLSOK-SZÖG-SZERKESZTÉSSEL (vagy nyomatéki egyenletekből) határozhatjuk meg. A geometriai ábrában HÁROMSZÖGET alkotó erők vektorai a vektorábrában EGY PONTBAN METSZŐDNEK S4=(S3,F4) S5 S5=(S4,F5) F5 R=(S0,F1,F2,F3,F4,F5,S0’)=(S5,S0’) R=(S5,S0’)

44 SÍKBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE
Változtassuk meg a vektorábrában az erők SORRENDJÉT! R=(F1,F2,F3,…Fn) F1 F2 F3 F4 F5 R=(F3+F1+F5+F2+F4) F3 R 1 F1 2 R W F5 3 Az egy pontban metsződő vektorok a geometriai ábrában most is HÁROMSZÖGET ALKOTNAK! 4 Az eredő VEKTORA az erők SORRENDJÉTŐL MINDIG FÜGGETLEN! F2 5 A kötélsokszög által meghatározott pont a VEKTORSORREND és a PÓLUS felvételének függvényében változik, de mindig az EREDŐ HATÁSVONALÁN LESZ! Az eredő HELYÉT (hatásvonalának egy pontját) az (aktuális sorrend szerinti) ELSŐ ERŐT MEGELŐZŐ és az UTOLSÓ ERŐT KÖVETŐ kötéloldalak METSZÉSPONTJA szolgáltatja. F4

45 SÍKBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE
R=(F1,F2,F3,…Fn) R=(F1+F2+F3+…+Fn) F1 F2 F3 F4 F5 F1 R 1 F2 R 4 F4 2 F3 F5 5 W 3 Az eredő VEKTORA (nagysága, vetületei) az erők helyzetétől FÜGGETLENÜL a VEKTOR-ÁBRÁBÓL (vagy vetületi egyenletekből) meg-kapható. Az eredő HELYÉT KÖTÉLSOK-SZÖG-SZERKESZTÉSSEL (vagy nyomatéki egyenletekből) határozhatjuk meg.

46 ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE
AZ EREDŐ VEKTORA Az eredő mindenféle szempontból EGYENÉRTÉKŰEN HELYETTESÍTI az erőrendszert, így az eredő tengelyirányú VETÜLETEI az erőrendszer elemeinek ugyanazon tengelyre vett VETÜLET-összegeivel egyeznek meg. (Az eredő KOMPONENSEI tehát az erők elhelyezkedése NÉLKÜL IS előállíthatók!) z Rz F3z F3y F2z F3x F2x F1z F2y Ry F1y F1x y x Rx

47 ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE
AZ EREDŐ ERŐVEKTOR (NAGYSÁG ÉS ÁLLÁS) Rx = S Fi,x Ry = S Fi,y Rz = S Fi,z R = (Rx2+ Ry2+ Rz2)½ a=arccos(Rx/|R|) b=arccos(Ry/|R|) g=arccos(Rz/|R|) Ha Rx = 0 → az eredőnek NINCS x irányú összetevője, azaz az eredő az y-z koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS Ha Rx = 0 ÉS Ry = 0 ÉS Rz = 0 → az eredőnek NINCS erő-összetevője, azaz az eredő VAGY ERŐPÁR (NYOMATÉK) VAGY ZÉRUSERŐ (EGYENSÚLY) Ha Ry = 0 → az eredőnek NINCS y irányú összetevője, azaz az eredő az x-z koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS Ha Rz = 0 → az eredőnek NINCS z irányú összetevője, azaz az eredő az x-y koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS Ha Rx = 0 ÉS Ry = 0 → az eredőnek NINCS x ÉS y irányú összetevője, azaz az eredő a z tengellyel PÁRHUZAMOS

48 ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE
AZ EREDŐ NYOMATÉKA Az eredő mindenféle szempontból EGYENÉRTÉKŰEN HELYETTESÍTI az erőrendszert, így az eredő tengelyre vett NYOMATÉKAI az erőrendszer elemeinek ugyanazon tengelyre vett NYOMATÉK-összegeivel egyeznek meg. Az így nyerhető három, koordinátatengely- irányú nyomatékvektor az erőrendszer origóra vett NYOMATÉK(VEKTOR)ÁNAK HÁROM KOMPONENSE. (Az erőrendszer NYOMATÉKÁ-NAK meghatározása során az erőknek mind a NAGYSÁGÁRA (összetevők), mind az ELHE-LYEZKEDÉSÉRE szükség van. z3 F3z z2 F3y Mz F2z F3x z1 F2x x2 F1z F2y y1 Mx x1 My y3 F1y x3 y2 F1x

49 ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE
AZ EREDŐ NYOMATÉKVEKTOR (NAGYSÁG - ÁLLÁS) Mx = SMix = +SFi,x×0 - SFi,y×zi + SFi,z×yi My = SMiy = +SFi,x×zi + SFi,y×0 - SFi,z×xi Mz = SMiz = -SFi,x×yi + SFi,y×xi + SFi,z×0 |M| = (Mx2+ My2+ Mz2)½ a=arccos(Mx/|M|) b=arccos(My/|M|) g=arccos(Mz/|M|) Ha Mx = 0 → az eredőnyomatéknek NINCS x irányú összetevője, azaz az eredő nyomaték az y-z koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS síkban ébred Ha Mx = 0 ÉS My = 0 ÉS Mz = 0 → az eredőnek az origóra NINCS nyomaték-összetevője, azaz az eredő VAGY az origón átmenő ERŐ VAGY ZÉRUSERŐ (EGYENSÚLY) Ha My = 0 → az eredőnyomatéknek NINCS y irányú összetevője, azaz az eredő nyomaték az x-z koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS síkban ébred Ha Mz = 0 → az eredőnyomatéknek NINCS z irányú összetevője, azaz az eredő nyomaték az x-y koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS síkban ébred

50 ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE
AZ EREDŐ ERŐ ÉS NYOMATÉK ÖSSZETÉTELE Egy ERŐ és egy ERŐPÁR HELYETTESÍTHETŐ EGYETLEN ERŐVEL, ha AZONOS (párhuzamos) síkban működnek. Minthogy az ERŐPÁR VEKTORA E SÍK NORMÁLISÁBAN ÁLL, a fenti feltétel úgy is fogalmazható: M * R = 0 ahol M=(Mx ;My;Mz) és R=(Rx;Ry;Rz) azaz SMi * Ri = 0 Ha a fenti feltétel teljesül, a koordinátatengelyekre számított ERŐVETÜLETEKből előállított ERŐ és koordinátatengelyekre számított NYOMATÉKVETÜLETEKből előállított NYOMATÉK EGYETLEN ERŐVÉ TEHETŐ ÖSSZE. Ha a fenti ERŐ- és NYOMATÉKvektorok skalárszorzata NEM ZÉRUS, akkor az erőrendszer eredője ERŐCSAVAR. (Ha az ERŐ és a NYOMATÉK vektora NEM PÁRHUZAMOS, akkor mindig előállítható olyan ERŐ-NYOMATÉK vektorösszetevő-páros, amelyek MERŐLEGESEK, TEHÁT EGYETLEN ERŐVEL HELYETTESÍTHETŐK. Ez az erő azonban már PÁRHUZAMOS lesz a megmaradó NYOMATÉK-ÖSSZETEVŐVEL, ÍGY (tiszta) ERŐCSAVART alkot

51 EGYENSÚLYOZÁS EGY ERŐVEL
[(F1, F2, F3, ... Fn), Q ] = 0 Számítással: S(Fi,x) = 0 Qx = S(Fi,y) = 0 Qy = S(Mi,O) = 0 xQ = vagy yQ = Szerkesztéssel: Az eredő (ellentett) VEKTORÁT a vektorábrából, HELYÉT a kötélsokszög-szerkesztésből kaphatjuk meg.

52 EGYENSÚLYOZÁS EGY ERŐVEL ÉS EGY TÁRSNYOMATÉKKAL
[(F1, F2, F3,...Fn), P, MP]=0 Számítással: S(Mi,P) = 0 MP = S(Fi,x) = 0 Px = S(Fi,y) = 0 Py = Szerkesztéssel: A helyettesítő erő VEKTORA az eredő vektorával AZONOS, a társnyomaték számítandó.

53 [(F1, F2, F3,...Fn), P, Q] = 0 Számítással:
EGYENSÚLYOZÁS KÉT ERŐVEL (P ismert hatásvonalú, Q ismert ponton megy át) [(F1, F2, F3,...Fn), P, Q] = 0 Számítással: S(Mi,Q) = 0 P = S(Fi,x) = 0 Qx = S(Fi,y) = 0 Qy = Szerkesztéssel: A helyettesítő erők VEKTORAIT a vektorábra és a kötélsokszög-szerkesztésből alkalmas kombinációjával kaphatjuk meg.

54 EGYENSÚLYOZÁS 3 ERŐVEL (mindhárom ismert hatásvonalú)
[(F1, F2, F3,...Fn),A,B,C]=0 Számítással: S(Mi,A főpontra) = 0 A = S(Mi,B főpontra) = 0 B = S(Mi,C főpontra) = 0 C = Szerkesztéssel: Két ismeretlen erőt ideiglenesen az eredőjükkel helyettesítünk, és így már három erő egyensúlyával van dolgunk (Culmann-szerkesztés). (a főpont a KÉT MÁSIK hatásvonal metszéspontja!)

55 EGYENSÚLYOZÁS 3 ERŐVEL (mindhárom ismert hatásvonalú)
A Culmann-szerkesztés: [(F1,F2,F3,...Fn),A,B,C]=0 (F1,F2,F3,...Fn)=R (A,B)=Q (R,Q,C)=0 Q hatásvonala átmegy A és B hatásvonalának metszéspontján, mert EREDŐ, és átmegy R és C hatásvonalának metszéspontján, mert csak így lehet egyensúly!

56 EGYENSÚLYOZÁS 3 ISMERT HATÁSVONALÚ ERŐVEL
A számított A feltételezett MROC+C×kC=0 MROA+A×kA=0 OC MROB+B×kB=0 OB R kA Bfeltételezett Bszámított b Cfeltételezett C számított kC kB c OA A KÉT MÁSIK hatásvonal metszéspontja a FŐPONT. Az erre felírt nyomatéki egyenletben ismeretlenként CSAK A KERESETT ERŐ szerepel!

57 EGYENSÚLYOZÁS 3 ISMERT HATÁSVONALÚ ERŐVEL
A számított A feltételezett MROA+A×kA=0 OC MROB+B×kB=0 MROC+C×kC=0 kBy OB R kA Bszámított b Cfeltételezett C számított Ha a kar meghatározása nehézségek-be ütközik, a ferde erőt a nyomaték-számítás során helyettesíthetjük KOMPONENSEIVEL kC kBx c OA Bx-y feltételezett A KÉT MÁSIK hatásvonal metszéspontja a FŐPONT. Az erre felírt nyomatéki egyenletben ismeretlenként CSAK A KERESETT ERŐ szerepel!