1. A mérési adatok kezelése

Az előadások a következő témára: "1. A mérési adatok kezelése"— Előadás másolata:

1 1. A mérési adatok kezelése http://tp1957.atw.hu/an_01.ppt
Analitika 13. C, 13. H osztály és 1219/6 modul tanfolyam részére 2010/2011 1. A mérési adatok kezelése 13. C 13. H rész neve cím tartalom bevezetés tananyag osztály-lap ismétlés függelék szakirodalom össz. oldalszám 1 - 10 2 17

2 Tartalom A mérési hiba A várható érték és a szórás
Párhuzamos mérési adatok értékelése A relatív hiba Ismétlő kérdések, gyakorlás Függelék Szakirodalom

3 1.1 A mérési hiba „Egy mérés nem mérés” – hallottuk már sokszor.
Miért? A valódi értéket abszolút pontosan nem tudjuk megmérni. A méréssel csak közelítjük azt. Több mérést végezve, az átlag – reményeink szerint – a valódi értéket egyre jobban közelíti. Egy mérés esetén, ha valami hibát követünk el, nem fogjuk észrevenni. A párhuzamos mérések átlaga, a várható érték, a valódi érték becslése. A várható értéket rendszeres és véletlen hibák terhelhetik. Rendszeres hiba lehet pl. hibás leolvasás (parallaxis). Kétféle létezik: fix és arányos. A véletlen hibák átlagértéke a párhuzamos mérések számának növelésével csökken.

4 1.1 Rendszeres és véletlen hiba
jel Rendszeres hiba Valódi érték Véletlen hiba Várható érték x1 xi xn Egymás utáni mintavételek

5 1.1 Rendszeres és véletlen hiba
10 8 5 7 6 2 3 4 1 9

6 1.1 A várható érték változása a mérések számával
Mért érték Várható érték

7 1.2 A várható érték és a szórás
Egy mérési sorozat várható értékét ( ) a mérési sorozat elemeinek számtani közepeként számoljuk: A szórás (σ) a párhuzamos mérési eredmények közötti eltérés jellemzésére szolgál; a várható értékek körüli mérési eredmények szoros vagy laza „csoportosulását” jellemzi. Gyakorlatban a korrigált tapasztalati szórással (s, sd) becsüljük.

8 1.2 A korrigált tapasztalati szórás
A párhuzamos mérési adatok eloszlása igen sok adat esetén közelít a Gauss-eloszláshoz (normális eloszlás): Az „m” valódi érték helyébe a várható értéket ( ), a „σ” szórás helyébe az „s” tapasztalati szórást írhatjuk. A korrigált tapasztalati szórás (s, más néven standard deviáció, sd) számítása:

9 1.2 A normális (Gauss-féle) eloszlás
±s határok közé esik a mért értékek kb. 2/3-a (68,2%-a) ±2·s határok közé esik a mért értékek 95,5%-a ±3·s határok közé esik a mért értékek 99,7%-a

10 1.3 Párhuzamos mérési adatok értékelése
Az előbbiek alapján belátható, hogy egy méréshez tartozó adatok közül azok, amelyek ±3·s tartományon kívül esnek, durva mérési hibákból erednek, valószínűleg jobb, ha elhagyjuk azokat. Egy mérésre a következő számértékek adódtak: 11,2; 11,3; 11,1; 10,4. Számítsa ki az átlagot, a szórást, ha kell, hagyjon el adatot! = 11,0 s = 0,41. Az utolsó adat gyanúsan messze van az átlagtól. Számítsuk ki az átlagot és a szórást annak elhagyásával! = 11,2 s = 0,10. Az utolsó adat a ±3·s tartományon kívül van, helyes volt az elhagyás.

11 1.3 Mérési eredmény megadása
Az előző mérési adatokból (11,2; 11,3; 11,1; 10,4) az alábbi átlagot és szórást kaptuk: = 11,2 s = 0,10. Az eredmény megbízhatósága mennyi? Attól függ milyen biztonsággal/valószínűséggel szeretnénk, hogy a tényleges érték a megadott tartományba essék. Általában a 95%-os biztonság megfelelő. Végtelen számú adat esetén a) adataink ide esnek: ±2·s b) az átlag ebben a tartományban van: ±2· Az előbbi feladatnál: x = 11,2 ± 0,2 (95%), illetve = 11,2 ± 0,1 Ebből adódik, hogy nincs is értelme több tizedesre megadni, hiszen a mérés pontossága nem indokolja.

12 1.3 Mérési eredmény megadása
Általában nincs sok párhuzamos mérésünk, ilyenkor az előbb megismert számítás nem érvényes. Az ilyen esetekben használható a Student (t) eloszlás (táblázata a függelékben). A táblázatban különböző biztonsági szintek szerepelnek, általában a 95%-os megfelelő. A szabadsági fokok száma sz. fok = n-1. Esetünkben sz. fok = n-1 = 3-1 = 2 A táblázat alapján a 95 %-hoz t = 2,92 tartozik. a) adataink ide esnek: ± t·s azaz ± 2,92·s b) az átlag ebben a tartományban van: ±· Az előbbi feladatnál: Adatok: x = 11,2 ± 0,29 (95%), illetve Átlag: = 11,2 ± 0,17

13 1.4 A relatív hiba A relatív hiba az abszolút hiba eredményhez viszonyított értéke. Legtöbb esetben ez a fontosabb. A relatív hiba mértékeként a tapasztalati szórásnak (s, sd) az átlaghoz viszonyított %-os értékét használjuk: Az előbbi feladat esetében: = 11,2 s = 0,10 x = 11,2 ± 0,2 (95%). A relatív szórás: rsd = 0,9% Az eredmény tehát: x = 11,2 ± 1,8% (95%-os szinten).

14 1.5 Ismétlő (összefoglaló) kérdések
1. A hibák milyen fajtáit ismerjük? 2. Mi a várható érték? Hogyan becsüljük? 3. Mit nevezünk rendszeres hibának? Mit jellemez? Milyen fajtái vannak? 4. Mi a véletlen hiba? Mivel becsüljük? 5. Hogyan számítjuk a korrigált szórást? 6. Milyen formában adjuk meg az eredményt? 7. Mi a t-eloszlás? 8. Mi a relatív hiba? Mi a relatív szórás (rsd)?

15 1.5 Gyakorló feladat Egy mérésre a következő számértékek adódtak:
10,2; 11,6; 11,4; 11,2. Számítsa ki az átlagot, a szórást! = 11,1 s = 0,62 Ha kell, hagyjon el adatot, számoljon újabb átlagot, szórást! = 11,4 s = Adja meg a várható értéket 95 %-os biztonsági szinten! Használja a t-eloszlás táblázatot! n = 3 sz. fok = 2 t = 2,92 = 11,4 ± = 11,4 ± 11,1 0,62 11,4 0,2 0,34 (95 %)

16 1.6 Függelék – t-eloszlás (Student) táblázata
Megbízhatósági szint Sz. fok 0,9 0,95 0,975 0,99 0,995 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,656 2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169