Kombinatorikus problémák sokszögek háromszögekre osztásaival kapcsolatban Hajnal Péter Szeged, SZTE, Bolyai Intézet.

Az előadások a következő témára: "Kombinatorikus problémák sokszögek háromszögekre osztásaival kapcsolatban Hajnal Péter Szeged, SZTE, Bolyai Intézet."— Előadás másolata:

1 Kombinatorikus problémák sokszögek háromszögekre osztásaival kapcsolatban Hajnal Péter Szeged, SZTE, Bolyai Intézet

2 Nem metsző átlókkal való telítés Vegyünk egy konvex sokszöget ( n =csúcsszám) n=7 Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

3 Nem metsző átlókkal való telítés Vegyünk egy konvex sokszöget ( n =csúcsszám) n=7 Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

4 Nem metsző átlókkal való telítés Vegyünk egy konvex sokszöget Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

5 Nem metsző átlókkal való telítés Vegyünk egy konvex sokszöget Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

6 Nem metsző átlókkal való telítés Vegyünk egy konvex sokszöget Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

7 Nem metsző átlókkal való telítés Vegyünk egy konvex sokszöget Húzzunk be egymást nem metsző átlókat, amíg lehetséges.

8 Nem metsző átlókkal való telítés Telített sokszög Észrevétel: Bárhogy végezzük a telítést, ugyanannyi átlót használunk és ugyanannyi háromszöghöz jutunk.

9 Nem metsző átlókkal való telítés Telített sokszög Észrevétel: Bárhogy végezzük a telítést, ugyanannyi átlót használunk és ugyanannyi HÁROMSZÖG-höz jutunk.

10 Nem metsző átlókkal való telítés Bizonyítás: Jobb oldal: n-szög egy csúcsból induló átlói→ n-3 átló, n-2 háromszög→(n-2)π szögösszeg. Bal oldal (tetszőleges telítés): ugyanekkora szögösszeg→ugyanennyi háromszög→ugyanennyi átló.

11 Háromszög fokok Egy csúcs háromszög foka az ott találkozó háromszögek száma:

12 Háromszög fokok Egy csúcs háromszög foka az ott találkozó háromszögek száma: 3 2 1 5 1 2 3 1 2 1 1 4 2 2

13 Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? 2 3 1 4 1 1 3

14 Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? IGEN 2 3 1 4 1 1 3

15 Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? 2 3 1 3 1 1 3

16 Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? NEM 2 3 1 3 1 1 3 A számok összege 14 3·háromszögek száma=15.

17 Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? 2 3 2 1 4 1 2

18 Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? NEM 2 3 2 1 4 1 2 Van két szomszédos 1-es.

19 Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? 2 3 2 2 2

20 Háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? NEM 2 3 2 2 2 Nincs 1-es a fokok között.

21 És most valami teljesen más (?) Számtáblázat definiálása: Kiinduló két sor: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1…a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 … Elemi négyzet szabálya: a a a b c a d esetén bc=ad+1 azaz szorzat 1-gyel nagyobb mint a

22 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 … a

23 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 … … 1

24 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 … … 1 5

25 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 … … 1 5 11

26 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 … … 1 5 11 19

27 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 … … 1 5 11 19 29

28 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 … … 1 5 11 19 29 41

29 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 … … 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2

30 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 … … 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18

31 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 … … 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18 52

32 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 … … 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18 52 110

33 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 … … 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18 52 110 … 1 301

34 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 1 2 3 4 5 6 7 … … 1 5 11 19 29 41 … 1 … 2 18 52 110 … 1 301 SEJTÉS: Ha a kezdősor csupa 1-est tartalmaz, a második sor csupa egész számot tartalmaz, akkor nem lépünk ki az egész számok köréből.

35 És most valami teljesen más (?) Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … a

36 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 a

37 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 a

38 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 a

39 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3 a

40 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3 2 a

41 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3 2 2 a

42 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3 2 2 2 a

43 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 5 1 3 3 2 2 2 5 a

44 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … a

45 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2

46 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 a

47 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 a

48 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 a

49 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 a

50 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 a

51 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3 a

52 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3 2 … a

53 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3 2 … 1 … 3 1 3 2 1 4 1 …

54 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3 2 … 1 … 3 1 3 2 1 4 1 … 1 … 1 1 1 1 1 1 …

55 És most valami teljesen más (?) Példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1… 3 2 1 4 1 3 1 3 2 1 … 1 … 5 1 3 3 2 2 2 5 1 … 1 … 2 2 2 5 1 3 3 2 … 1 … 3 1 3 2 1 4 1 … n=7 1 … 1 1 1 1 1 1 … Definíció: Fríz számsor (Conway-Coxeter) Első sor csupa 1-es, második sor n darab pozitív egész periodikusan ismételve, (n-1)-edik sor csupa 1-es.

56 Fríz

57 Újra konvex sokszögek Körbe írt sokszög A B 1 1 F C 1 1 E D Nem egészekből álló fríz: A B C D E F 1 1 1 1 1 √3 √3 √3 √3 2 2 2 √3 √3 1

58 Ptolemaiosz tétele Legyen A, B, C és D négy pont egy körön A D B Ekkor AC·DB= AD·BC+AB·CD C

59 Ptolemaiosz tétele (speciális eset) Legyen A, B, C és D négy pont egy körön A AB=CD=1 B Ekkor AC·DB= AD·BC+1 D C

60 Ptolemaiosz tétele (speciális eset) Legyen A, B, C és D négy pont egy körön A AB=CD=1 B Ekkor A B … C D BC AC BD D C AD teljesíti az elemi négyzet szabályát.

61 Cikk-cakk frízek Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

62 Cikk-cakk frízek Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

63 Cikk-cakk frízek Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

64 Cikk-cakk frízek Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 1 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

65 Cikk-cakk frízek Újabb példa: …1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 1 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

66 Cikk-cakk frízek Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 1 9 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

67 Cikk-cakk frízek Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1 9 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

68 Cikk-cakk frízek Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1 1 9 4 1 4 7 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

69 Cikk-cakk frízek Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1 1 9 4 1 1 4 7 3 1 3 3 5 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

70 Cikk-cakk frízek Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1 1 9 4 1 1 4 7 3 1 1 3 3 5 2 1 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

71 Cikk-cakk frízek Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1 1 9 4 1 1 4 7 3 1 1 3 3 5 2 1 1 2 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

72 Cikk-cakk frízek Újabb példa: … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 2 5 1 2 2 2 3 1 1 9 4 1 3 3 5 2 1 1 4 7 3 1 4 7 3 1 1 3 3 5 2 1 9 4 1 1 2 2 2 3 1 2 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

73 Újból háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? 1 2 3 5 2 1 2 2

74 Újból háromszög fokok FELADAT: Lehetnek-e a háromszög fokok az alábbiak? IGEN 1 2 3 5 2 1 2 2

75 Újból frízek 3 2 1 1 4 4 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … Fríz lesz-e?

76 Újból frízek Fríz lesz-e? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 …

77 Újból frízek Fríz lesz-e? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … IGEN

78 Újból frízek Fríz lesz-e? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

79 Újból frízek A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

80 Újból frízek A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … BD

81 Újból frízek A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … BD, EG

82 Újból frízek A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … BD, EG, AG

83 Újból frízek A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … BD, EG, AG, AD

84 Újból frízek A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … BD, EG, AG, AD, DG

85 Újból frízek A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … BD, EG, AG, AD, DG

86 Újból frízek A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … BD, EG, AG, AD, DG, szomszédos betűk

87 Frízek és átlók B A H C G D E F BD, EG, AG, AD, DG, szomszédos betűk

88 Frízek és átlók B A H C G D E F BD, EG, AG, AD, DG

89 Frízek és átlók B A H C G D E F BD, EG, AG, AD

90 Frízek és átlók B A H C G D E F BD, EG, AG

91 Frízek és átlók B A H C G D E F BD, EG

92 Frízek és átlók B A H C G D E F BD

93 Frízek és átlók B A H C G D E F BD

94 Frízek és átlók 2 3 1 1 4 4 2 1 BD

95 Elemi négyzet szabály c b C a B A

96 Elemi négyzet szabály c b C a B A b·C=c·B+1, a·B=b·A+1

97 Elemi négyzet szabály c b C a B A b·C=c·B+1, a·B=b·A+1 b·C-a·B=c·B-b·A

98 Elemi négyzet szabály c b C a B A b·C=c·B+1, a·B=b·A+1 b·C-a·B=c·B-b·A b·C+b·A=c·B+a·B

99 Elemi négyzet szabály c b C a B A b·C=c·B+1, a·B=b·A+1 b·C-a·B=c·B-b·A b·C+b·A=c·B+a·B, b·(A+C)=(a+c)·B

100 Elemi négyzet szabály c b C a B A b·C=c·B+1, a·B=b·A+1 b·C-a·B=c·B-b·A b·C+b·A=c·B+a·B, b·(A+C)=(a+c)·B (A+C):B=(a+c):b

101 Elemi négyzet szabály 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

102 Elemi négyzet szabály 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

103 Elemi négyzet szabály 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

104 Frízek és párosítások (n-2) háromszög, n csúcs B A H C G D E F

105 Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs B A H D E F

106 Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK B A H D E F

107 Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK B A H D E F

108 Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK B A H D E F

109 Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK. B A H D E. F 3 LEHETŐSÉG

110 Frízek és párosítások A B C D E F G H A B 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 3 2 1 4 2 1 4 1 3 2 … 2 5 1 3 7 1 3 3 2 5 1 … 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 … 7 1 3 3 2 5 1 3 7 1 3 … 2 1 4 1 3 2 1 4 2 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …

111 Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK H C G D E F

112 Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK H C G D E F

113 Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK H C G D E F

114 Frízek és párosítások (n-2) háromszög, (n-2) csúcs PÁROSÍTSUNK H C G D E F 1 LEHETŐSÉG