A vetítések geometriája

Az előadások a következő témára: "A vetítések geometriája"— Előadás másolata:

1 A vetítések geometriája
Pontok, egyenesek, körök és ezek vetületei Készítette: Nagy Gábor Péter

2 Geometriai alapfogalmak
Pont, egyenes, sík Egyenes vagy szakasz? Illeszkedés vagy tartalmazás: e  f = P ? Távolság  hossz, terület, szög mérése Közrefogás

3 Párhuzamos vetítés Párhuzamosság a síkon és a térben
Párhuzamossági axióma A párhuzamos vetítés megtartja az egyeneseket, a párhuzamosságot, az „arányokat” Nem tartja meg a távolságot, a szöget Párhuzamos szelők tétele Alkalmazás: műszaki rajz

4 Perspektív ábrázolás A XIV. századig nem törekedtek a tér valósághű ábrázolására A XIV-XV. században az olasz festők „feltalálják” a perspektívát „A párhuzamosok a végtelenben találkoznak” A térérzékelésünk, azaz a látásunk lényegében középpontos vetítés

5

6

7

8

9

10 A középpontos vetítés Középpontos vetítés a síkon és a térben
A középpontos vetítés egyenestartó A középpontos vetítés nem tartja meg a párhuzamosságot, az arányt, a közrefogást Alkalmazás: 3D-s számítógépes játékok csak vonalzóval rajzolható alakzatok

11

12 Ideális pontok és egyenesek
Minden egyeneshez hozzáképzelünk plusz egy ideális pontot Párhuzamos egyenesekhez ugyanazt az ideális pontot vesszük hozzá Az ideális pontok alkotják az ideális egyenest Két pontnak mindig van közös egyenese Két egyenesnek mindig van metszete

13 Másodfokú alakzatok Elsőfokú alakzatok egyenes: y = 2x – 3 (y = mx + b) sík: ax + by + cz = d Kúpszeletek ellipszis (ideértve a kört), parabola, hiperbola, A kanonikus alakuk másodfokú, kétismeretlenes egyenlet

14 Kúpszeletek vetületei
Kör párhuzamos vetülete ellipszis A párhuzamos vetítés megtartja az ellipszist, a parabolát és a hiperbolát Kör középpontos vetülete VAGY ellipszis, VAGY parabola VAGY hiperbola A forgáskúp síkmetszetei A középpontos vetítés megtartja a kúpszeleteket

15

16

17 Néhány tétel kúpszeletre
Kúpszeletek ideális pontjai Papposz tétele egyenesekre Pascal tétele körre Pascal tétele kúpszeletekre Kúpszeletek szerkesztése